Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 53
Текст из файла (страница 53)
7.1) и тем самым определяет значение функционала. Вычислим вариацию функционала о(у(х, С,)) на экстремалях пучка у=у(х, С,) при перемещении граничной точки из положения (хн у,) в положение (х, +Ьх,, у, + Ьу,). Так как функционал о на крявык пучка превратился в функцию х, и уп то его вариация 5 и пРОстейшАя' зАдАЯА с пОдвижными ГРАницАми ай совпадает с дифференциалом этой функции. Выделим из приращения Ло главную линейную по отношению к Ьх, и Ьу, часть: ккхах, х~ до= ~ Р(х, у+Ьу. у'+Ьу')Их — ~ Р(х, у, у')а~х= х„ х, как Р (х, у + Ьу, у' + ду') Фх + к( + ~ [Р(х, у + Ьу, у +Ьу ) — Р(х, у, У')[дх. (7.1) к, Первое слагаемое правой части преобразуем с помощью теоремы о среднем значении: к,тах, / Р(х У+ЬУ, У'+Ьу')~~х=Р[х х,зз Ьхн Где 0(О < 1, к, в силу непрерывности функции Р булем иметь: где е,-ьО при Ьх,-РО и Ьу, -РО.
Итак. к,:ах Р(х У+ЬУ У'+Ьу')с(х=Р(х, у, у')[ Ьх, [-е,дхц к, Второе слагаемое правой части (7.1) преобразуем путем разложения подынтегральной функции по формуле Тейлора к, ~ [Р(х, у+Ьу. у'+Ьу') — Р(х, у, у')[ах= к., ~ [Р„(х, у, у')Ьу+ Р ° (х, у, УПЬУ'1 Их [- [сц где кс', является бесконечно малой более высокого порядка, чем Ьу или Ьу'. В свою очередь линейная часть к, ~ (Р„ду+Р„ду')Ам к, Значения функционала берутся лишь на экстремалях, следовательно, л Ег — — Е„ = О. Так как граничная точка (хе, уе) закреплена. л'х то Ьу1 = О. Следовательно, (Ет Ьу + Еж Ьу ) г(х = Гг' Ьу! 1 к, Заметим, что Ьу1„„не равно бу, — приращению ун так как Ьу,— эго приращение у, прн перемещении граничной точки в положение у ву~) Рнс.
7тд х, -( Ьхг у, + Ьу,), а Ьу 1„— это приращение ординаты в точке. х, нри переходе от экстремали, проходящей через точки (хе, уэ) и (хн у1) к экстремали, проходящей через точки (хе, уэ) и (х1 + Ьхн у, 1- Ьу1) (рис. 7.2). Из чертежа видно, что Вгк = бу 1„„; ЕС = дуб ЕС ж у' (х,) Ьх,; Вй = ЕС вЂ” ЕС Ьу1 „Ьу, — у'(х,) дх,. илн При атом приближенное равенство справедливо с точностью до бес- конечно малых более высокого порядка. 33О ВАРНАционныв 3АдАчи с подвижнымЙ гРАницАми (гл. т может быть преобразована путем интеграции по частям второго слагаемого подынтегральной функции к виду $ и пяоствпшАя зАдлчл с подвижными гвдницлмн О31 ч ьбх Итак, окончательно имеем: ~ Рйх сн Р[„„бхг[ к, [Р(х, у-+Ьу. у'+бу') — Р(х, у.
у')[с[хна ~ Рт [ ° (Ьу, — у'(х,) бх,), где приближенные равенства также справедливы с точностью до членов порядка выше первого относительно Ьх, и Ьуг Следовательно; из (7.1) получим Ьо = Р [„„бх, + Рт [„„(Ьу, — у' (х,) Ьх,) = = (Р— у'Рт ) [„„Ьх1+ Рт [ ду . или ло(х~ У1) (Р У Рт ) [ Их, + Р„[ с(у где о(хп у,) — функция, в которую превратился функционал о на экстремалях у=у(х, С,), а с(х,=Ах,=Ьх,. с(у,=Ау,=ду,— приращения координат граничной точки. Основное необходимое условие экстремума бо = О приобретает вид (Р— у'Р„ )[„ „ Ьх, + Р„ [„ „ бу, = О. . (7.2) Если вариации Ьх, и Ьу, независимы, то отсюда следует, что (Р у Ру')[ О и Ру'[ О Однако чаше приходится рассматривать случай, когда вариации Ьх, и Ьу, зависимы. Пусть, например, правая граничная точка (хо у,) может перемещаться по некоторой кривой У1 =ф(х1) Тогда Ьу, = ф'(х,)бх, и, следовательно, условие (7,2) принимает вил [Р+(ф' — у')Рг [бх,=О или.
так как Ьх, изменяется произвольно, то [Р + (ф' — у') Рт [ „ „ = О. Это условие устанавливает зависимость между угловыми коэффициентами ф' и у' в граничной точке. Оно называется условием трансверсальности. Условие трансверсальности совместно с условием у, = ф(х,) позволяет, вообще говоря, определить одну или несколько экстоемалей пучка у=у(х, С,), на которых может достигатьсязкстош м. Если граничная точка (х, у ) может перемещаться по некоторой кривой уе =ф(хз), то совершенно так же обнаружим. что и в точке (хв, уе) должно удовлетворяться условие трансверсальностн [Р+( Р' — у') Р„[, .
= О. ВАРНАционные ВАЛАчи с подвижными ГРАниндми ' )гл. т Пример 1. Найти условие трансверсальности для функционалов вида х, о ~ А(х, у) Р~!+у'Яех. Условие трансверсальиости г" + Гт,(ф' — у') 0 имеет в данном случае вид чг —,с А(х, У) У' А (х, у)(1+ в'у') А(х у) г +у + .—, (о' — у') 0 или — т =О' М1+ у' У1+ у" предполагая, что А (х, у) ~ 0 в граничной точке, получим ! + у'е' = 0 или 1 у' = — †, . т. е.
условие трансверсальности свелось в даниои случае к ус- гг ловню ортогональности. 1/1 ж Пример 2. Исследовать на экстремум функционал / ' ' у с(х, у е причем у(0) О, а у, — х, — 5 (рис. 7.3). Интегральными кривыми уравнениа ЭйлеРа (пРимеР 1, стР. 324) Явлаю~са окРУжности (х — Сг)т+ Ут = Ст. Рис. 7А. Рис.
7.3. Первое граничное условие дает С, — Сь Так как условие трансверсальности для данного функционала сводится к условию ортогональности (см. предыдущий пример). то прямая у, = х, — 5 должна быть диаметром окружности и, следовательно, центр искомой окружности находится в точке (О, 5) пересечения прямой у, = х, — 5 с осью абсцисс. Следовательно, (х — 5)' + у'= = 25, или у = ж У 10х — х'.
Итак, экстремум может достигаться лишь иа дугах окружности у = У 1Ох †и у = — ) 10х †. Если граничная точка (хн у,) может перемещаться лишь по вертикальной прямой (рис. 7.4) и. следовательно. Ьх, = О, то условие (7.2) переходит в тот ~ = О. Пусть, например, в задаче о брахистохроне (см. стр. 304) левая гранич. ная точка закреплена, а правая может перемещаться по вертикальной прямой. йп ПРОСТВИШАЯ ЗАДАЧА С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИПАМИ 553 Экстремалями функционала о 1 ' ' у лх являются циклоиды, уран- а неиня которых, если принять во внимание условие у(О) О, будут иметь вил ,с С, (г — э~п г), у = С, (1 — соз Г). Для определения С, используем условие Р,) О, которое в данном х=х, случае имеет вид у )х- .)7— откуда у' (х,) =О, т.
е. искомая циклоида должна пересекать прямую х= х, под прямым углом и, следовательно, точка х хи у=у, должна быть Рис. 7.5. вершиной циклоилы (рис. 75). Так как вершине соответствует значение с = и, то х, = С,и, С, = —. Следовательно, экстремум может реализоваться Х1 н' лишь на циклоиде х = — (à — з!и Г); у = — „(1 — соз Г). и н Если граничная точка (хп у,) в задаче об экстремуме функцио- х, нала о= ) 7" (х, у, у')г(х может перемещаться по горизонтальной «О прямой у=уп то Ьу,=О и условие (7.2);или условие трансверсальности, принимает вид 334 ВАРИАЦИОННЫВ ЗАПАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ [ГЛ.
7 $2. Задача с подвижными границами к, плн функционалов вида ~ В(х, у, г, у', г')рах - к, Если при исследовании на экстремум функционала М о= ~ Г(х, у, г. у'. г') р(х одна иа гРаничных точек, напРимеР В(хн Уи г,). пеРемещаетсЯ, а другая, А(хр, ур, гр), неподвижна (или обе граничные точки под- вижны). то очевидно, что экстремум может достигаться лишь на инте- гральных кривых системы уравнений Эйлера Действительно, если на некоторой кривой С реализуется экстремум в задаче с подвижными границами, т.
е. достигается максимальное илн минимальное значение о по сравнению со значениями о на всех близких допустимых кривых, срели которых находятся как кривые, имеющие общие граничные точки с кривой С, реализующей экстре- мум, так и кривые, у которых граничные точки не совпадают с гра- ничными точками кривой С, то тогда подавно на кривой С дости- гается экстремум по отношению к более узкому классу близких кривых, имеющих общие граничные точки с кривой С. Слеловательно, на кривой С должны удовлетворяться необходи- мые условия экстремума задачи с неподвижными, граничными точками, и, в частности, кривая С должна быть интегральной кривой системы уравнений Эйлера.
Общее решение системы уравнений Эйлера содержит четыре произвольные постоянные. Зная координаты граничной точки А(хр, ур, гр), которую мы считаем неподвижной, можно, вообще говоря, исключить две произвольные постоянные. Для определения двух других произвольных постоянных необхо- димо иметь еще лва уравнения, которые будут получены из условия бо=О, причем при вычислении вариации мы уже будем считать, что функционал задается лишь на решениях системы уравнений Эйлера, так как только на них может достигаться экстремум. При этом функционал о превращается в функцию Ф(хн уи г,) координат хц у,, г, точки В(хп у,, г,), и вариация функционала превращается в дифференциал этой функции*). Ь) Функция Ф будет однозначной, если эасгремали пучка с центром в точке А ие пересекаются, так как тогда точка д (хь уь г,) однозначнО вределяет зкстремаль.
влдлчл с подвижными гвлниплми Вычисление вариации о может быть проведено совершенно гак же, как на стр. 328 — 331: и+ем до = ~ Р (х, у + Ьу, я + бя, у'+ бу', г'+ Ья') Нх— к, — ~ Р(х, у, я, у', я')0х= и и+аж Р (х, у + Ьу, г + Ья, у'+ Ьу', я' + Ьг') г(х + Я, -[- ~ [Р(х, у+Ьу, г+Ьг. у'+Ьу', я'+Ья')— к. — Р(х, у, г, у', х')]г(х. Применим теорему о среднем значении к первому интегралу н вос- пользуемся непрерывностью функции Р, а во втором интеграле выделим главную линейную часть с помощью формулы Тейлора. После этих преобразований получим к, до = Р[„ „ Ьх, + ~ [Р,Ьу + Р,дя -[- Р бу'-+ Р, бх']г(х.
и Интегрируя по частям два последних слагаемых, стоящих под знаком интеграла, будем иметь: до = Р ]„, бх, + [Р~ Ьу] [- [Р, Ьх] А'( + ~ ~~Р~ — — „я Р;)ду+(Р,— — „" Р;)Ь~'1И». о Так как значения о вычисляются лишь на экстремалях, то Ру Рг' О) Ря Ры ям 0 я у ях у ' ф ях я и, следовзтельно, бо=Р[ „Ьх,+[Р„ду] „+[Р;Ья]„ Рассуждая так же, как и на стр, ЗЗО, получим Ьу]„„=бу,' — у'(х,)бх, и Ьх] =бяг — «'(х,)дх„ и, следовательно, Ьо = [Р— у'Є— «'Р» ] Ьх, + Р„[„„бу, + Р, [„Ь», = О. 336 влинлционныв злдлчн с подвижнымн силницлмн н л. т Если вариации Ьхн Ьу,, Ьг, независимы, то из условия Ьо=О получаем (Р— у'Р„ — «'Р, ) Если граничная точка В (х,, уц «,) может перемешаться по некоторой кривой у, = ф (х,); г = ф(х ), то Ьу, =ф'(х ) Ьх,, а Ьг, = =ф'(х,)Ьх, и условие Ьп=О или (Р— у'Р— г'Р, ) „Ьх, +Р„~ „Ьу, +Р, ) Ьг, =О переходит в условие !Р+ (ф' — у') Рт + (ф' — г') Р, )„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
