Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 60
Текст из файла (страница 60)
'с~ дР кч дэ/ д дР дУ/ ду/ ах ду/ ~ ХО /=1 1 ! или, если ввести обозначение Р* = Р .+,).", Л/ (х) фы г-1 получим ж л )' ) ~Є— — „Р )Ьу/лгх=О. и /=1 ") Точнее. применяя к разности ф/(х, у, + Ьун ..., у„+ Ьу„) — ф/(х, ун ..., у„) левых частей уравнений ф/(х ую+Ьу~ " * ул+Ьул) ~О нф/(» уз *"~ул)~'О формулу Тейлора, следовало бы писать л Х Ьу/+Л,-О, дф1 ду/ / 1 где /г/ имеют порядок выше первого относительно Ьу/Ц в1, 2 ..., И).
Однако, как нетрудно проверить, члены /г/ не окажут существшшото*алия ння на дальнейшие рзссуэсления, так каи прн вычислении варнэлвщ функ~ ционала нас интересуют лишь члены первого порадка отиовптельио Ьу/(/ 1, 2, ..., л). ВАРИАЦНОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1ГЛ. 9 И здесь пока нельзя применять основной леммы ввиду того, что вариации Ьуу не произвольны. Выберем т множителей Л, (х), Ла(х), ..., Л (х) так, чтобы онн удовлетворяли т уравнениям дх Р или — + ъ 1.1(х) — ' — — — =О (/=1, 2, ..., 1и). дР ъ 1 де1 д дР ду. '~ ду, дх ду Эти уравнения образуют линейную по отношению к )ч систему с определителем, отличным от нуля, (еь ~ь ' ' " ~") ~ О; О (У1 Уь Ут) следовательно, эта система имеет решение Л1(х), Лз(х), ..., Л.(х).
При таком выборе Л,(х), Ла(х), ..., Л (х) основное необходимое условие экстремума М е 1х~ ° Ъ-1 1РР— — Р ) Ьуу Фх =О У/ дх уу) У=~ принимает вид А / ~ ~Р— — Р ~ЬУ дх=О. х, 1= ль1 Так как для функций у,, у,... „у„, реализующих экстремум функционала о, это функциональное уравнение обращается в тождество уже прн произвольном выборе Ьуу(/=ш+1, т+2, ..., и), то теперь можно прнмеиать основную лемму. Положив по очереди равным нулю все Ьур кроме одного, и применяя лемму, получим * Ру — — Р ° = О (У = ш+ 1, т+ 2, ..., а), / дх У1 Принимая во внимание полученные выше уравнения Р— — Р =О (г'=1, 2, ..., ш), 'х окончательно будем иметь, что функции„реализующие условный экстремум функционала о, и множители Л~(х) должны удовлетворять ВВ1 СВЯЗИ ВИДЛ ерс д,)-а системе уравнений Рт — — Р =О (1=1.
2, ..., и), т) ах у) ~рг(х, ун ут...,. у„)= 0 (1= 1, 2, ..., т). П р и мер 1. Найти кратчайшее расстояние между двумя точками А(хо ум ло) и В(хо уо х1) на поверхности Е(х, у, л) = 0 (см, задачу о геодезических липняк, стр. 2В2). Расстояние между двумя точками на поверхности определяется, как известно, по формуле ю 1= [ )г(+у' +л' лх. м В данном случае надо найти минимум ( при условии ф (х, у, з) = О. Согласно предыдущему берем вспомогательный функционал к, П [ [ у1+ у'~+ л" -(- Л (х) й (х, у, л)[ ах х, и для него пишем уравнения Эйлера Л(х) гр у =0; '(х ~г1+ у,з+,2 Л(х) е =0; и'х тГ'1+у,т+ е(х, у, х) =О.
Из зтих трех уравнений определяются искомые функции у=у(х) и к=л(х), на которых может достигаться условный минимум функционала о, и множн. тель Л (х). Пример 2. Пользуясь принципом Остроградского — Гамильтона (см. стр. 320), найти уравнения движения системы материальных точек массы шг(1= 1, 2, ..., и) с координатами (хо уь л,) под действием сил, имеющих силовую функцию — У, при наличии связей йу(й хо х,, ..., х„, у„ун ..., у„, л„з,, г„) =0 (2=1, 2...., гл). Интеграл Остроградского — Гамильтона н о = ~(т — и)г)Г в данном случае имеет вид йй2 вдвидционныи задачи нд ксловныи экстпамгм (гл. е а вспомогательный функционал Уравнения движения будут уравнениями Эйлера для функционала о". Оии будут иметь следувп(ий вкд: д(! ц'т дФу а(х! — —.+ ~„Л1(!) —; дх,' Л~ дх! ' (=! д((( Ъ дт) е((у! =- — +,7 Л((0 — ! ду! ~ ду! ' т=! м дс( 'С~ т(г! — — + ~ !т(!)— дг, .ыа' дг; ! ! (! = 1, 2, ..., л).
9 2. Связи вида ф(х, У„У„", У., У(, Ут, ° °, У.) =0 В предыдущем параграфе мы рассматривали вопрос об исследовании на экстремум функционала = ~ р(х, уи у,, ..., у„, у',, у,', ..., у„') 'х: х, у (х ) = у.р, у (х,) = у, Ц= 1, 2, ..., и) при наличии конечных свяаей (р((х, уи уа, ..., У„)=0 (1=1, 2, ....
и). (9.2) Предположим теперь, что уравнения связей являются диф(берен- Ииальными уравнениями ф((х. У„ут, ...~ у„, у,', уз, ..., у„')=0 (1=1, 2, .... т), В механике свяаи такого вида называются неголономными, а связи зила (9.2) — голономными, В этом случае также можно доказать правило множителей, заключающееся в том, что условный экстремум функционала о достигается на тех же кривых, на которых реализуется безусловный экстремум функционала к! И х, о'= ~ р+ау'Х(х)ф! с(х= ~ Р" (тх, .т, ! ! хо Ф т) СВЯЗИ ВИДА ф!«, уу, у!! а где С"=Р'+ ~Ху(Х)ф!.
! 1 Однако доказательство значительно усложняется по сравнению со случаем конечных связей. Если же ограничиться доказате.тьством более слабого утвержденна о том, что кривые, на которых достигается условный экстремум функционала о, при соответствующем выборе ).!(х) являются экстремалямн для функционала ту", то доказательство, проведенное в предыдущем параграфе, может быть с незначительными изменениями повторено н для рассматриваемого случая. Действительно, предположим, что один из функциональных определителей порядка л! отличен от нуля, например ~От" э" ''" "'") + О.
О(»;, Уз, "., У') Это гарантирует независимость связей. Разрешая уравнение <р!(и, у, у, ..., у„, у,, у, ..., У„) О относительно у,, уз...„у, что возможно. так как "™, +О, "! !у! уг " у«!) получим у! = ф!(х, ун ун ..., у„, у „ н у' +з, ..., у„) (! 1, 2, ..., и). Если считать у ьн у зн ..., у„ произвольно заданными функциями, то из втой системы дифференциальных уравнений определяются ун у! ущ. Таким образом, ум+и умь„..., у„являются произвольными дифференцируемыми функциями с фиксированными граничными значениями и, следовательно, их вариации в том же смысле произвольны.
Пусть у!, у„..., у„— произвольная, удовлетворяющая уравнениям связей э! =.О (! 1. 2...., т), допустимая система функций. йарьируем уравнения связей « « 1)„— ЬУ)+ ~ —,' Ьу) О (Г= 1, 2...., ш)"). )=! ду! ,, у; д Умножаем почленно каждое из полученных уравнений иа пока не опреде. ленный множитель Ху(х) и интегрируем в пределах от ха до х„тогда получим «! « «, П У дч!! Ху(х) ~ ~ — ~-Ьууд«+ ) 7!у(«) 1): —,Ьу) дх О; у! ! ду «О / ! «О 1 У) И здесь, как и на стр. 379, следовало бы в левые части уравнений Включить слагаемые, содержащие члены порядка выше первого относительно Ьу) и Ьу) (У = 1, 2, ..., л), причем учесть влияние этих нелинейных членов здесь уже значительно труднее.
334 вАРиАниОнные задачи нА услопныи экстРемум (гл а интегрируя каждое слагаемое второго интеграла по частям и прииимав во внимание. что Ьу/ — †(Ьу / и (Ьу ) (Ьу ) О, будем иметь л 2,''(ь1ь — — — 'ь1~,'~ь,~ о. дгу/ д / д<у/ 1 ду/ дх 1 ду/ ~ Из основного необкодимого условия акстремума Ьо О получим к~ к Р— — Р, 1 Ьу/дх О, л',л~ У/ дх у) к, /=1 /! (9.3) (9.4) так как к, к к Ьп= ~ ~~~~(Р~ Ьу/+Р Ьу/)дхуе ~ ~~~~ (Р— — Р,) Ьу дх. д / У/ / ° ' 1 к, / 1 к~ /=1 Сложив почленно все уравнения (9.3) и уравнение (9.4) и вводя обозначение Р' Р+ ~ч~ ~Ц!(х) 91, будем иметь 1=1 к> к ,~Х ~Р— — Р, Ьу/а1х О.
д (9.5) кд У/ д» у~ кь / 1 / Так как вариации Ьу/ (/= 1, 2, ..., и) не произвольны, то пока нельзя применять основной леммы. Выберем т множителей Х1(х), Хк(х), ..., Хм(х) так, чтобы они удовлетворяли уравнениям Р— — Р О (/ 1, 2...„т). У/ дх у / Если написать ети уравнения в развернутом виде, то они представляют собой систему линейных дифференциальных уравнений относительно Х1(х) и — (/=1, 2, ..., т), дЛ/ дх которая при сделанных предположениах имеет решение А1(х), Ц (х), ... ..., Х (х), зависищее от т произвольных постоанных. При таком выборе Л1(х), Хк(х), ..., Ь„(х) уравнение (93) приводится к виду к, к .) (Р' — — "Р*, ) Ьу,дх-О, У/ дх у ) К, /=К!+! // где вариации Ьу/ (/= т+1, т+2, ..., и) ухсе произвольны, и следовательно, полагаа все вариации Ьу/ = О, кроме какой-нибудь одной Ьу/, и применяя основную лемму, получим Р— — Р, О (/ т+1, т+2, ..., л).
У/ дх изопеРиметРические зАДАчи Таким образом, функции ун(х). уг(х)...., у„(х), реализующие условный экстремум функционала о, и множители Л,(х), Л,(х), ..., Л (х) должны удовлетворять системе и+ ш уравнений: Р— — Р О (У 1, 2, ..., л) лх т / и Ег=О (( 1.
2, ..., гн), т. е должны удовлетворять уравнениям Эйлера вспомогательного функционала о*, который рассматривается как функционал, зависящий от л+ ш функций Уьуг," УюЛРЛг,...,Лм. ф 8. Изопериметричесиие задачи Изопериметрическими задачами в узком смысле этого слова называются задачи об отыскании геометрической фигуры максимальной плошали при заданном периметре. Среди таких экстремальных задач, исследовавшихся еще в древней Греции, были и вариациониые задачи, например упомянутая на стр. 282 задача о нахожлеиии замкнутой кривой заданной длины, ограничивающей максимальную площаль*).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
