Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Итак, функции г(х) и у(х) должны удовлетворять системе.двух уравнений и Лл г,— — „„г;+ ... ) ( — ))" — „„„г,,„,=о, лз ля р; — —,р; -)- ... -(-( — )) — „р, .=о. Точно так же можно рассуждать и при исследовании на экстремум функционала, зависящего от любого числа функций: '!» у ° °" у)= — и (» у у' у1лн у у' у(изз кз ..., у, у', ..., у(лм)),тх. 312 мвтод ваянации в задачах с неподвижными гяаницлми Варьируя какую-нибудь одну функцию у,(х) и сохраняя остальные неизменными, получим основное необходимое условие экстремума в виде Ру, — — Р +. +( — 1) — „Р (пг)=О (1=1, 2, ..., т).
д ч и ~ дх УС дх ' ф 6. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных Исследуем на экстремум функционал о ! г (х, у)! = / / Г (х, у, .г, —, — 1 г1х г(у, дк' дуг причем на границе С области 0 значения функции г(х, у) заданы, т.
е. задан пространственный контур С, через когорый должны Рис, 6,13. проходить все допустимые поверхности (рис. 6.13). Для сокращения д«дг записи обозначим: — = р, — = д. Функцию Р будем считать дх ' ду трижды дифференцируемой. Поверхность г = г(х, у), на которой реализуется экстремум, будем предполагать дважды дифференцируемой. Рассмотрим опять однопараметрическое семейство поверхностей «=г(х, у, а) =г(х, у)+аб«, где бг =г(х, у) — г(х, у), включающее при а= О поверхность г = г (х, у), на которой реализуется экстремум, а при а = 1 — некоторую допустимую поверхность г =г(х, у).
На функциях семейства «(х, у, а) функционал о пре- 314 МЕТОД ВАРИАЦИЙ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ. 6 получим / ~ ( дх (РРЬг) + д (Ребз)(г[х "у = ~ (Ряс[у — Рес[х)бх =О. 'о' с Последний интеграл равен нулю, так как на контуре С вариация Ьг = О, потому что все допустимые поверхности проходят через один н тот же пространственный контур С.
Следовательно, / ~ (ряб О+ р Ь)) с[х ду = — ~ / ~ — (р ) + — (р )( Ьг Фх [[у, о о н необходимое условие экстремума ( ~ (Г,ба+ Р бр+ Р Ьи) [[хду=О принимает вил ( / (Р,— (РР) (Ре])бгдхду — О, о Так как вариация Ьг произвольна (на Ьа наложены лишь ограничения общего характера, касающиеся непрерывности н дифференцируемости, обращения в нуль на контуре С н т. д,).
а первый множитель непрерывен, то по основной лемме (стр. 296) на поверхности я = я (х, у), реализующей экстремум, ".— д ("Р) — д д д дх Р ду Следовательно, г(х, у) является решением уравнения Р, — —, (Р,) — (Р,) = О. д д Это дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных, которому должна удовлетворять функция г(х. у). реализующая экстремум, носит название уравнения Остроградского по имени выдающегося русского математика М. В. Остроградского. который в !834 году впервые получил это уравнение, однако для прямоугольных областей 1) оно встречалось уже в работах Л.
Эйлера. Прим ер ! в(г(х, у)) = ~ / (( — ) + ( — ) 1 ах ау, и $6) ФункииОнллы От Функции нескОльких переменных 315 на границе С области П значения функции е заданы: в = у(х, у). Уравне- ние Остроградского в данном случае имеет вид д д — + — =о. дхз ду' или в краткой записи т. е. является известным уравнением Лапласа, причем надо найти непрерывное в В решение етого уравнения, принимающее заданные значения на границе области П. Это — одна из основных задач математической физики, называемая задачей Дирихле. Пример 2. п (г(х, у)) = ~ ~ ~~ — ) + ~ — ~ +2лУ(х, у)~ дх ну, О на границе области В функция л задана. Уравнение Остроградского в данном случае имеет вид д'е д'л — + — =у(х, у), дхг ду' или в кратной записе бе=У(х, у).
Это уравнение, называемое уравнением Пуассона, также весьма часто встречается в задачах математической физики. П р и и е р 3. Задача о нахождении поверхности минимальной площади, натянутой иа данный контур С, сводится к исследованию на минимум функционала Уравнение Остроградского в данном случае имеет вид д ( р 1 д . ~+ =О ~ Лтес7 ~ ду ( Еттр'яг ~ или т. е, средняя кривизна в каждой точке равна нулю. Известно, что физической реализацией минимальных поверхностей являются мыльные пленки, натянутые на заданный контур С. Для функционала о[х(хг, х,, ..., х„)) = ~(хг хт ° х„г.
рп р,...., р„)йх,яхт... йх„, О 5 а1 влвилционныв задачи в плвлмвтпическои еоимв з17 функция л, реализующая экстремум, должна удовлетворять так иа- аываемому бизармоничеснолгу уравнению д'« д'«сн« вЂ” +2 дх' дх' ду' ду' .+ — = О, которое обычно кратко записывается так: Лба =О. Лля функционала о= / / ~(ддх ) +(~,) +2 [д д ~ — 2ау(х, у)~г(хг)у о функция л(х, у), реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению гхАг = у(х, у). К бигармоиическому уравнению приводят также задачи иа экстремум функционала о=/ ) ~ —,+ —.,) дхЫу о или функционала более общего вида = ~ [ ~( —,,+ — д,) — 2(1 — р)~ —,—,— ( —,, )1~ Ьду, о где р — параметр, ф 6.
Вариациоиные задачи в параметрической форме Во многих варнацнонных задачах решение удобнее искать в параметрическом виде. Например, в изопериметрической задаче (см. стр. 282) о нахождении замкнутой кривой заданной длины 1, ограничивающей максимальную площадь ь) неудобно искать решение в виде у — у(х) так кзк по самому смыслу задачи функция у(х) неоднозначна (рис.
6.14), поэтому в рассматриваемой задаче целесообразно искать решение в параметрической форме, х=«(Г), у=у(1). Следовательно, в данном случае надо искать экстремум функционала т 1 5 [х(т), у(Г)) = — 1 (ху — ух) дт — 2/ о г при наличии условия 1 = ~ [Ухэ + у'М, где 1 — постоянная. э Пусть при исследовании на зкстремум некоторого функционалз «, е[у(х)[ = ~ Р(х, у, у') Пх «в з1з' ывтод влнидцип в злдлчдк с ниполвижными галниидыи (гп, з оказалось более целесообразным искать решение в параметрической форне х- х(т), у = у(г); тогда функционал преобразуется к следующему виду; и [х (т), у (г)] = [ г ]х (т), у (т), †. ~ х (г) иг.
х (4 Заметим, что полученная после преобразования переменных подынтеграль- ная функция е (- (г). у (т) †. ) ' (т) у (т) ) х (т) не содержит т явно и является по отношению к переиенным х н у однородной функцией первой степени однородности. Таким образом, функционал о [х(Г), у(т)] является не произвольным функционалом вида н ~ тр (т, х (г), у ((), х (т), у (г) ) ят, зависящим от двух функций х(Г) н у(т), а лишь весьма частным случаем такого функционала, так как его подынтегральная функция не содержит явно с и однородна первой степени однородности по отношению к переменным х и у.
Если бы мы перешли к какому-нибудь другому параметрическому представлению искомой кривой х = х (т), у =- у(т), то функционал п[х, у] преобразовался бы к т, ут'] /Г(,Н '', *.С. х [ х тю но, подынтегральная функция функционала и не меняет своего вида при изменении параметрического предстзвления кривой. Рис. 6.14. Таким образом, функционал о зависит от вида кривой, а не от ее параметрического представления. Нетрудно убедиться в справедливости следующего утверждения: если подынтегральная функция функционала и [х (г), у (т)] = ~ Ф (й х (т), у ((), х (г). у (()) йт не содержит Г явно и является однородной функцией первой степени однородности относительно х и у, то функционал о[х (г), у(Г)] зависит лишь от вида кривой х = х (С), у = у(Г), а не от ее параметрического представления.
Действительно, пусть о [х (т), у (т)] = [ ср (х (т), у (т). х (г), у (г)), г(г, и а з) ЕАРНАПНОнные зАдАчи в пАРАметРическОЙ ФОРме 319 где Ф(х, у, йх, ду) =- АФ(х, у, х, у). Перейдем к новому параметрическому представлению, полагая т=е(т) (Ф(т) чь О), х=х(т), у =у(т).
Тогда Ф(х(т), у(С) х(т), у(()) Лт= ~ Ф(х(т), у(т), х (т)Ф(т), ут(т) <р(()) —. ч (г) ! т, В силу того, что Ф является однородной функцией первой степени однородности относительно х и у, будем иметь Ф(х, у, хтр, астр) = ЧтР(х, у, х„, ут), откуда Ф(х, у, х, у)лт== ~ Ф(х, у х„у,)л'т, А т. е, подынтегральная функция ие изменилась при изменении параметрического представления.
длина дуги ~ у ха+уз лт ч), площадь, ограниченная некоторой кривой 1 /' — г (ху — ух) Ж, являются примерами таких функционалов. 2 / Для нахождения экстремалей функционалов рассматриваемого типа о(х(т), у(т)) = ~ Ф(х. у, х, у) лт, где Ф вЂ” однородная функция первой степени однородности относительно х и у, кан и для функционалов с произвольной подынтегральной функцией Ф (т, х, у, х, у), надо решить систему уравнений Эйлера л и Ԅ— — Ф.=О; Ф вЂ” — Ф.
О. Лу ' т (т Однако в рассматриваемом частном случае зти уравнения не являются независимыми, так как им должны удовлетворять наряду с некоторым решением х х(т), у == у(т) и любые другие пары функций, дающие другое параметрическое представление той же кривой, что в случае независимости уравнений Эйлера привело бы к противоречию с теоремой существования ч) Функция )г хз+ у' является положительно однородной первой степени однородности, т. е, для иее условие гт(йх, йу) = йгч(х, у) удовлетворяется лишь при положительных й, однако етого вполне достаточно для справедливости излагаемой в атом параграфе теории, так как при замене переменных т ф(т) можно считать Ф(т) >О.
32О метод ВАРиАций В ВАЛАИАх с непОдВижными ГРАнинАми (гл. а н единс<всннощн решения снстечы днффереицналы<ых уравнений (см. стр.?5). Это указывает на то, что для функционалов вида о]х (2), у (1)] = ~ б< (х, у, х, у) дй <» где ц< †однородн функция первой степени однородности относительно х н у, одно ~з уравнений Эйлера является следствием другого, Лля нахождения экстремалей надо взять одно нз уравнений Эйлера и проннтегрнро.
вать его совместно с уравнением, определяюин<и выбор параметра. Например, к уравнению Ф вЂ” — ц<. = О можно присоединить уравнение » дт» х'+ у' =1, указывающее, что за параметр взята длина дуги кривой. ф 7. Некоторые приложения Основным вариационныи прппципои в механике яв.ляется принцип стационарного действия Остроградского — Гамильтона. утверждающий, что срелн возможных, т. е. совместимых со связями, движений системы материальных точек в действительности осуществляется движение, дающее стационарное значение (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
