Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Пример 2. На каких кривыв может достигать экстремума функционал 1 о[у(х)]= ~ [(у')" +!2ху] Хх, у(0)=0, у(1)=17 о Уравнение Эйлера имеет анд у — бх = О, откуда у = х'+ С,х+ Св. Используя граничные условия, получаем: С, = О, С, = 0; следовательно, экстремум может достигавься лишь на кривой у =х'. В этих двух примерах уравнение Эйлера легко интегрировалось. но так бывает далеко не всегда, так как дифференциальные уравнения второго порядка интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях. Рассмотрим некоторые простейшие случаи интегрируемости уравнения Эйлера.
1) Р н е з а в и с н т о т у'. Р = Р (х, у). Уравнение Эйлера имеет вид Р (х, у)=0, так как Рг =О. Решение полученного конечного уравнения Р (х, у) = О не содержит элементов произвола и поэтому, вообще говоря, не удовлетворяет граничным условиям у(хо) = ус и у(хв) = Ум Следовательно, решение рассматриваемой вариационной задачи, вообще говоря, не существует. Лишь в исключительных случаях, когда кривая Р„(х, у)=0 а в! УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА проходит через граничные точки (ха, у ) и (хм у,), существует кривая, на которой может достигаться экстремум. Пример 3. к, о(у(хН ~ у'4х! у(-та) уа, к, У (А) Уи Уравнение Эйлера имеет вид Р„=О нлн у =О.
Экстремаль у = О проходит через граничные точки только при у, = О и у, = О (рис. 6.7). Если у, = О н у, = О, то, очевидно, функция у = О реали- к, зует минимум функционала о ~ у' ях. к' к~ так как Р (у (х)]..Р О, причем т = О при у =О, Если же хотя бы одно из у, и у, не равно нулю, то минимум функционала иа непрерывных функциях не достигается, что и понятно, так как можно выбрать последовательность непрерывных фуннций д В х у„(х), графики которых состоят из все бо- д х~ лес н более круто спускающейся из точки (ха уа) к оси абсцисс дуги кривой, затем из отрезка оси абсцисс, почти совпз- Рис.
6.7. дающего со всем отрезком (х,, х,), и, наконец, возле точки х„круто поднимающейся к точке (хь у,) дуги кривой (рис. 6.8). Очевидно, что на кривых такой последовательности значения функционала сколь угодно мало отличаются от нуля н, следовательно, нижняя грань значений функционала равна нулю, однако зта нижння грань не может достигаться на векрерывной кривой, так как для любой непрерывной кривой у = у(х), отличной от тождественного нуля.
интеграл ] у' пх > О. Этз нижняя грань значений .и функционала достигается на разрывной функции (рис. 6.9) у(х)=ус, у (х) = О при ха < х < хн У(х1) = У~ 2) Функция гч линейно зависит от у': л'(х, у, у')=М(х, у)+М(х, у) у'! к, 'и (у(х)] = / 1М(х, у)+ М(х, у) — й~т(х. ка 800 метод вдгнлцни в задачах с нвподвнжнымн гвлницлмн (гл.а Уравнение Эйлера имеет вид дМ окт' — + — у' — — й((х, у) =О, оу оу ох или дМ О)У, дДГ дДà — + — у' — — — — у' = О.
ду ду ох оу или оМ гдк' — — — =О; ду ох но это опять, как н в предыдущем случае. конечное, а не аиффе- оМ ддг ренциальное уравнение. Кривая — ' — — =О, вообще говоря, не ду дх Ряс. 6.8. Рнс, 8.9. удовлетворяет граничным условиям, следовательно, вариацнонная задача, как правило, не имеет решения я классе непрерывных функций. дМ д)т' Если >ке — — — = — О, то выражение Мдх+Фду является точду дх ным дифференциалом и к, к, о = ( 1Л( + И вЂ” „«) сгх = / (Л4 сгх + И оу) не зависит от пути интегрирования, значение фушсционала о постоянно на допустимых кривых. Вариацнонная задача теряет смысл. Пример 4. 1 о(у(х)] = ~ (у'+ хяу') дх; у (0) = О, у(1) = а.
а дМ дДГ Уравнение Эйлера имеет внд — — — = 0 нлн у — х = О. Первое граду дх ннчное условие у(0) = 0 удовлетворяется, но второе граничное условие удовлетворяется лишь прн о = 1. Если же а чь 1, то экстремали, удовлетворяющей граничным условиям, не существует, з 2) УРАВНЕНИЕ ВИЛЕРА Пример 5 о[у(х)) = ~ (у-[-ху') Лх илн о[у(хЦ ~ (у атх-[ ха)у); Ка к, у (ха) = у у (х ) - у Уравнение Эйлера превращается в тождество 1юе1. Подынтегральное выражение является точным дифференциалом, и интеграл не зависит от пути интегрирования: х, о[у(х)] ~ Л(ху)=х,у,— х,у,, х, по какой бы кривой мы ни интегрировалк.
Вариационная задача не имеет смысла. 3) г. зависит лишь от у'. ~=(у). УРавнение ЭйлеРа имеет внл гтг» У" —. О, так как го = гох =го ° =О. Отсюда у" =О илп г".„т =О. Если у" =О, то у = = С,х+ С вЂ” двукпараметрическое семейство прямых линий. Если же УРавнепие г"у т (У') = О имеет один нли несколько действительных корней у'=хп то у=азгх+С, и мы получаем однопараметрическое семейство прямых, содержащееся а полученном выше двукпараметрическом семействе у=С,х+Сз, Таким образом, в случае го= г"'(уа) зкстремалями являются всевозможные прямые линии у=С,х+Сз. Пример б. Длина дуги кривой 1[у(х)[= [ )а!+у'2 ях ха имеет зкстремалями прямые линии у = С,х + С,.
Пример 7. Время ([у(х)[, затрачиваемое иа перемещение по некоторой кривой у=. у(х) из точки А(ха, уа) в точку В(хь у,), если скорость лз — = о(у') зависит только от у', является функционалом вида атт х, г[у(х))= ~, лх о(у') с ха ЛГ-'у' "- о(у) — о(у) ' —,I о(у) «а Следовательно, зкстремалями етого функционала являются прямые линии.
4) г". зависит лишь от х и у'1 Р=Р(х, у'). 302 МЕТОД ВАРИАНИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАНИПАМИ 1ГЛ, Е УРавнение ЭйлеРа пРиобРетает вид — гчт (х, У)=О и, следол лх вательно, ниеет первый интеграл. гч (х, у')=СР причем так как полученное уравнение первого порядка гч ° (х, у') =С, не содержит у, то уравнение может быть проннтегрировано или путем непосредственного разрешения относительно у' и интегрирования. или путем введения полхоляшим образом выбранного параметра (см.
стр. 69). Пример 8. Функционал у' 1/г1 «хт г(у(х))= / ' ~~У лх о (1 — время, затрачиваемое на перемещение по кривой у= у(х) из одной ла точки в другую, если скорость движения е=х, так как если — х, то лг х) Лз /' У1-«-у'т ЛГ= — н Г= ~ Лх . Первый интеграл уравнения Эйлера х .l х Е, = С, имеет вид = СР Это уравнение проще всего инте- у х У1+у'~ грируется, если ввести параметр, полагая у' = 1е й тогда ! у' 1 х=— = — з1п Г С1 ")г) «уз С~ — 1 или х= С, з1п6 где С, = —; — = фй Лу= фт Лх= 1ЯГ С( соз Гл1 С~ з1птлй л'х интегрируя, получаем у= — С, созе+ Сь Итак, х С, з1пй у — С,= — С, созе или, исключая б получаем х' + (у — Ся) = С,— семейство окружностей г с центрами на оси ординат.
5) г". зависит лишь от у и у'. ~=~(у у'). Уравнение Эйлера имеет вид: гтт — гч у' — г" г ум=О, так как гтхг ° =О. Если умножить почленно Вто уравнение на у', то, как нетрудно проверить, левая часть превращается в точную производную — „()' — у'~ ) УРАВНЕНИЕ ЭЙЛЕРА Действительно, ( У 2"2')=Е2У + ~~'У вЂ” У ех — Рш у' — г2 ° у'у" =У (г г Рш'У г'т'х'У )' Следовательно. уравнение Эйлера имеет первый интеграл е' — у'е причем так как это уравнение первого порядка не содержит явно х, то оно может быть проинтегрировано путем разрешения относительно у' и разделения переменных или путем введения параметра.
Рис. 6.10. Пример 9, Задача о наименьшей поверхности вращения: определить кривую с заданными граничными точками, от вращения которой вокруг осл абсцисс образуется поверхность наименьшей площади (рис. 6.10). Ках известно, площадь поверхности вращения 5!у(л)) =йл ~ у 1~'1+у' Лх. ю подынтегральная Луньния злшсит лишь от у и у' н, следовательно, первый интегрзл уравн: пия Эйлера будет иметь вид Л вЂ” ут,= С, г' илн в данном случае у у 1+ у'2 — — — Сь уу .2г'1 1 2 После упрощений получаем = Сг Проще всего зто уравие- у )' 1+у нис янгегрируется подстановкой у' = зй д тогда у = С, сЛ д а лх —— 2Гу С, зЛГЛГ у' зЛ =С,М; «-С)+Си 304 МЕТОД ВАРИАЦИИ В ЗАДАЧАХ С НЕПОДВИЖНЫМИ ГРАН!СНАМИ !ГЛ.
6 Итан, нсконзя поверхносгь образуется вращением линии, уравнение когорой в параметрической форме имеет вид х- С,!+Сь у= С,сйд х — С, Исключая параметр Д будем иметь у = С, сй — семейство цепных С, лвний. от вращения которых образуются поверхности, называеные катенои- дами. Постоянные С, и Сз определяются нз условия прохождения искомой линии через заданные граничные точки (в зависимости от положения точен А и В может существовать одно, два или нн одного решения). Пример 10. Задача о брзхистохроне (см.
стр. 281): определить кривую, соединяющую заданные точки А н В. при движении по которой материаль- ная точка скатится из точки А в точку В в кратчайшее время (трением н сопротивлением среды пренебрегаем). Полтестим начало координат в точку А, ось Ох направим горизонтально, ось Оу — вертикально вниз.
Скорость движения материальной точки лз — = 1 Еду, откуда находим время, затрачиваемое на перемещение гочки г(! из положения А(0, О) в полоягенне В(хь у,): г [у(хЦ вЂ” / пх; у(0) = О, у(х,) = уь !' )'!+у' „, о Тан как этот функционал также принадлежит к простейшему виду и его подынтегральная функция не содержит явно х, то уравнение Зйглера имеет первый интеграл  — у'Вс = С, или в данвом случае х — =С !' у(!+у ) ! М откуда после упрощений будем иметь = С или у (1 + у ) Сн ~'у(1+ у") Введем параметр д полагая у' = с!Ей тогда получим: у =, = С, Мп' т = — (1 — соз 21); С, С, 1+ с!аз! г(х = —, = ну 2С, з!и Г соз т г(т 2С1 з!п' ! НГ = Сг (1 — соз 21) Ж; у' сгпт х С, (т — — ~+ Сз — (2( — з!п 2()+ Сз. з!п 21 т С, Следовательно, в пзраметрической форме уравнение искомой линии имеет вид х — С, =' — (2! — з!и 2!), у = — (1 — соз 2().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
