Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Ьх, = О, откуда в силу произвольности Ьх, получим (Р+ (ф' — у') Р, + (ф' — г') Р, )„„= О. Это условие носит название условия трансверсальности в задаче об исследовании на экстремум функционала о= ~ Р(х. у, г, у', «')Их. Условие трансверсальности совместно с уравнениями у, =ф(х,) г, =ф(х,) дает недостающие уравнения для определения произвольных постоянных в общем решении системы уравнений Эйлера.
Если граничная точка В(хн уц г,) может перемещаться по некоторой поверхности г, =ф(хн у,), то дг,=ф„'Ьх, + ф'„Ьун причем вариации Ьх, н ду, произвольны. Следовательно. условие Ьо=О или, в раавернутом виде, (Р-уР, -"Р.)„„ьх,+Р, 1„„Ьу,+Р, ~,,бг,=о преобразуется в условие у Ру, г Р»* +ф Р ~ Ьх| +~Р +Рьф 1 Ьу1 О Отсюда в силу независимости Ьх, и Ьу, получим ~Р— у'Р„, + (ф„' — г') Р,,~ =О, [Р,. + Р,,р„'1 =О. Эти два условия вместе с уравнением г,=ф(хн у,), вообще говоря, дают воаможность определить две произвольные постоянные з общем решении системы уравнений Эйлера. Если подвижной является граничная точка А(хе, уе. ге).
то тем же методом в этой точке получим совершенно аналогичные условия. ЗАДАЧА О ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ Если рассмотреть функционал к и 1Рьх ун у2 ул у1 у2 у )ох к, то без изменения метода доказательства получим, что в случае подвижной точки 8(хр уц, уы, .... у„,) в втой точке Р— ~ у,'Р Ьх, + ~, Р, Оу,, =О. Пример 1. Найти условие трансверсальностн для функционала к, о= 1 А(х, у, г) у'1+у' +к" ах, если к, ~р(хн у,). Условия трансверсальностн [Р— у Р +(о,— «)Р~,~ =О и ~Р~,+Р,,<э'1 О в данном случае имеют внд 1+(2„» =0 и у +у к =0 при х=х» илн — — = — прн х = хь т. е.
являются условием параллельности вектора 'гк л'э касательной Г (1, у', л') к искомой экстремалн в точке (хь уь л,) и вектора нормали Ф(О„, ок, — 1) к поверхности к=о(х, у) в той же точке. Следовательно, условие трансверсальностн становится в В данном случае условием ортогональности экстремали к поверхности л = гэ(х, у) П р и и е р 2. Найти экстремальное расстояние между двумя поверхностями л 12(х, у) н к= ф(х, у).
Иначе говоря, найти экстремум интеграла У ( + у' + к' Лх нрн условии, что коорди- к, наты одной кз граничных точек (хл уэ ка) удовлетворяют уравнению лэ <р(х, у,), а координаты другой граничной точки (х, уь л,) удовлетворяют ис, 7., уравнению л, = ф(.гь У~). Так как подынтегральная функция зависит лишь от у' и л', то экстремалями являются прямые линии (см. пример 2, стр.
307) Так как функционал к| У'1+ у' +л' нх является частным случаем рассмотренного в преды- к, душем примере функционала ~ А(х, у, к) э/1+у" +л" йх, то условия 668 влпилциоииыв задачи с подвижными гвлиицлми ~гл. т трансверсальности как в точке(ха у„х,), так и в точке (хь уь х,) переходит в условия ортогональности. Следовательно, экстремум может достигаться лишь на прямых, ортогональных как к поверхности х = ф(х, у) в точке (х», у», х»), так и к поверхности х= ф(х, у) в точке (хь у,, х,) (рис.
7.6). Пример 3. Исследовать на зкстремум функционал к, о =» ~ (у" +х" + 2ух) лх, причем у(0)=0; х(0)=0, а точка(х1Лун х,) может к, перемешаться по плоскости х= хь Система уравнений Эйлера имеет вид ໠— у = 0; у" — х = О, откуда угт — у = 0; у = С, сих+ С,зд х+ С,соя х+ +С,зщх, х= у"; х= С,сих+С»зйх — С,созх — С,з!йх. Йз условий у(0)=Он х(0) = 0 получаем: С,+ С,= Он С,— С, О,откуда С, = С,= О. условие в подвижной граничной точке (Р— у'Рт — х'Р .) бх1+ Р ( Ьу1+Р» ( бх| —— 0 переходит в условии Ру ( 0 и Р» ! 0 так как бх,=О, а Ьу, и Ьг, произвольны. В рассматриваемом примере = 2у', Р,.
= 2х', следовательно у'(х~)=0 и л'(х,)=0 С»сил~+С,соя х, = 0 и Стсйх,— С,созх, О, али Если соя х, + О, то С, = С4 = 0 и зкстремум может достигаться лишь иа л примой у=О; л О. Если же созх,=О, т. е. х,= — +лн, где л — целое 2 число,то С» = О, С, — произвольная постоянная, у= С4 з~п х, л= — С, зшх. Нетрудно проверить, что в последнем случае при любом С, функционал о = О. й 3.
Экстремали с угловыми точками До сих пор мы рассматривали вариационные задачи, в которых искомая функция у=у(х) предполагалась непрерывной и имеющей непрерывную производную. Однако во многих задачах последнее требование является неестественным, более того, в некоторых классах вариационных задач решение, как правило, достигается на экстремалях, имеющих угловые точки. К числу таких задач принадлежат, например, задачи на отражение и преломление экстремалей, являющиеся обобщением соответствующих вадач нз отражение и преломление света.
Задача об отражении як стрема лей. Найти кривую, реализующую экстремум функционала о = ~ Р (х, у, у') Фх и проходящую чеРез заданные точки А(хс, Уя) и В(хжз, Уз), пРичем кРиваЯ додд»на ЗКСТРВМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ попасть в точку В лишь после отражения от аааанной линии у =ф(х) (рис.
7.7). Естественно считать, что в точке отражения С(хп у,), может быть угломаяточка искомой экстремали н, следовательно, в этой точке левая производная у'(х, — О) и правая проиаводная у'(х, + О), вообще говоря, различны. Поэтому удобнее функционал о (у(х)! прелста- Л(»а «аl - 'у у( вить в виде х, С(»чу,) о (у(х)! = ~ В(, у, у') (х+ х и + ~ Г" (х, у, у')с(х, а причем на каждом из интервалов хз ( х ( х, и х, ( х ( хт производная у'(х) предполагается непрерывной и, следовательно, мы можем пользоваться изложенными выше результатами.
Основное необходимое условие экстремума Ьо = 0 принимает вид х, а'а Ьо=б ~ В(х, у. у')а(х+ Ь ~ В(х, у, у')а(х=О. .аа к, Так как точка (хн у,) может перемещаться по кривой у=ф(х). то х, х, при вычислении вариаций Ь~ Г'(х, у, у')а(х и Ь ~ Г" (х, у, у')атх х, х, мы находимся в условиях задачи с подвижной граничной точной, лвижущейся по заданной кривой, и можем использовать результапч ! (стр. 327). Очевилно, что кривые АС и СВ являются экстре. милями. »(ействительно, на этих участках у =у(х) является решениеч уравнения Эйлера, так как если считать одну из этна кривых уже найденной и варьировать лишь другую, то задача сводится к нахо- х, -а аа- ° - (а (- )аа ) ° °-- с закрепленными граничными точками.
Поэтому, вычисляя вариацию функционала, булем уже считать, что функционал рассматривается лишь на экстремалях, имеющих угловую точку С. Тогда х, У У)аах=(Г+(ар У)ВМ!»» збхт »а З40 вляилцнонныв задачи с подвижными гялницлми (гл, г Ь ~ Р(х. у, у')с(х= — [Р+(р' — у')Р„! рбх, к, (см. стр. ЗЗ!). гле знаки х=х, — 0 и х=х,+О означают, что берется предельное значение величины, стоящей в скобках пр ~ приближении к точке х, в первом случае слева (со стороны значений х, меньших х,) н во втором случае справа (со стороны значений х, больших х,).
Так как в точке отражения разрывна лишь производная у', то в первом случае надо взять в угловой точке левую производную, а во втором случае — правую производную. Условие Ьо = 0 принимает вид ! +(ф — у)Рг 1„л ебх1 — (Р+(р' — у)Р, ! рЬХ,=О или, так как Ьх, изменяется произвольно, то (Р+(Ч' — у')Р !... е=(Р+Ор' — у')Р ! или Р(хо уп у'(х, — 0))+(<р'(х,)— — у'(х, — О)) Р„(хи ун у'(х, — 0))=Р(хн ун у'(х, +0))+ +Ор'(х,) — у'(х, +0))Р„(хн уо у'(х, + 0)). Это условие отражения приобретает особенно простой аид для функ- ционалов типа к, о= ~ А(х, у) у' ! ! у" с(х, а именно: ~, ь)~Г~, -:- (т' — у') у' ! + у с=о-е д(„, ~)~г(ч, ч ь — ~)~! )/'! ~,2 ! к=о+а илн, упрощая и сокращая на А(хо у,) в предположении, что А(хо у,) Ф О, получим '+'~ у ! (+~'х' з Обозначив угол между касательной к кривой у = ~р (х) и осью абсцисс буквой а, а углы наклона к оси абсцисс левой и правой Ф з1 ЭКСТРВМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ касательных к зкстремали в точке отражения С, соответственно Р, и Ря (рис.
7.8), получим у' (х, — О) = 1п Ри у' (х, + О) = 1д Ря; гр' (х1) = 1и а, Условие в точке отражения приобретает вид 1+1яа 189~ !+1аа 18Рк — зес Р, зес р, или после упрощения и умножения на сова: — соз(а — Р,) = соя(сг — р,). Отсюда следует равенство угла падения и угла отражения. Рис. 7йи Если точка движется в некоторой среде со скоростью о(х, у), то время 1, затрачиваемое на перемещение точки из положения А(хе, уе) в положение В(хо у,), равно интег- к, й(хк.у) учр(х1 ралу / с(х, который принад- %+ у' ,l о(х, у) к, С/хну,) лежит к рассматриваемому виду функция- л(х;ук) к х опалов ~ А (х, у)тг1 + у' с(х, и еле- р к, довательно, при любом законе измене- Рис.
7.9. ния скорости о(х, у) в точке отражения угол падения равен углу отражения. Если бы точки А, В и С были расположены иначе, например так как они расположены на рис. 7.9, то для получения того же условия в точке отражения из-за двузначности функции у = у(х) удобнее было бы проводить исследование в параметрической форме. 28 л.
э. эль кельи 342 ВАРЙАционные зАЛАчи с подвижными гРАницлми 1гл. т Преломление якстремалей. Предположим. что подынтегк, ральная функция функционала о= ~ Р(х, у, у')ггх в рассматри- «О ваемой области имеет линию разрыва у =ф(х), а граничные точки А и В расположены по разные стороны линии разрыва (рис. 7.10), Представим функционал о в виде к, о= ~ Р,(х, у, у')г(х+ ~ Рз(х, у, у') Ых, к к, где Р,(х, у, у') = Р(х, у, у') с одной стороны линии разрыва, а Рс(х, у, у')= Р(х, у, у') с другой стороны линии разрыва.
Рис. 73 ~ Предположим, что Р, н Рэ трижды дифференцируемы. В точке С пересечения искомой кривой с линией разрыва естественно ожидать наличия угловой точки. Луги АС и СВ, очевидно, являются экстремалямн (это опять следует нз того, что, фиксируя одну из этих дуг и варьируя лишь другую, мы получим задачу с закрепленными граничными точками).
Поэтому можно брать в качестве кривых сравнения лишь ломаные, состоящие из двух дуг экстремалей, н тогда вариация ввиду подвижности граничной точки С(хо у,), перемешаю- шейся по кривой у =ф(х), прнннмает следующий вид (см. стр. 331): к, к бо=б ~ Р,(х, у, у')ц'х+б / Ре(х, у, у')г(х= к1 к =!Рг+(Ф у ) Рин! обхг — (Рт+(гр у ) Ртт')к-к+обх1 и основное необходимое условие экстремума бо = 0 сводится к равенству г+(ф у ) гг )к=к,-о 1 а + (ф у ) аг )к кгьо' ВКСТРВМАЛИ С УГЛОВЫМИ ТОЧКАМИ 4 з) Так как в точке преломления может быть разрывна лишь у', то это условие преломления можно записать и в следующем виде: Р,(хи ун у'(х, — О))+ +(гр'(х,) — у'(х, — 0))Р1У (хн ун у'(х, — О))= =Во(хн уп у'(х, + О))+ + (<р' (х,) — у'(х, + О) ) Рог (хн у,, у' (х, + О) ). Это условие преломления вместе с уравнением у,=ф(х,) лает возможность определить координаты точки С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
