Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Значительно проще можно определить эту функцию из системы уравнений (5.42) и — ''(Г) ~; — у'(Г)+ — в'(Г) =0 дФ , дФ , дФ дх ду да (5.44) или в краткой записи (М ()=О, где т — вектор касательной к заданной кривой у=у(г) е=л(г). (5.39) а К вЂ” вектор нормали к поверхности Ф = — О, а следовательно, и к искомой огибающей в соответствующих точках. Условие (5.44) геометрически очевидно, так как искомая поверхность должна проходить .через заданную кривую и, следовательно, касательная к этой кривой должна лежать в касательной плоскости к искомой поверхности.
аз х = а (х — у) — -а- а х — у — ~=а Исключая а, получим х=(х — у)', П р н и ер 6. Найти интегральную поверхность уравнения а = Рх+йу+ + —, проходящую через кривую у =О, х =. х. РЧ вЂ” э 4 Полный интеграл этого уравнения (см. случай 4 на стр. 263) имеет внд аЬ а= ах+ Ьу+ —. Уравнение заданной кривой можно написать в пара- 4 метрической форме х= 5 у=О, г = гэ. Для определенна функции Ь= Ь(а) составляем систему уравнений (5.42) и (5.44), которые в данном случае имеют вид Гз = аа+ — и 2Г а, откуда аЬ 4 аэ Ь = — а, х = а (х — у) — —. Огибающая этого семейства определяется 4 уравнениями 266 виавнення в частных пнонзяодных ивового погядкл (гл.
а Если система (5.36) (стр. 265) легко интегрируется, то для решения поставленной обобщенной задачи Коши очень удобен излагаемыи ниже метод характеристик — метод Коши. Интегральную поверхность г =г(х, у) уравнения Р(х, у, в, р, д) =О, проходящую через заданную кривую хо = хо (е) Уо =- Уо (е) го = ео(з) можно, как и для квазилинейного уравнения (см. стр. 247), пред- ставлять себе состоящей из точек, лежащих на некоторои однопараметрнческом семействе кривых х = х (г, з), у = у (г, е), г = г (г, з), где з — параметр семейства, называемых характерие=е>ге, тиками. Вначале мы найдем семейство характеристик, зависящее от нескольких параметров, а затем, проводя характеристики через точки кривой хо=хо(з).
Уо=уо(е) го = ео(е) Рис. 5А. и удовлетворяя еще некоторым условияи, выделим однопараметрическое семейство кривых, в которых параметром можно считать е: х=х((, е), у = у((, е), и =е(1, з) (5.45) Р (х, у, г. р, ь)) = О. Тогда, дифференцируя тождество (5А5) по х и по у, получим Р + рР + Р лР + Р -лУ- = О, Рт+ дР + Р— -(- Р— =О. др ав ду о ду (рис. 5.4). Множество точек, лежащих на этих кривых, и образует искомую интегральную поверхность. Такова в кратких чертах идея метода Коши, Пусть я=г(х, у) является интегральной поверхностью урав- нения 269 НЕЛИНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА или, так как — = — будем иметь д~у др дх ду' Рдх еду " +Р4+Р.т+Р.т=' (5А6) Уравнення характеристик для системы уравнений (5.46), квазилинепноп относительно р и д, причем г считается известной функцией от х и у, имеют вид (см.
стр, 254) йх ду др йо — — — — — йГ. (5.47) Так как г связано с р и д уравнением из = р ох+ аду, то вдоль характеристики дг йх ду — =р — +4 — „, =рР„+9Р дг йт йт Р е или дз .+ . — — йг, (5.49) что дает возможность дополнить систему (5А7) еше одним уравнением (5.49). Итак, в предположении, что г=г(х, у) является решением уравнения (5,45), приходим к системе йх ду дг йр йй Из уравнений (5.50) можно, не зная решения г =г(х, у) уравнении (5 45), найти функции х = х (Г), у = у (Г), г = г (г) Р = Р (Г) Ч = Ч (г) т. е.
можно найти кривые . =х(Г). у=у(Г), г= (Г), . нааываемые характеристиками. и в каждой точке характеристики найти числа р = р(Г) и д = д(Г), определяющие направление плоскости л — г = Р (Л вЂ” х) + Ч (1' — у) (5.51) Характеристика вместе с отнесение)! к каждой ее точке плоскостью (5.51) называется харакглеригтичесхой полосой. Покажем, что из характеристик может быть образована искомая интегральная поверхность уравнения Р(х, у, г, р, ~у) =О. Прежде всего ааметим, что вдоль интегральной кривой системы (5.50),функция Р сохраняет постоянное значение Р(х, у, г, р.
о) =с, 2уб килвнення в частных поонэводных пгизого попадал (гл. е другими словами, функция Р(х, у, г, р, д) является первым интегралом системы (5.50). х(ействительно, вдоль интегральной кривой системы (5.50) — Р(х, у, г, р, д)=Р— „+Р,— „+Р,— „+Є— +Р— = = Р~Ро+РгРо+Рг (РРр+ЧРа) Ро(Р~+РРЭ Ра(Рг+чУРг) — = 0' следовательно, вдоль интегральной кривой системы (5.50) Р (х, у, г, р, у) = с, гле с = Р (хо уа го ро до). Для того чтобы вдоль интегральных кривых системы (5.50) уловлетворялось уравнение Р (х, у, г, р, д) = О, надо начальные значения хо(з), уа(з), го(г), ра(з), ауа(з) выбирать так, чтобы они уловлетворяли уравнению Р(хо Уо го Ро Чо)=0.
Интегрируя систему (5.50) при начальных'значениях ха=хо(з), ус = уо (з) го = го (з) Ро = Ро(з) Чо = (уо (а), удовлетворяющих уравнению Р(ха, уа, га, ра, да)=0, получим х=х((, з), у=у((, з), г = г ((, з), р = р ((, л), у = у ((, з). При фиксированном з будем иметь олпу из характеристик х=х((, з). у=у(г, а), г=г((, з), что эквивалентйо двум условиям: дх ду Р— + с( — д-— дх ду Р +Ч д( д( — =О, дг дз (5 52) — =0 дг дг (5.53) Второе из этих уравнений, очевидно, обращается в тождество, так как при составлении системы (5.50) мы уже требовали, чтобы вдоль характеристики дг = р дх+ д ду, Впрочем, в этом легко убедиться и непосредственно, если принять во внимание, что, в силу системы (5.50), — "'=Р, — '=Р, — "=РР +дР ду дт ж д( О' дс л Р меняя з, получим некоторую поверхность.
В каждой точке этой поверхности при р= р(Г, а), д=д(Г, з) уравнение Р(х, у, г, р, л) =0 дг удовлетворяется, но надо еще выяснить. будет ли прн этом р=— дх дг и д= —, или, что то же самое, будет ли с(я=рдх+дду, или ду ' (дх дх ~ (ду ду 1 дл дг дг= р~ — а(з+ — Л)+ г(( — да+ — с(Г~= — сЬ -(- — с(Г, ~до д( ) ! дз д( ~ до д( фи нелинеиные яяавнения пеявого пояядкл Н) дх ду дх Лх ду (в (5.50) вместо —, —, — мы писали —, —, —, так как дг ' дт ' дт дГ ' дт ' дт ' считали г фиксированным).
Для того чтобы удовлетворялось уравнение (5.52), необходимо наложить егпе некоторые ограничения на выбор начальных значений .то(а) уо(а) ае(а) Ро(а) Чо(г). Действительно, обозначим дх ду дх р — +д — — — =У да да да (5.54) и докажем, что УшО, если начальное значение У~, =О. откуда будет следовать, что если начальные функции хо (а) уо (а) хо (а) Ро (а) Чо (а) выбрать так, что Р,(а) х (г) + у, (а) у (г) — г (а) = О, то У= — О для всех г. Дифференцируя (5.54) по 1, получим дУ др дх дах де ду д'у дах — = — — + Р— + — — +) — —— дГ дГ да дт дз дт да дада дГда и, принимая во внимание результат дифференкнрования тождества (5.53) по гп др дх, дах дд ду дгу д"х — — +р + — — +Ч вЂ” — — =О, да дГ дад! да д~ дюдГ дадГ будем иметь дР дх де ду др дх дд ду дГ дГ да дГ да да дГ дз дт или.
в силу уравнений (5.50), так как Р = — О, н слеловательно, полная частная производная — (Р) = О. Из уравнения д да — =- — Р У (5ь55) дг = — (Рх-~ РРь) — „— (Р, +)Р.) —,„, — Р, да дх ду дх др « дг ' да ' да " да дх ду дя ~ д — Р (Р— +т — — — ')= — — (Р1 дз да да ) да -- Р— = дл е да — Р,и = — Р,и, 272 яялвнвния в частных производных первого порядка «гл. з .~ р находим «7 = Усе о .
Следовательно, если «)о — — О, то «> = — О, что, впрочем. следует н из единственности решения «7 = — 0 линейного уравнения (5.55), удовлетворяющего условию «>1! о = О. Итак, при интегрировании уравнения Р (х, у, г, р, Ч) = 0 с начальными условиями хо= хо(е), уо — — уо(з), го = го(е) по методу Коши надо из уравнений р (хо (е) уо (з) го (е) Ро (е) Чо (е)) = О и ро( ),( )+ Ч,( ) у,(з) — г,(е) = 0 опРеделить фУнкции Р„=Р, (з) н Ч„=Чо(е) и затем интегРиРовать систему уравнений — и!г (5.50) Рр Ро Ррр+ Чрр их+ РР Ру +ЧУ с начальными условиямн: при 1 = 0 х = хо (е) У = Уо (е) г = го (е) Р = Ро (з) Ч = Чо (з). Три функции х=х(Г, е).
у=у(Г, з), г =-г(1, з) из решения системы (5.50) и дают в параметрическом виде уравнение искомой интегральной поверхности уравнения (5А5). Все вышеизлоокенное легко обобщается на нелинейные уравнения в частных производных с произвольным числом независимых переменных Р(х!, х, ..., х„, г, рн р,, ..., Р,)=0, (5.56) где р = — (!'= 1, 2, ..., и). де дх; Требуется определить интегральную и-мерную поверхность г=г(хн ха ..., х„) уравнения (5.56), проходящую, через заданную (и — 1)-мерную поверхность: его хго(з!' зо' ' ' ' ' еь — !) (1= 1, 2, ..., и) (5 57) го го(з!'ео' ' ' '' еа-!)' Временно предположим, что нам известны начальные значения функций Рю=р«о(зн зм ..., ао-!) («=1, 2, ..., и): (558) 278 НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА тогда, интегрируя вспомогательную систему уравнений Ехл ех, их Р !! Р! !л Р! 1=1 аР— — Ш (5.50; с начальными условиями (5.57) н (5.58), получим я!' ят' ' ' '' ял — 1)' е= е(г, я1, я, ..., г„,), (1= 1, 2, ..., п).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
