Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Э 2. Уравнение Эйлера Исследуем на экстремум функционал к, о (у(х)1 = ~ г (х, у(х), у'(х))лкх. к. (6.1) причем граничные точки допустимых кривых аакреплены: у(хн) =уз и у(х,) = у, (рис. 6.3). Функцию В'(х, у, у') будем считать трижды лифференцируемой. Мы уже знаем, что необходимым условием экстремума является обращение в нуль вариации функционала. Покажем теперь, как применяется эта основная теорема к 9 рассматриваемому функционалу, В причем мы еще раз повторим предыдущее рассуждение применительл но к функционалу (6.1). Предположим, что экстремум достигается на дважды дифференцируемой кривой у = у(х) (требуя лишь существования производных первого О гк Хк порядка у допустимых кривых, можно иным методом доказать, что у кривой, реализующей экстреРнс.
6.3. мум, существует и вторая производная). Возьмем какую-нибудь близкую к у = у(х) допустимую кривую у = у(х) и включим кривые у = у (х) и у = у (х) в однопараметрическое семейство кривых у(х, а) = у(х)+а(у(х) — у(х)); прн а=О получим кривую у=у(х), при а=1 имеем у=у(х) 292 метод вавилции в задачах о неподвижными геаницлми (гл. а параметра уяаэнениг эплеРА % 21 (рис. 6.4). Как мы уже знаем, разность у(х) — у(х) называется вариацией функции у(х) н обозначается Ьу.
Вариация Ьу в вариационных задачах играет роль, аналогичную роли приращения независимого переменного Ьх з задачах на исследование экстремумов функций у(х). Вариация функции Ьу=у(х) †у (х) является функцией х. Эту функцию можно дифференцировать один нли несколько раз, причем (Ьу)' = у'(х) — у'(х) =Ьу', г. е. производная вариации равна вариации производной, и аналогично (Ьу)л = у" (х) — у" (х) = Ьу", (Ьу)пн = урч (х) — урч (х) = Ьу<а>.
Итак, рассмотрим семейство у=у(х, а), где у(х, а)=у(х)+ + абу, содержащее при а=О кривую, на которой достигается экстремум, а при а=1 — некоторую близкую допустимую кри- У вую — так нааызаемую кривую 'ч' сравнения. .Ф' Если рассматривать значения функционала л к, о (у (х)) = / Е (х, у, у') ох ж 2' только на кривых семейства О у = у (х, а).
то функционал превращается в функцию а: Рис. 6.4. о ! у (х, а)1 = р (а), так как значение параметра а определяет кривую семейства у = у(х, а) и тем самым определяет и значение функционала о(у(х, а)). Эта функция <р(а) достигает своего экстремума прн а=О, так как при а = О получаем у = у(х), и функционал, по предположению, достигает экстремума по сравнению с любой близкой аопустимой кривой и, в частности, по отношению к блиаким кривым семейства у = у (х. а). Необходимым условием экстремума функции ф (а) при а= О, как известно, является обращение в нуль ее производной при а = О: ф'(О) =О. Так как к, ~р(а) = ~ Р(х, у(х, а), у„'(х, а)) с(х, 20а метод вявилцин в задачах с неподвижными геаиицами [гл.а то ~р'(а) = / '[Ру — у(х, а)+ Р'„~, у'(х, а)[с[х.
где — Р (х, у (х, а), у'(х, а)), †, Р (х, у(х, а), у'(х, а)), ду' или, так как ~,„ у (~. а)= д [у (х) + абу[ = бу д д — у'(х, а)=,д [у'(х)+абу'[=Ьу', получим к, гр'(а)= ~ [Р„(х, у(х, а), у'(х, а))бу+ «О + Р'„(х, у(х, а), у'(х, а))бу'[ах; ~р'(0)= ~ [Рт(х, у(х), у'(х))Ьу+ Рг (х, у(х), у'(х))бу'[Пх. к, Как мы уже знаем, ф'(0) называется варкацией функционала и обозначается Ьо. Необходимое условие экстремума функционала о заключается в обращении в нуль его вариации: Ьо=О.
Для функционала о[у (х)1 [ Р(х, у, у )~рх к, это условие имеет вид ~ [~'г бу + г „бу'[ пх = О. о Интегрируем второе слагаемое по частям и. принимая во внимание, что бу'=(бу)', получим к, Ьо=[Р» Ьу[„'+ / (Г~ — „~ Г„)буях. м Но Ьу[ „=у(хе) — у(х,)=0 и Ьу[, „=у(х,) — у(х,)=О, УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА потому что все допустимые кривые в рассматриваемой простейшей задаче проходят через фиксированные граничные точки, н следовательно, к'1 Ьп = ~ (Ру — — Ру ) Ьу йх. к, Итак, необходимое условие экстремума приобретает вид к, "- ) ~Ру — — Р 1буйх=О, е'х "/ к» (6,2) к, ~ Ф (х) »1 (х) йх = О, к» где функция Ф(х) непрерывна на отрезке (х, х,), то Ф (х) ит 0 нп том же отрезке.
Замечание. Утверждение леммы и ее доказательство не изменяются, если на функции »1(х) наложить следующие ограничения: Ч(хз)=»1(х,)=0; т)(х) имеет непрерывные производные до порядка р, (»11'~(х)~ < е (з=О, 1, ... с; й (р). До к азате ль ство. Предположив, что в точке х=х, лежащей на отрезке хе ( х ( хи Ф(х)чь0, придем к противоречию. Действительно, из непрерывности функции Ф(х) следует, что если Ф(х)+О, то Ф (х) сохраняет знак в некоторой окрестности (хз(х(х,) точки х; но тогда, выбрав функцию т)(х) также сохраняющей знак »к причем первый множитель Р» — — РУ на кривой у=у(х), реалиех вующей экстремум, является заданной непрерывной функцией, а второй множитель Ьу, ввиду произвола в выборе кривой сравнения у = у (х), является произвольной функцией, удовлетворяющей лишь некоторым весьма общим условиям, а именно: функция Ьу в граничных точках х = х„и х = х, обращается в нуль, непрерывна и дифференцируема один или несколько раз, Ьу или Ьу и Ьу' малы по абсолютной величине.
Для упрощения полученного условия (6.2) воспользуемся следующей леммой: Основная лемма вариацаоннозо счисления. Если для каждой непрерыеной функции »1(х) дйб метод влянлцни в задачах с неподвнжнымн гяаннцлмн ~гл.е в этой окрестности и равной. нулю вне этой окрестности (рис. 6.6), получим к, к, ~ Ф(х) з) (х) ю(х = ~ Ф (х) г) (х) сРх эь О, г. к„ так как произведение Ф(х) ц(х) сохраняет знак на отрезке (хек, х (х,) н обращается в нуль вне этого отрезка. Итак, мы пришли к противоречию, следовательно. Ф(х) О, Функцию г)(х) можно выбирать, например„так: г)(х)=О вне отрезка (хз (х (х,); т|(х)= =и(х — ха)" (х — х,)зл на отрезке (хз (х (х,), где п — целое хк х х~ Рнс. 6.6.
положительное число, й — постоянный множитель. Очевидно, что функция Ч(х) удовлетворяет упомянутым выше условиям: она непрерывна, имеет непрерывные производные до порядка 2и — 1. обращается в нуль в точках хе н х, и может быть сделана по модулю сколь угодно малой вместе со своими производными за счет уменьшения модуля множителя Гк. Замечание. Дословно так же можно доказать, что если функция Ф(х, у) непрерывна в области 0 на плоскости (х. у) н 1 ~ Ф(х, у)п(х, у)с~хс(у=О при произвольном выборе функции т)(х, у), удоялетворяющей лишь некоторым общим условиям (непрерывность, дифференцируемость один или несколько раз, обращение в нуль на границах области О, )ц) (е, )Ч„'!<е, !т1'!(е), то Ф(х, у)=— О в области с). Функцию г)(х, у) при доказательстве основной леммы можно выбрать, например, так: т) (х, у) = О вне круговой окрестности достаточно малого радиуса е, точки (х, у), в которой Ф(х; у)+О, а в этой окрестности точки (х, у) функция т) (х, у) = )з ~(х — х)'+ (у — у)з — е',]з' (рис.
6.6). Аналогичная лемма справедлива и для и-кратных интегралов. УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА Применим теперь основную лемму для упрощения полученного выше необходимого условия (6.2) экстремума простейшего функционала (6.1) к( / (Є— — Рэ ) буях =О. к, (6,2) Все условия леммы выполнены: на кривой, реализующей экстремум, и множитель (р — — ру ) является непрерывной функцией, а вариа- У ах ция Ьу является произвольной функцией, на которую наложены лишь прелусмотренные в основной лемме ограничении общего характера, сле- довательно, Р— — Ру =— О и' г лх г на кривой у = у (х), реализующей экстремум рассматриваемого функционала, т. е, у = у (х) является решением дифференциального уравнения второго порядка У Р вЂ” — „Р ° =О, а'х или в развернутом виде Д' Гкк' — Г ЭУ'У— Рис.
6.6. Это уравнение называется уравнением Эйлера (оно впервые было им опубликовано в 1744 году). Интегральные кривые уравнения Эйлера у = у(х, Сн С,) называются энсгиремалями. Только на экстремалях может достигаться экстремум функционала о~у(х)) = ( р(х, у, у')дх. кр Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала (6.1). интегрируем уравнение Эйлера и определяем обе произвольные постоянные, входящие в общее решение этого уравнения, нз условий на границе у(хв)=уз, у(х,) =у,. Только на удовлетворяющих этим условиям экстремалях может реализоваться экстремуи функцндиала Однако для того чтобы установить, реализуется ли на них в деуствительности экстремум, и притом максимум или минимум, надо воспользоваться достаточными условиями экстремума, изложенньы и в главе 8.
290 мвтод вариации в задачах с нвподвижными гоаницлми 1гл. а Напомним, что краевая задача э' Рэ л Рэ' =О у(хо)=ус у(хв)=ув не всегда имеет решение. а если решение существует, то оно может быть не единственным (см. стр. !59). Заметим, что во многих вариационных задачах существование решения очевидно из физического или геометрического смысла задачи. и если решение уравнения Эйлера, удовлетворяющее граничным условиям, единственно, то зта единственная зкстремаль и будет решением рассматриваемой вариационной задачи. При мер 1. На каких кривых может достигать экстремума функционал о]у(х)] / [(у')' — у']Лх; у(0)=:О, у] — 1=17 12/ с Уравнение Эйлера имеет вяд у'+у =0; его общим решением является у = С, сов х+ С, в1п х. Используя граничные условия, получаем: С, О, С, = 1; следовательно, экстремум может достигаться лишь на кривой у = в1п х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
