Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 50
Текст из файла (страница 50)
. С, С, 2 2 !'.ель преобразовать. парчметр подстановкой 2! П и принять во внимание, ФУНКЦИОНАЛЫ ОВШЕГО ВИДА % з) что С, = О, так как нрн у = О, х О, то мы получим уравнение семейства циклоид в обычной форме: х= —,(1, — з1от,), С, 2 у = — (1 — соз 11), С, 2 гле — — радиус катящегося круга, который определяется из условия проС1 хождения циклоиды через точку 8(хь у,).
Итак, брахистохроной является циклоида ае и, функционалы вида х, у „, „ , , у' ..., у') 2тх ))ля получения необходимых условий экстремума функционала о более общего вида о)У,, У, ..., У ~ = ~ Р(х, Ун У,,, ..., Уо, У,', У', ..., У„)т(х х, при заданных граничных значениях всех функций У1(хо) =Уж У2(хо) = Уто ° ° Ух(хо) = Ухо У1 (Х1) У!1 Ут (Х1) У21' ' ' ' ' )1х (Х1) Ухэ будем варьировать лишь одну из функций у (х) (,/ = 1, 2, ..., л), оставляя все остальные функции неизменными.
При этом функционал о(ун ут, ..., у„) превратится в функционал, зависящий лишь от одной варьируемой функции, например от у,(х), О (У!' У2' ' ' ' ' Уа) О (У1) рассмотренного в $ 2 вида, и, следовательно, функция, реализующая экстремум, должна удовлетворять уравнению Эйлера Р— — Р =О. 21 Лх 21 Так как это рассуждение применимо к любой функции у, (1=1, 2, ..., и), то мы получим систему дифференциальных уравнений второго порядка — — Р ° =О (1=1, 2...., э). и 20 л. э.
эхьсгохья 606 мвтод вляилцип в задачах с няподвижными гилницами (гл.в определяющих, вообще говоря, 2и-параметрическое семейство интегральных кривых в пространстве х, ун уя, ..., у„— семейство зкстремалей данной вариационной залачи. Если, в частности, функционаа зависит лишь от двух функций у(х) и г(х): о(у(х). г (х)1 = ~ Р(х. у, г, у', г') г(х; у(хо) =уо х(хо) = хо у(хг) =уг х(хо) = лг т. е. определяется выбором пространственной кривой у = у (х), я=я(х) (рис. 6.11), то, варьируя только у(х) и фиксируя л(х), Рис. 6Л!.
à — — „Г„=о ях и гч,— — Р; =О. лх Пример 1. Найти вкстремали функционала я о(у(х), л(х)) ~ (у" +х' +2ул)ях, у(0) О, у1 — "1 1, 12) л(0) О, л 1 — 1 — 1. 12/ мы изменяем нашу кривую так, что ее проекция на плоскости хОг не изменяется, т. е. кривая все .время остается на проектирующем цилиндре х = з(х) (рнс.
6.12). Аналогично, фиксируя у(х) и варьируя г(х), мы варьируем кривую так, что она все время лежит на проектирующем цилиндре у=у(х). При атом получаем систему двух уравнений Эйлера: 307 5 31 ФУНКНИОНАЛЫ ОБЩЕГО ВИДА Система дифференциальных уравнений Эйлера имеет вид у" — =О, «" — у = О.
Исключая одну нз неизвестных функций, например «, получаем угк — у= О. Рис. 6.12. Интегрируя зто линейное уравнение с постоянными козффициентамн, будем иметы у = С,е + С,е-х+ Сз соз х+ С4 з1п х; «=- у"; «= С,е" + С,е "' — С, соя х — С,з1пх. Используя граничные условия, находим: С4 0 Сз — 0 Сз 0 С4 1 следовательно, у= з1пх, «= — з1пх. Пример 2. Найти зкстремали функционала о [у(х), «(х)) = ~ Р(у', «') 4тх. к, Система уравнений Эйлера имеет вид РУОИУ +Р,«О, Р,,У +Р,, О, откуда, считая Р,,Р...,— (Ру,е)' + О, получим: у"=О и «"=О и„ у С,х+ Сз, « = Сзх+ С, — семейство прямых линий в пространстве.
П р и и е р Ь Найти дифференциальные уравнении линий распространения света в оптически неоднородной среде, в которой скорость распространенна света равна е(х, у, «). 308 метод ВАРиАцип в ЗАдАчАх с неподвижными гРАницАми !Гл. 6 СОГЛаСНО ПРИНЦИПУ ФЕРМЛ СВЕТ РаСПРОСтРаНЯЕтСЯ ИЗ ОДНОИ ГОЧКИ А(Хо, Уо) е другую В(х, у,) по кривой, для которой время Т прохождения света булет наименьшим. Если уравнение искомой кривой у = у (х) н х = х (х), то / [''+у + о(х, у, х) х, Система уравнений Эйлера для этого функционала оо Р 1+у э+х' ЛГ у' ду 9 ох ]/1+ н [,2 ох о" Нх ]/]+,2+ л в будет систечой, определяющей линии распространения света. ф 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка Исследуем на экстремум функционал х) о[у(х)]= ~ Р (х у(х) у (х) ° ° у (х))г(х где функцию г" будем считать диффсренцируемой и+ 2 раза по всем аргументам и будем предполагать, что граничные условия имеют вид у (хо) = уо У[х,) = Ун т. е.
в граничных точках заданы значения не только функции, но и ее,производных до порядка л — 1 включительно. Предположим, что экстремум достигается на кривой у = у(х), дифференцируемой 2п раз, и пусть у=у(х) — уравнение некогорой кривой сравнения, также лнфференцнруемой 2п раз. Рзссмотрнм однопараметрнческое семейство функций у(х, а)=у(х)+а[у(х) — у(х)] или у(х, а)=у(х)+абу. При а=О у(х, а)=у(х), при а=1 у(х, а)=у(х). Если рассматривать значение функционала о[у(х)] только на кривых семей. ства у=у(х, а), то функционал превратится в функцию параметра а, достигающую экстремума при а = О; следовательно, — о [у(х, а)]] о = О. Эта производная в соответствии с й ! гн о-о 2 41 ФУНКЦИОНАЛЫ ОТ СТАРШИХ ПРОИЗВОДНЫХ называется вариацией функционала о и обозначается Ьо: х, и=~~/ па .
аа , а, аа, а.... аца, на ха 2=0 х, = ~ (Р ЬУ+ Р, ЬУ'+Р.ЬУ" + ... + Р,К„,Ь)й" )йх, Интегрируем по частям второе слагаемое в правой части один раз: .2, х, гчу Ьу'дх =1РХ Ьу)"' — / — ачу буях, х, третье слагаемое — два раза: к, Рп ьупйх=1Р; ьу'1" — ~ — Рп ьу] + / — „., Ру ьуйх, — ' '- — й' х, х, ха и т. д., последнее слагаемое — и раз: х, Р Ьу и, йх [Р, Ьу(п — 4!)ж ~ Р а Ьу~п — 2)~ + ха йп ... + ( — 1)" / — „Р„4„, Ьу иах. «а Принимая во внимание граничные условия, в силу которых при х= хе и пРи х=х, ваРиации ЬУ =ЬУ'=ЬУп= ... =ЬУЫ-П=О, окончательно получим х, и2 ип / ~РХ вЂ” — Ру + — Ру +- .
° +( — 1) —.Р ~п4)ЬуйХ. х, Так как на кривой, реализующей экстремум, имеем х, аа и2 ~п Ьп = / (рх —,~ "У'+ и 2 рг" + ... +( — 1) их рУ421)ЬУих=О ха при произвольном выборе функции Ьу и так как первый множитель под знаком интеграла является непрерывной функцией х на той же кривой у=у(х), то в силу основной леммы первый множитель тождественно равен нулю: и ем и ' а у «» а у'+ иле а у" + ''' +( 1) аапе Руин 31О метОд ВАРиАпии В 3АдАчАх с непОдВижными ГРАнипАми 1гл.
а Итак, функция у=у1х), реализующая экстремум функционала «2 о)у(х)) = ) Р(х,, у, у', у", ..., уш1)2)х, КО должна быть решением уравнения 2т 2 2тл à — — „~ Г + — „, Р' ° + ... +< — 1)" — „„Р' „=О. Это дифференциальное уравнение порядка 2п носит название ураа- мамки Эйлера — Пуассона. а его интегральные кривые называются лкстрежаляжи рассматриваемой вариационной задачи. Общее решение этого уравнения содержит 2и произвольных постоянных, которые могут быть, вообще говоря, определены из 2и граничных условии: у (хэ) = уз' у (х21) = уз' ' ' ' уш ~(хз) = уд у~х1) = — ун у'1х1) = у,', ..., у2"-"(х1) =у1"-1>. П рн мер 1.
Найти экстремаль функционала 1 в)у тх)) = ~ 11+ у"2) 2тк; о у1О)=О, у СО)=1, уП)=1, у 11)=1. Уравнение Эйлера — Пуассона имеет внд — (2у )=О нлн у1ч=о; его Нхк общим решением является у = С,х'+ Скх'+ Скх+ С,. Используя гранич- ные условия, получаем: С,=-О, С,=О, С,=1, С,-О. Итак, экстремум может достигаться лишь на прямой у = к. При мер 2. Определить экстремаль функционала и о Ь (х)) = ~ Ь"' — у2+ ') нх, з удовлетворяющую условиям у1О)=1, у <О)=О, у( )=О, у ®= 1, Уравнение Эйлера — Пуассона имеет вид у1Ч вЂ” у = О; его общим решением является у = С1ек+ Ске "+ С, сов к+С, Мнк.
Используя граничные условия, получаем С, = О, С,= О, С, =1, С,= О. Итак, экстремум может достигаться лишь на кривой у= соз к. Пример 3. Определить экстремаль функционала о1у1к)) = / ( — ру"'+ру) 22х, еннкционллы от ставших ~Роизводныя ЗИ удовлетворяюнГую граничным условиям: у( — т)-о, у ( — т)-о, у(г)=о, у ())=о.
Н втой вариационной задаче сводится нахождение осн изогнутой упругой цилиндрической балки, заделанной на концах. Если балка олнородна, то р н Н постоянны н уравнение Эйлера — Пуассона имеет внд л' Р Р+ — (РУ )=О уи= лхз Н откуда У = — — + С| х'+ С,х'+ Сзх + Се 94Н Используя граничные условия, окончательно находим у — — (х' — 2)зхз+ Гз) илн у = — (хз — )з)з.
Р Р й4Н 74~~ Если функционал о имеет вид о о (у(х), л(х)) = ~ *о(х, у, у'... „у~л~, л, зк, ..., л(злз) л(х «О то, варьируя только у(х) и считая з(х) фиксированным. мы находим, что функции у(х) и г(х), реализующие экстремум, должны удовлетворять уравнению Эйлера — Пуассона дл рг — — „Рт + +( — )) — „. РНю — О а варьируя л(х) н считая у(х) фиксированным, получим, что те же функции должны удовлетворять уравнению ля р; — — хр; + ... +( — )) „~ Г...=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
