Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 59
Текст из файла (страница 59)
171, Рш ..., П„). и подставляем (8.6) в (8.5,).,При этом получим систему 2л уравне- ний первого порядка в нормальной форме: лу„ — „" =ыа(х, у,, д,), (8.Л Здесь и в дальнейшем фигурные скобки означают. что в скобках вместо уи подставлены ыи(х, у,, д,). С помощью функции и Н (х ум й,) = Х юя, — (Р! 1=1 система (8.7) может быть записана в каноническом виде: дО дй . дй ду дх (и= 1, 2...., л). (8.8) также не содержит х явно и, следовательно. ЛН дН ду дН Ыа 1.1 '«.1 Заметим, что если функция 1" (у1, у, ..., у„, у,, у'...., у„') не зависит явно от х, то система (8.8) имеет первый интеграл Н=С, Действительно. в этом случае и и= ~ .,д1 — (Р) 1 1 ЗУО достлточныв головня зкстгемзмл (гл. з В силу уравнений (8.8) получим — =О, Н=С дН дх вдоль интегральных кривых системы (8.8).
Для простейшей задачи этот первый интеграл уже был получен иа стр. 303. Пример !. Заков сохранения энергии. функция Н = ~чР~ а.а — [Р) для функционала ~ (Т вЂ” У) дй Т=- ~ т (хз+ уз+аз), где сохранены обозначения примера 1 стр. 320 (Т вЂ” кинетическая энергия системы материальных точек, У вЂ” цотенцнзльзая энергия), имеет следующий внд: л Н= ~ т,(х;+ уз+ха) — (Т вЂ” У) = Т+У !га — полная энергия системы. Применим принцип стационарного действия. Если нотенцнальная энергия У не зависит явно от д т.
е. система консервативна, то уравнения Эйлера для функционала ~ (Т вЂ” У) дт имеют первый а ннтег ал Н= С, Т+У= С. так, полная энергия консервативной системы остается прн движении постоянной. Интегрирование канвнической системы (8.8) равносильно интегрированию дифференциального уравнения в частных производных (8.9) — ';+Н1х, у„д™)=О, где Уравнение (8.9) называется уразнгнием Гамильтона — Якоби, Если известно однопараметрическое семейство его решений де о (х, у„а).
то известен и первый интеграл — =() системы (8.8), 8 — произвольная постоянная. Действительно, дт э з э — ! — ~ = — + Уз — '= + У вЂ”. (8ПО) дх (, да ! дхда 2З ду да дх дхда с~ду да дл, ' )=1 Ф 3! ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА 871 Дифференцируя тождество до(х, у, а) г' до(х, у, а) 1 д = ~ 'Уч д ) а Уг получим д'о ~~ до д'о дх да дг)г дуг да г=г (8.11) и, подставляя (8.11) в (8.10), получим в правой части (8.10) тожде- ственный нуль. Итак, откуда до да Следовательно, если известен полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби о=о(х уг уз ° ° ° у,.
пг аа ° °, а„) то известно и и первых интегралов системы (8.8)г М =Р,. (1 — 1, 2, ... и). Если якобиан системы (8.12) отличен от нули 1д 1=' то система (8.12) определяет у, как функции остальных аргументов: у,=у,(х, ап аз, ..., а„, рг, рз, ..., р„) (8.13) (1=1, 2, .... и). (8,12) Тем самым получено 2п-параметрическое семейство зкстремалей.
Можно доказать, что (8.13) является общим решением системы уравнений Эйлера, а функции у,(х, аг... „о.„, рц ..., 8„) и (г=!. 2, ..., и) до(х,у,а) Чю ду являкгтся общим решением системы (8.8). Пример, Найти уравнение геодезических линий на поверхности. на которой злемеит длины кривой имеет внд дз' (ф (х)+ рл (у)) (дхг+ ду'). (гл. а ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА т. е.
найти зкстремали функционала к, Так как к- """'зк"' -ггзчзкг» 1 ~=~. 'ь/(+ у'* У' , / —,Т ' О'+ Чз = В (х) + Ч~ (У). У то уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид (дх) (д ) ( — ) — ~р~ (х) йз(у) — ( — ) . Для уравнений такого типа (уравненнй с разделенными переменными) Ф,(х, д ) Ф,(У, д ) или легко находится первый интеграл.
Полагая ( ) де 1' ( дп т — ) — чч (х) = а и ез(у) — ( — ) =и дх) (ду) нли — =)' и1(х)+а де де — йз (у) — а, ду находим -)гь,()-~ *-~(гктз — — 'т ч, дп следовательно, уравнение геодезических линий — р з лаином случае да имеет внд дх ~' ну )/~р,(х)+а l )/Оз(у) — а . Замечание. К уразнениаз Гамильтона — Якоби можно прийти и из иных соображений. Рассмотрим центральное поле вкстремалей с центром в точке А(хз. уз) для функционала х, о [у(х)] = ~ Р(х, у, у') дх.
ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ Э зтя На экстремален поля функционал о[у(х)) превращается в функ- цию о(х. у), координат второй граничной точки В(х. у). Как было укаэано на стр. 370, до — = — Н(х. у, а), дх до ду Исключая а, получим до / до 1 — = — Н[х,у,—.
дх ( ду ) ~ Р(х, уи у,, ..., уа, у,', у,'...., у„)с(х. к, Задачи к главе 3 Исследовать па экстремум функционалы 1. о [у(х)) = ~ (ху'+ у' ) дх; у(О) =1; у(2) =О. о а 2. о [У(хЯ= ~ (У" +2УУ' — 1ОУ2) Ах; а > 0; У(0) = О; У(а) =О. е 3. о [у(х)[= ~ у'(1+хгу') дх; у( — 1) =1; у(2) =4. — 1 г 4. о [у(х)) = / у (1+х'у') дх; у(1) =3; у(2) 5. 2 3 [у(х))= ~у'(1+х'у') 'х; у( — 1)=у(2)-1 -1 6. о[у(х)) = / (4уг — у'+Зу) дх; у(0) = — 1; у( — ) =О.
э 2 7. о[у(х)) ~ (х'у'-1-12уг) дх у (1) = 1; у (2) ~ 8. 1 Итак, функция о(х, у) является решением уравнения Гамильтона — Якоби, Совершенно аналогичные рассуждения справедливы и для функционала ГЛАВА 9 ВАРИАЦИОННЪ|Е ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ В 1. Связи вида Р(х, ум у„..., у„) =0 Вариацноннымн задачами на условный экстремум называются задачи, в которых требуется найти экстремум функционала о, причем на функции. от которых зависит функционал о, наложены некоторые связи. Например, требуется исследовать на экстремум функционал к, о(Ум Уа' '' ' ° Ук1 ~ ~(»' Ум Ув' ' ' '' Ук' У1' Уа' ' ' '' Ул) ех «о при наличии условий ~р,(х, ун уа, ..., у„)=0 (1=1, 2...., т; т <л), Вспомним, как решается аналогичная задача при нсслелозании на экстремум функцнн г= г(хн хм ..., х„), пря наличии связей гр,(хн хм ..., х„)=0 (1=1, 2, ..., т; т л).
Наиболее естественный путь заключается в разрешении системы ф, (хи хм ..., х„) = 0 (1 = 1, 2, ..., т\. уравнения которой мы буден считать независимыми, . огносительно каких-нибудь т переменных, например относительно хм хз, ..., хм: х,=х,(х .„, х еа, ..., х„); хт хз (х~к гг хщ+а хк) х„=хм(хмен х,в, ..., х„), и подстановки найденных х,, ха, ..., х в у(хн хм ..., х„).
При этом функция Г" (хн хм ..., х„) становится функцией Ф(х +,. х, ..., х„) только л — т переменных хм+м хм+а, ..., х,, зуе влвнлцнонныв злдлчн нл ксловнын экстявмкм (гл, э которые уже независимы, и следовательно. задача свелась к исследованию функции Ф на безусловный экстремум. Этим путем можно, конечно, решать и поставленную выше вариационную задачу. Разрешая систему ф,(х, ун уг, ..., У„)=0 (1=1, 2, ..., т) относительно у,, уг, ..., у (или каких-нибудь других т функций у,) и подставляя их выражения в о(ун уг, ..., У„1, мы получим функционал В'[у„~н у эг, ..., У„1, зависящий только от и — гн уже независимых аргументов, и. следовательно, к функционалу )Уг применимы методы, изложенные з Э 3 главы 6. Однако как для функций. так 'и для функционалов обычно более удобен другой метод решения, называемый методом неопределенных множителей, сохраняющий полное равноправие переменных. Как известно, этот метод при исследовании на экстремум функции я = у(хн хг, ..., х„) при наличии связей ф, (хн хг, ..., х,) = О (Г = 1, 2, ..., гл) заключается в том, что составляется новая вспомогательная функция *=У+Х) ф 1=1 где ),,— некоторые постоянные множители, н функция л' исследуется уже на безусловный экстремум, т.
е составляется система уравдл" пений — =0 (у'=1, 2, ..., а), дополненная уравнениями связей дх~ ф',=0,(1=1, 2, ..., ш), из которой опрелеляются все л-+т неизвестных хо лг, ..., х„и Хо ).г, .... Х . Совершенно аналогично может быть решена задача на условный экстремум и для функционалов, а именно: если = ~ Р(л Уг Ут ° Уп' Уг Уг У„) г(л фг (л у~ уг ° ° ° ул) = 0 (1 = 1 ° 2 ° ' ° гл).
то составляют функционал к,, ж . = ~' ( Р,. ~ Е, (.„, ) .. .ч г=г где Р'= Р+ ~л~~ ~Хг(л)фн связи вида эг«, ег > е который уже исследуется на безусловный экстремум, т. е. решают систему уравнений Эйлера Н Р вЂ” — Р =О (/=1, 2,..., и), г) лх у) дополненную уравнениями связей ф, = О (Е = 1, 2... „т). (9.1) Число уравнений т+ н, вообще говоря, достаточно для определения т + и неизвестных функций ун у,, ..., у„ и ).н г', ..., Х~, а граничные УсловиЯ Ут(ха) = У) и УГ(х1) = Уя (У' = 1, 2, ..., Н), которые не должны противоречить уравнениям связей. вообще говоря, дадут возможность определить 2н произвольных постоянных в общем решении системы уравнений Эйлера.
Очевидно, что найденные этим путем кривые, на которых достигается минимум или максимум функционала о*, будут решениями и исходной вариационной задачи. Действительно, при найденных нз системы (9.1) функциях ),,(х) (Г = 1, 2, ..., т) и у) (Г' = 1, 2, ..., п) все ф, = О ю (~' Ун Ум ' ' У У1 Уз ' У )~~ «, нри наличии условий ф, (х, у,, у,, ..., У„) = О (Р = 1, 2..... т; т ( и) удовлетворяют ири соотеетснгеующем выборе множителей Х~(х) (1=1, 2, ..., т) уравнениям Эйлера, составленным для 25 л. э. э«веге«ьч и, следовательно, о*=о, причем если при у) — — ут(х) (~'= 1, 2, ..., и), определенных из системы (9.1), достигается безусловный экстремум функционала о*, т. е.
экстремум по отношению ко всем близким кривым, как удовлетворяющим уравнениям связи, так и не удовлетворяющим им, то, в частности, экстремум достигается и по отношению к более узкому классу кривых, удовлетворяющих уравнениям связей. Однако из этого рассуждения отнюдь не следует, что все решения исходной задачи на условный экстремум будут давать безусловный экстремум функционалу о' и, следовательно, остается невыясненным, все ли решения могут быть найдены этим методом.
Мы ограничимся доказательством более слабого утвержления. Теорема. Функции ун у, ..., у„, реализующие экстремум Функционала 373 влвнлцноннын злдлчн нл ксловнын экствзмкм Фуккииакала (гл. а Функции Х!(х) и у,(х) определяются из уравнении Эалера « Р— — Р =0 (1=1,2,...,п) дх т! <р,=О (1=1, 2, ..., т). Уравнения !р! =0 можно также считать уравнениями Эйлера для функционала о', если аргументами функционала считать не только функции у!, уз, ..., у„, но и Х!(х), Хз(х), ..., ) (х). Уравнения !р,(х, ун у, ..., у„)=0 (1=1, 2, ..., т) предполагаются независимыми, т.
е. оЛин из якобнаное порядка т отличен от нуля, например +О 1)(у!. ун "" ут) Доказательство. Основное условие экстремума Ьо=О принимает в данном случае вид « ~~~ Р бу)+Р,бу')ах=О. «, /=1 Интегрируя по частям вторые слагаемые в каждой скобке и принимая во внимание, что (Ьу1)' =Ьу' и (Ьу!) = 0; (Ьу!)», = О, получим н л ~ ~~)~~(Є— — „Р,)бу д»=0. « 1-! Так как функции у,. уз... „ у падчннены т независимым связям юре(х, уг, уя, ..., у,)=0 (1=1, 2...., т), то вариации бу) не проиввольны, и пока применять основной леммы нельая.
Вариации бу) должны удовлетворять следующим условиям, связи видл эрь эр э 379 полученным путем варьировании уравнений связей ф/ — — О: л Х ~В Ьу/=О (/=1, 2, ° ° ., Щ)е). /1 и следовательно. только и — ш из вариаций Ьу можно считать произвольными, например Ьу чп Ьу„+э, ..., Ьу„, а остальные определяются нз полученных уравнений. Умножая почленно каждое из этих уравнений на Л/(х) г/х и интегрируя в пределах от хс до х,, получим Х л / Л,(х) ~ д ' бу/с/х=О (/=1. 2, ..., ш). /.1 Складывая почленно все этн и уравнений, которым удовлетворяют допустимые вариации Ьу/, с уравнением ю ч ~ ~~) (Є— — „Р )Ьу/дх=О, и / будем иметь ж и Ш у ~ — + у,Л,(х) — — — — Ьу/Их=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
