Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 52
Текст из файла (страница 52)
е. значение, соответствующее аргументу, для ко!орого вариация фуисционала равна нулю) интегралу ~(Т У) д(, где Т вЂ” кинетическая, а У вЂ” потенциальная энергия системы. Применим этог принцип к нескольким задачам механпсн. Пример 1. Лана система материальных точек с массами ш<(1=1, 2, „л) н координатами (хь у<, г<), на которую действуют силы д<, обла- дающие силовой функцией (погенциалом) — У, зависящей только от коор- динат: дУ , дУ дУ Т ° = —;Ту= — ',Р»= — —, с дх;'; ду«' дл<' где р х, г' ю Лх — координаты вектора р<, действующего на точку (хл уь л,). Найти дифференциальные уравнения движения системы.
о дан- ном случае кинетическая энергия Т 1 ~тгл (,'.2 ] '2 ] '2) <=1 а потенциальная внергия системы равна У. Система уравнений Эйлера для интеграла некОторые пРилОжения имеет вил ди г ат ди и дт ди и дт — — — — — О; — — — — —. О; — — — — —.
О. дх«ат ох, ду«дт ду«дл«ЛГ дл« нли «их — Р» О; гл у — Рг 9 глл — г» О ««, ' «« (1 1, 2...., и). Если бы движение было подчинено еще некоторой системе независимых связей Ч)(Г, хи хи ..., х Ун Уь ..., У„, ло ли ..., лл) О (! 1,2,..., ю, ю<Зл), то из уравнений связей можно было бы выразить «н переменных через Зл — т независимых переменных (не считая времени Г) илн выразить все Зл переменных через Зп — ьт новых, уже независимых, координат Ч«Чь ° °" Ч«л-«э Тогда Т н и можно было бы также рассматривать как функции Ч«, Чэ, ..., Чэл и и П Т Т(Ч«Чт ° ° Ча»-т Ч~ Чэ ° .
Чэ»-»«О и и(ч«ч "" ч — г) и система уравнений Эйлера имела бы вид а<т и) д дт — — —.- О <1- 1, 2...., Зп — »). дЧ«ат дЧ« Пример 2. Выведем дифференциальное уравнение свободных колебаний струны. Поместим начало координат н один из концов струны. Струна э состоянии покоя пол влиянием натяжения расположена вдоль некотором прямой, по которой направим ось абсцисс (рис. 6.15). Отклонение от положения равновесии и (х, «) будет функщ«ей абсциссы х н времени Г. и Потенциальная энергия и элемента абсолютно гибкой струны пропорциональна растяжению струны.
участок струны ах в деформированном состоянии, с точностью до беско. печно малых более высокого «юряд- и - и(хди ,2 х ка, имеет длину аз = у' 1+н„ах и,следовательно, удлинение влемента равно <Р' 1+н» вЂ” 1) ах. Поформу- Рнс. 6.15. т/ Д 1,э ле Тейлора Р' 1+н„ю 1+ — и . Считая и малым и пренебрегая более высокими степенями и, полу- 1 ° э чим, что потенцнальнав энергив элемента равна — Аи„дх, где Л вЂ” множитель 21 л. э. эльсгэлъц 322 митод вднидиии в зддлчАХ О нвпсдвнжнЫмн гндммылмм сгд.а пропорциональности, а потенциальнав анергия всей струны равна ! — / аи' дж 2 / к о Кинетическая анергия струны равна — / рм дх, 2/ о и где р — плотность Интеграл / (Т вЂ” (С] дг имеет в данном случае вид с, с, ГГ1 с 1,ст о / / ~ — ри — —,Аи ~ ахдт. / 12 ' 2 к) Уравнение движения струны будет уравнением Остроградского для функ- ционала о.
Итак, уравнение движения струны имеет аид ЫРис)-д,йм,) О д д Если струна однородна, то р и Д вЂ” постоянные, н уравнение колеблющейся струны упрощается: д'и д'и р, д Р дм дхс допустим теперь, что на струну действует еще внешняя сила у(С, х), перпендикулярная к струне в ее положении равновесия и рассчитанная на единицу массы. Как легко проверить, силовая функция втой внешней силы, действующей на алемент струны, равна рУ(С, х)идх; следовательно, ннтеграл Остроградского — Гамильтона ~ (Т вЂ” (с') дг имеет внд сю с, ! с. Г!, 1,с ~ — ри' — —, Аи' +ру'(С, х) и1 их до, / (2 с 2 к о а уравнение вынужденных колебаний струны — (ри,) — — (ди„) — ру' (д х) О, д д или, если струна однородна, д'и й дои — — — — =У(1 х) дтс р дхс Совершенно аналогично может быть получено уравнение колеблющейся мембраны.
Пример 3, Выедаем уравнение колебаний прямолинейного стержни. Нассравим ось абсцисс по оси стержни, находящегося в положении равиове- 324 метОд ВАРНАННН В ВАДАчАх с ненОдвижными гРАницАми 1гл. ь поле чв=в(х. у, г, (). Интеграл ~(Т вЂ” (к)Ф в данном случае, вообще говоря, булет равен четырехкратному интегралу по простран- ственным координатам х, у, г и по времени 1 от некоторой функ- ции с., называемой плотностью функции Лагранжа или лагран- жианон. дв дв св дв, Обычно лагранжиан является функцией в,— дх' ду' дг' д( дв дв дтв дв 1 С=у.
(в. —. —, —, — 1, дх' ду' дг' д()' и, следовательно, действие имеет вил ~ б (в, д, —, д, д )а1хс(ус(гс(г, (6.3) о Согласно принципу стационарного действия уравнение поля является уравнением Остроградского для функционала (6.3): д д д д бв дх (~л1 1 ду (~л11 дг (~лз) д( (~л,~ а. где дв дв СВ ОВ Р1 = дх ' Задачи к главе б 1. Найти вкстремалв функциоиалг (у И ~~ + У к, 2. Исследовать на вкстремум функционал о[у(х)) ' ~ (ук+2хуу')дх; у(х)=ум у(х)=уь 3.
Исследовать иа вкстремуи функционал 1 Р(У(х)) / (хУ+У' — 2УкУ')их; У(0)=1; У(1) 2. Ь 4. Найти вкстремали функционала к, Р(У (хН = ~ У'(1+ лгу')дх. ЗАЛАЧИ К ГЛАВЕ В б. Найти вкстремали функционала о [у (х)) ~ (у" + Еуу' — !6У') мх. к, 6. Найти вкстремали функционала к, о [у (х]) = ~ (ху'+у' ) нх. к 7. Найти вкстремали функционала к1 ук о [у(хЦ = ) —, к(х. у 8. Найти вкстремали функционала к, о [у(х)) = ~ (у'+ у' — 2у в(п х) Мх. к, 9. Найти вкстремалн функционала о [у (х)) = ~ (1бу' — у" + х') ь(х. 16. Найти вкстремали функционала к, о [у(хЦ = ~ (2ху+ уса ) нх.
11. Найти вкстремали функционала о [у (х), л (х)) = ~ (2ук — 2у'+ у' — х") нх. 1д Написать уравнение Остроградского для функционала о[к(х, у)]= / ~ ~( — ) — ~ — ) 1 ахну. о 13. Написать уравнение Остроградского для функционала о[н(х,у,л)) / / [ ~(~ ) +(д ) +(д ) +Ену(х,у,л)]их~(улл о 14, Найти вкстремали функционала к, о[у(х)) = ) — йх. ! у 22 л. в.
Вльсголья 15. Найти экстремали функционала л, о [у(х)[= ~ (у'+у' +2ул")их. л, экстремали функционала и о [у (х)] = .~ (Уэ — У' — 2у 51н х)мх. и !6. Найти 17. Найти экстремали функционала о [у(х)! = ~ ~у'+(у')т+ — ~ т(х. 18. Найти экстремали функционала н о [у (х)! = ~ [хт(у')э+2ут+ 2ху[их. к, 18. Найти экстремали функционала к, и [у (х)! ~ [(у")а — 2 (у')'+ у' — 2у э(н х! с(х.
3). Найти экстремали функционала Х о [у (х)! = ~ [(у"')э + уэ — 2ух'! Нх. х,, 326 митоц илнмлцня н элцачлк о ниноцинжнмми еиАмнцамн (тл. а ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ ГРАНИЦАМИ И НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ЗАДАЧИ В !. Простейшая задача с подвижными границами В главе б прн исследовании функционала о = ~ Р(х, у, у') с(х к, гредполагалось, что граничные точки (хе, уе) и (хн у,) заданы. Предположим теперь. что одна илн обе граничные точки могут перемещаться. Тогда класс допустимых кривых расширяется, — кроме кривых сравнения, имеющих общие граничные точки с исследуемой кривой, можно уже брать и кривые со смещенными граничными точками. Поэз оку если на какой-нибудь кривой у = у(х) достигается экстремум в задаче с подвижными граничными точками, то экстремуч тем более достигается по отношению к более узкому классу кривых. нмеющ~к общие граничные точки с кривой у=у(х), и, следовательно, должно быть выполнено основное, необходимое лля достижения экстремума в задаче с неподвнжнымн границами условне— функция у(х) аолжна быть решением уравнения Эйлера Ф Р вЂ” — Р„= О.
л'х Игак, кривые у = у(х), на которых реализуется экстремум е залаче с подвижными границами, должны быть экстремалямн. Оощее решение уравнения Эйлера содержит две произвольные постоянные, аля определения которых необходимо иметь два условия. В задаче с цеподвнжнымн граничными точками такими условиями были у(хе)=уе " у(хг)=уз 22» 3йй ВАРиАционные зАдАчи с подвижными гРАницАми [гл. т В задаче с подвижными границами одно или оба эти условия отсутствуют и недостающие условия для определения произвольных постояннык общего решения уравнения Эйлера должны быть получены из основного необходимого условия экстремума — равенства нулю вариации Ьо. Так как в задаче с подвижными границами экстремум достигается лишь на решениях у=у(х, Сн С,) уравнения Эйлера, то в дальнейшем можно рассматривать значение функционала лишь на функциях этого семейства.
При этом функционал о(у(х, Сп С,)) превращается йl Рнс. 7.1. в функцию параметров С, и Сз и пределов интеграции х, и хн а вариация функционала совпадает с дифференциалом этой функции. Яля упрощения будем считать, что одна из граничных точек, например (хэ, уе), закреплена, а другая (хн уг) может перемещаться н переходит в точку (х, + Лхп у, + Лу,), или, как обычно обозначают в вариационном исчислении, (х, -)- Ьхн у, + Ьу,). ))опустимые кривые у = у (х) н у = у(х) + Ьу будем считать близкими, если модули вариаций Ьу и Ьу' малы, и 'малы модули приращений Ьх, и Ьу, (приращения Ьх, и Ьу, обычно называют вариациями предельных значений х, и у,).
Экстремали, проходящие через точку (х, уе), образуют пучок экстремален у=у(х, С,). Функционал о(у(х, С,)) на кривых этого пучка превращается в функцию С, и хг Если кривые пучка у=у(х, С,) в окрестности рассматриваемой экстремали не пересекаются, то о[у(х, С,)) можно рассматривать как однозначную функцию х, и ун так как задание х, и у, определяет экстремаль пучка (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
