Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 56
Текст из файла (страница 56)
злдлчн к Гляни 7 Слеловательно, Ьот = — Р (х, ф (х). ф' (х) )1 -„Ьх, Ьо=до1+Ьоа — — (Р (х, У, У )+ +(ф — у)Р, (х, у, у)1„;Ьх Р(, у. ф Н.—.ЬХ— = (Р(х, у. у') — Р(х, у, ф') — (у' — ф') Р, (х, у, у')1, —,Ь.т, так как у (х) = ф (х) Необходимое условие экстремума Ьо = О ввиду произвольности Ьх принимает вид (Р(х, у, у') — Р(х, у, ф') — (у' — ф')Р (х. у, у')1 -„=О, Применяя теорему о среднем значении, получим (У ф)!Рю(х У Ч) Рг'(х У У)1„ где с — значение, промежуточное между ф'(х) и у'(х). Снова при- меняя теорему о среднем значении, будем иметь (у' — ф')(д — у') Рх г (х, у, д)~ -=О, гле а — значение, промежуточное между а и у'(х).
Предположим, 'что Р т (х, у, а) Ф О, Это предположение является естественным для многих вариационных задач (см. главу 8). В этом случае условие в точке М имеет вид у'(х) = ф'(х) (а = у' только при у' (х) = ф' (х), так как с — значение, промежуточное между у'(х) н ф'(х)). Следовательно, в точке М экстремаль АМ и граничная кривая ММ имеют общую касательную (левую касательную лля кривой у = у (х), правую — лля кривой у = ф (х) ).
Итак, вкстаельаль касается ераницы области гс е точке М. Задачи к главе т 1. Найти решение с одной угловой точкой в задаче о минимуме функционала о(у(х)1= / (у' — 1)ь(у'+!)ьне; у(0) О; у(4) 2. О 2. Существуют ли решения с угловыми точками в задаче об экстремуме функционала ж '(У( "=Р4'+'ху — уь)бх; у(х,) у„у( ) ж 860 плпилцноииып задачи с подвижныып сплин цлып (гд. т 3.
Существуют ли решения с угловыми точками в задаче об экстремуме функционала о[у(х)[= ~ (у" — бу'") Нх; у(0) =0; у(х,) уе е 4, Найти условие трансверсальности для функционала о[У(хН=- ~ Д(х, У)ез™аж [/1~-Ут Лх, А(х, У)чэб. ь, б. Пользуясь основным необходимым условием экстремума Оо = О, найти функцию. на Которой может достигаться экстремум функционала е [у (х)) = ~ (у"' — 2ху) г(х; у (0) = у' (0) = 0; о 1 у(1) = —; у'(1) — не задано. 120 ' 6. Найти кривые, на которых может достигаться экстремум функционала ю о[у(х)) = / у' кх; у(0) =О; у(10) О, е при условии, что допустимые кривые не могут прокодить внутри круга, ограниченно~о окружностью (х — 5)'+ у' =9, 7.
Найти функцию, на которой может достигаться экстремум функционала 4 о[у (х)) = / (у' — у' ) лх; у (О) = О. о если другая граничная точка может скользить по прямой х = —. 4' 8. Пользуясь лишь основным необходимым условием бе=О, найти кривую, на которой может достигаться экстремум функционала е[у(х))= ~ Их; у(0)=0. у е если вторая граничная точна (хи у,) может перемещаться по окружности (х — 9)т+ у' = 9.
ГЛАВА 8 ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ Э((СТРЕМУМА 5 1. Поле экстремвлей Если на плоскости (х, у) через сса>кдую точку некоторой области Е? проходит одна и только одна кривая семейства у=у(х. С), то говорят, что это семейство кривых в области 1? образует поле, или. точнее, собственное поле. Угловой коэффициент касательной р(х, у) к кривой семейства у = у(х, С), проходящей через точку (х, у), называется наклонам поля в точке (х, у). Например, внутри круга х' + у' е ' параллельные прямые у = х + С образуют поле(рис.
8.1), причем наклон этого поля р (х, у) = 1. Напротив, семейство парабол у = (х — а)а — 1 (рис. 8.2) внутри того же круга поля не образует. так как внутри этого круга параболы рассматриваемого семейст- ва пересекаются. Рнс. 8.1. Если все кривые семейства у = у (х С) проходят через некоторую точку (хз, у,), т. е. образуют пучок кривых, то они завеломо не образуют 'собственного поля в области О, если центр пучка прннадлемсит области О.
Однако если кривые пучка покрывают всю область 1? и нигде не пересекаются в этой области, кроме центра пучка, т. е. во всех точках, отличных от центра пучка, требования, налагаемые на поле, выполнены, то говорят, что семейство у = у(х, С) тоже образует поле, но в отличие от собственного поля'в рассматриваемом случае поле называется центральным (рис.
8.3). достлточныи колония вкстгпмьма 1гл. з Например, пучок синусоид у=Сз(пх при О (х (а, а (л образует центральное поле (рис. 8.4). Тот же пучок синусоид в Рнс. 8.2. лостаточно малой окрестности отрезка оси абсцисс б ( х ( а, где 6 ) '1, а ( и, образует собственное воле (рис. 8.4). Тот же пучок синусоид в окрестности отрезка оси абсцисс О ( х ( а,, а, ) и, поля не образует (рис. 8.4).
Если собственное или центральное поле образовано семейством экстремалей некоторой вариамионной задачи, то оно называется попел эхстремалей. Понятие поля почти без изменения переносится и на случай пространства любого числа намерений. Семейство у, = =у,(х, С, .,С„)(1=1.2, ...,п)образует поле в области В пространствах, уь ..., у„, если через каждую точку областй В про. ходит одна и только одна кривая семейстяя у = у.(х, С,..., С ). гпуннннямя наклона поля р.(х, у, у,, ....
у ) (г = 1. 2,..., и) называют частные производные от функций у (х, С . С,..., С ) ! ' Г я'"" н) по х, вычисленные в точке (х, ун'у,, ..., у„); следовательно, аля получения д р (х, уг у, .... у„) надо взять — „уг(х, Сг С ..., С„) н заменить С, С,, ..., С„ик выражениями через координаты х, уг уь ..., ую Аналогично опредетется и центральное поле.
поли экстРвмдлей 353 йп Пусть кривая у =у(х) является экстремалью вариационной задачи об экстремуме простейшего функционала м о(у(х)1= ~ Р(х, у. у')агх, м причем граничные точки А(хе, уе) и В(хо у,) закреплены. Говорят, что экстремаль у=у(х) включена в поле экстремален, если найдено Рис. 8А. семейство экстремалей у=у(х, С), образующее поле, содержащее при некотором значении С = С, экстремаль у = у (х), причем эта экстремаль у=у(х) не лежит на границе области О, в которой Рис. 8.5.
Рнс. 8.6. семейство у = у(х, С) образует поле (рис. 8.5). Если пучок экстремалей с центром в точке А (х,, уе) в окрестности экстремали у = у(х), проходящей через ту же точку, образует поле, то тем самым найдено центральное поле, включающее данную экстремаль ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА !Гл. 3 у=у(х). За параметр семейства в данном случае !южно взять угловой коэффициент касательной к кривым пучка в точке А(хз, уэ) (рис.
8.6). Пример 1. Дар функционал а ~ (у' — у') ах! а требуется включить дугу экстремали у = О, соединяющую точки (О, О) и (а, О), где О < а < и в центральное поле экстремалей. Общее решение уравнения Эйлера у" + у = О (см. стр. 298, пример 1) имеет вид у = С, соз х+ С, з!и х. Рис.
8.7. Из условия прохождения экстремалей через точку (О, 0) получаем С, О, у = С, з!пх, причем кривые этого пучка на отрезке О < х < а. а < и образуют центральное поле, включающее при С., = О энстремаль у = О. Параметр семейства Сз равен производной у» в точке (О, О). Если в той же задаче а ~ и, то семейство у = С, з!их поля ие образует (си. стр.
352) Известно, что две бесконечно близкие кривые семейства Р(х, у, С)=0 пересекаются в точках С-лискриминантной кривой, определяемой уравнениями г"'(х, у, С)=0; — =О. Напомним, что в состав С-днскриминантиой кривой, в частности, входит огибающая семейства и геометрические места кратных точек кривых семейства. Если Р(х, у, С) = 0 является уравнением пучка кривых, то центр пучка также принадлежит С-дискриминантной кривой. Поэтому если взять пучок экстремален у=у(х, С).
проходящих через точку (хз, уэ), и определить его С-дискриминантную кривую Ф(х, у)=0, то близкие кривые семейства у =у(х, С) будут пересекаться вблизи кривой Ф(х, у)=0 и, в частности, кривые этого семейства, близкие к рассматриваемой экстремали у = у (х), проходящей через точки А(хз. уз) и В(х!. у,), будут пересекаться поле экстнемллей в гочках, близких к точкам ласання (нли пересечения) кривой у = у(х) с С-дискриминантной кривой (см. рис, 8.7, на котором С-дискриминантная кривая изображена жирной линией). Если дуга АВ экстремали у = у(х) не имеет отличных от точки А общих точек с С-дискриминантной кривой пучка экстремалей, включающего данную экстремаль, то достаточно близкие к дуге АВ экстремали пучка не Рнс.
8.8. пересекаются, т. е. образуют в окрестности дуги АВ центральное поле, включающее эту дугу (рис. 8.8). Если дуга АВ зкстремали у=у(х) имеет отличную от А общую точку А" с С-дискриминантной кривой пучка у =у(х, С), то близкие к у=у(х) кривые пучка могут пересекаться между собой и с кривой у=у(х) вблизи точки А* н, вообще говоря, поля не образуют (рис. 8.1). Точка А' называется точкой, сопряженной с точкой А.
Полученный результат можно сформулировать так: для построения центрального поля экстремалей с центром в точке А, содержащего дугу экстремали АВ, достаточно, чтобы точка А*, сопряженная с точкой А, яе лежала на дуге АВ. Это условие возможности построения поля экстремалей, включающего данную экстремаль, носит название условия Якоби. Нетрудно сформулировать это условие и аналитически. Пусть у = у(х, С) — уравнение пучка экстремалей с центром в точке А, причем параметр С можно для определенности считать совпадающим с угловым коэффициентом у' экстремалей пучка в точке А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
