Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Линейная функция одной переменной имеет вид Примером линейного функцио. нала является 1(х) =их, Цу(х))= ~ (р(х)у+у(х)у')гЕХ, где й — постоянная. 4. Линеиной функцией называется функция 1(х), уловлетворяющая следующим условиям: Е (ох) = сЕ (х), где с †произвольн постоянная, и 1(Х1+ Х2) = Е (Х1)+ 1(Х2). При этом подразумевается, что функция у (х) берется из класса функций, на котором функционал о[у(х)) определен. 4. Линейным функционалом называется функционал Е.
(у(х)), уловлетворяющий следующим условкям: Е. (су (х)] = сЕ. (у (х)), где с — произвольная постоянная и Е (у,(х) + У2(х)) = = Е (У, (х)) + Е (Ут (х)) г33 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НВПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ гГЛ. 6 б. Если приращение функшю- нала Л о = о [у (х) + Ьу] — О [у (х)1 Итак, вариация функционала — зело главная, линейная но он!ношению н Ьу, масть лрирашенил функционала.
При исследовании функционалов вариация и~рвет такую же роль, какую играет дифференциал при исследовании функций. Можно дать и лругое, почти зквивалентное, опрелеление лифференциала функции и вариации функционала. Рассмотрим значение функции т (х+аЛх) при фиксированном х и Лх н изменяющихся значениях параметра а. При а = [ получим приращенное значение функции т (х + Лх), при а = О получим исходное зна !ение функции ~(х).
Нетрудно проверить, что прои!!Водная от т(х+цЛх) по а при а=О равна дифференциалу функции ):(х) в точке х Действительно, по правилу дифференцирования сложной функции д — у (х + ц Лх) [„о = (' ( х + а Лх) Лх [ =о = у' (х) Лх = дт' (х). Точно так же для функции нескольких переменных У(Х1 Хг ' '' Хо) можно получить лифференциал путем лифференцировання г'(х1+аЛхн хг+ аЛхо, ..., хо+ аЛхв) по а, полагая аатем а= О. Действительно, гг(х1'+РЛх1, хо+ аЛхг...
х +аЛхо)[о=о = 7 Лх =лгт', %ч др !=1 И для функционалов вила о [у(х)] или более сложных, зависящих о! нескольких неизвестных функций или от функций нескольких 5. Если приращение фуннцни Л г = у'(х+ Лх) — г" (х) моокет быть представлено в виде Лг'=А(х)ЛХ+[)(х, Лх) Лх, 1'де А (х) не зависит от Лх, а Р (х, Лх) — ь О при Лх — ь О, то функция называется дифференцируемой, а линейная по отношенлю к Лх часть прирзщенит! — А(х)Лх называется дифференциалом функции н обозначается с(т'. Разделив на Лх и переходя к пределу при Лх -+ О, получим, что А(х) = = /'(х), и, слеловательно, дт = Г'(х)Лх.
можно прелставить в виде Ло= О [у(х), Ьу]+ + [У(у(х), Ьу) п1ах [Ьу [, где б [у (х), Ьу[ — линейный по огношенню к Ьу функцнопзл, !пах] Ьу [ — максимальное значение [Ьу[ и [)(у(х), Ьу)-1.0 при шах[бу[ — ьО, то линейная по отношению к Ьу часть приращения функционала, т. е. !. [у (х), Ьу], называется вариацией фунгсцио. нала и обозначается Ьо. 289 вкяилция и ее своиствл переменных, можно определить вариацию как производную от функционала о [у(х)-[-ибу] по а при а=О. Действительно, если функционал имеет вариацию в смысле главной линейной части приращения, то его приращение имеет вид бо = о [у (х) + а бу] — о ! у (х)] = б (у.
ц бу) + [) (у, а бу) ! а ! щах [ Ьу ]. Производная от о[у+ а бу! по а прн и=О равна йо . Ло й(у,абу)+!)[у(х), аду]!и[ гнал[ ду! ло.эо аи отьо и ц-ьо а ь'(у,иду) . 11[у(х), абу]!а!тгх]еу! а.ьо и о ьо а так как в силу линейности (. (у, а бу) = пА (у, бу), а 8 [у (х), абу] ! и ! гоах ! Ьу ! !ип У ' У! ' У =1нпй[у(х),абу]щах [бу[=0, о-ьо а цьо 6.
Лифференциал функции 7 (х) равен д — „7'(х+ аЛх)]о=о. 6. Вариация функционала о[у(х)! равна д д о[У(л)+абу1]ц=о. Оиределение. Функционал о1у(х)] достигает на кривой у=уо(х) максимума, если значения функционала о[у(х)! на любой близкой к у=уз(х) кривой не больше, чем о]уо(х)], то есть Ли=о[у(х)1 — о[уз(х)] < О. Вели Ло ~ О, причем Ло= 0 только нри у (х) = уо(х), то говорят, что на кривойу = у,(х) достигается строгий максиму.н. Лналогнчно определяется кривая у = уо(х), на которой реализуется лгинимум. В этом случае Ло)~О для всех кривых, близких к кривой у=уо(х).
7. Теорема. Если функционал о]у(х)], амеюьций вариацию, достигает максимума 7. Теорема. Если дифференцируемая функция 7(х) достигает максимума или 19 л, з, злелгольц потому что [)[у(х), абу) — ьО при а-ьО. Итак, если существует вариация в смысле главной линейной части приращения функционала, то существует н вариация в смысле производной по параметру при начальном значении параметра, и оба эти определения эквивалентны, Второе определение вариации несколько шире первого, так как существуют примеры функционалов, из приращения которых нельзя выделить главной линейной части, но вариация в смысле второго определения существует.
ййб мвтод влэнапнн в задачах с нвподвижнымн гилннплмн 1гл.ь или минимума при у=уз(х). гдв у(х) — внутренняя точка области определения функционала, та при у=уз(х), бо=О. минимума ва внутреннвд льачке х=х, области определения функции, та в втой точ- ке ') а может принимать в окрестности точки а О как положительные, так и отрицательные значения, так' как уь(х) †внутренн точка области определенна функционала Доказательство теоремы д л я функционалов. Г[ри фиксированных уэ(х) и Ьу о [уз(х) + абу[ = ф(а) является функцией а, которая при а=О, по предположению, достигает максимума или минимума, следовательно, проиаводная ц~'(0) = 0*), илн — о [у,(х) + а Ьу[ ! = О, да О 1а=з т. е.
Ьо= О. Итак, на кривых, на которых достигается экстремум функционала, его вариация равна нулю. Г[онятие экстремума функционала нуждается в уточнении. Говоря о максимуме илн минимуме, точнее, об относительном максимуме или минимуме, мы пьянели в виду наибольшее или наименьшее значение функционала только по отношению к значениям функционала на близких кривых.
Но, как было указано выше, близость кривых может быть понимаема различно, поэтому в определении максимума или минимума надо указывать, какого порядка близость имеется в виду. Если функционал о[у(х)[ достигает на кривой у=уз(х) максимума или минимума по отношению ко всем кривым, для которых модуль разности у(х) — у,(х) мал, т.
е. по отношению к кривым, близким к у=уз(х) в смысле близости нулевого порядка, то максимум илн минимум называется сильным. Если же функционал о [у(х)[ достигает на кривой у = уе(х) максимул|а или минимума лишь по отношению к кривым у=у(х), близким к у=уз(х) в смысле близости первого порядка, т. е. по отношению 'к кривым, близким к у=уз(х) не только по ординатам, но и по направлениям касательных, то максимум или минимум называется слабым. Очевидно, что если на кривой у =уэ(х) достигается сильный максимум (илн минимум), то подавно достигается и слабый. так как если кривая близка к у=уз(х) в смысле близости первого порядка.
то она близка и в смысле близости нулевого порядка. Однако возможно, что на кривой у = уз(х) достигается слабый максимум (минимум) и в то же время не достигается сильный максимум (минимум), т. е. среди кривых у=у(х), близких к у=у,(х) как по ординатам, так и по направлению касательных, может не быть таких, для ко- ВАРИАция н вв свойства йп торых о[у(х)] ) о]уз(х)] (в случае минимума о]у(х)] ч. о[уз(х)]). а среди кривых у=у(х), близких только по ординатам, но.уже не близких по направлению касательных, могут найтись и такие, для которых о[у(х)] > о[уз(х)] (в случае минимума о[у(х)) ( о]у„(х)]). Различие между сильным и слабым экстремумом не будет иметь существенного значения при выводе основного необходимого условия экстремума, но оно будет весьма существенно в главе 8 при изучении достаточных условий экстремума.
Заметим еще, что если на кривой у = уз(х) достигается экстремум, д ! д то нетолько — о[ус(х)+абу) ~ =О, но и — о[у(х, а)]~ =О. да е где у(х, а) — любое семейство допустимых кривых, причем при а=О и при а=! функция у(х, а) должна соответственно превращаться в у„(х) и у,(х)+Ьу. Действительно, о]у(х, а)] является функцией а, так как задание аопределяет кривую семейства у=у(х, а), а значит, определяет и значение функционала о [у(х, а)].
Эта функция, по предположению, достигает экстремума при а=О, следовательно, производная втой функции обращается в нуль при а=Оч). д Итак, — о ]у(х, а)[! = О, однако эта производная, вообще да 1а 0 говоря, уже не будет совпадать с вариацией функционала, но будет, как показано выше, обращаться в нуль' одновременно с Ьо на кривых, реализующих экстремум функционала.
Все определения этого параграфа и основная теорема (стр. 289) почти без всякого изменения переносятся на функционалы, зависящие от нескольких неизвестных функций о[у,(х), уа(х), ..., у„(х)] или зависящие от одной или нескольких функций многих переменных о[я(хп х...., х„)], Ф ]х1 (хо хт, ..., хл), зт (хп хэ..., хл)..., ха (хи хж, Хя)] Например, вариация Ьп функционала о[я(х. у)] может быть определена или как главнзя линейная по отношению к Ьг часть приращения Ьо == о [з (х, у) + Ьг] — о [г (х, у)], или как производная по параметру при начальном значении ") Предполагается, что а может лринимать любые близкие к а= О зна- да [э (х, а)] ~ чения и ' ~ существует.
иа ' ~,=ч 19' — но ~г (х, у) + абг1( да н=е причем если при г = г (х, у) функционал о достигает экстремума, то при г=г(х, у) вариация бо=О, так как о(г(х, у)+абг) является функцией а, которая при а = О, по предположению, достигает экстремума и. следовательно, производная от этой функции д по а при а=О обращается в нуль, —.-о(г(х, у)+абг] = О дн ~н=е или бо=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
