Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Г!роинаегрнровать уравнение и ' дхг (5.14) Система уравнений, определяющая характеристики, имеет внд ах, дх1 дх„ х, х, ''' хл Неззвисимыми первыми иятегралами этой системы будут: Х( — =си .тл х, х, =Си ° ° = Сл-Р Общее рещение исходного уравнения где — Ф О. ди дг Действительно, считая, что функция г =г(хн хю .. „х,) определена из уравнения (5.16), и дифференцируя тождество и(х,, хз, .... хл, «(хг, хя, ..., хл)) — 0 является произвольной однородной функцией нулевой степени однородности.
Теорема Эйлера об однородных функциях утверждает, что однородные функции нулевой степени однородности удовлетворяют рассматриваемому уравнению (5.'14); теперь мы доказали, что только однородные функции нулевой степени однородности обладают этим свойством. Неоднороднде линейное урзвнение первого порядка п ~ Х, (хн хг, ..., хл, г) — = и".(хи хз, ..., хл, г), (5.15) дхг г=! где все Х,. и л' — непрерывно дифференцируемые функции, не обращающиеся в нуль одновременно в рассматриваемой области изменения переменных х,, хю .... х„, г, интегрируется путем сведения к линейному однородному уравнению, Для этой цели, так же как и в случае трех переменных, достаточно искать решение г уравнения (5.15) в неявном виде: и(хн хю ..., хл, г)=О, (5.16) 252 килвнення в члстных пионзводных пзивого поиядкл !гл.з по хн получим ии ди дз — + — — =О, дх~ дз дх~ откуда ди дг дх~ их; ди дл дл Подставляя найденное — в (5.15), умножая дх! все члены в левую часть уравнения, получим уравнение и Х ' '." ' д ди Х,(хн хп ..., х„х)д — +Х(хн хз, ..., дх~ 1=1 ди на — — н перенося дх однородное линейное хи, г) — = О, (5.17) ди дз и(х,, х,, ..., х„, г) =О.
Найдем вначале функции и, обращающие уравнение (5.!7) в тождество при независимо меняющихся х,, хм ..., х„, з. Все такие функции и являются решениями однородного уравнения (5.17) и могут быть найдены уже известным нам способом: составляем систему уравнений, определяющую характеристики дх1 дхз Х1(хи хя, ..., хи, 2) . Х2(хи хя, ..., Хл, а) Х„(хи х„..., х„, з) Х(хи х,, ..., х„, г) ! (5.18) находим н независимых первых интегралов втой системы: ф~(хн хз, ..., х„, л)=сн фз(хн хз, ..., х„, л) =с, ф (х~ хз хи з)=си: тогда общее решение уравнения (5.!7) имеет вид и =гр(фн фз ° ° . фи). где Ф вЂ” произвольная функция.
которому должна удовлетворять функция и, однако лишь в предположении, что з является функцией хп хз, ..., хи, определяемой уравнением и(хн х,, ..., х„з) =О, Итак, надо найти функции и, обращающие линейное однородное уравнение (5.17) в тождество в силу уравнения Э э1 ЛИНЕИНЫЕ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 253 Решение г уравнения (5.15), зависящее от произвольной функции, определяется из уравнения и(хи хэ, ..., х„г)=0 или Ф(фи ф„..., ф„)=0.
Но, кроме найденных этим способом решений, могут быть ре- шения г, которые определяются из уравнений и (х,, хе,..., х„, г)=0, где функция и не является решением уравнения (5.17), а обращает это уравнение в тождество лишь в силу уравнения и(х„х,, ... х, г) = О. Такие решения называются специальными.
Специальных решений в некотором смысле не очень много, они не мокнут образовывать даже одноцараметрических семейств. )(ействительно, если бы специальные решения образовали одно- параметрическое семейство и определялись уравнением и(хн х,, ..., х„, г)=с, (5.19) где с — параметр, сэ < с (с,, то уравнение (5.!7) должно было бы обращаться в тождество в силу уравнения (5.19) ири любом с. Но так как уравнение (5.17) не содержит с, то оно не может обра- щаться в тождество в силу уравнения (5.19), содержащего с, и, следовательно, должно быть тождеством по отношению ко всем цеременным хи х,, ..., х„, г, меняющимся независимо. Последнее утверждение допускает простую геометрическую интерпретацию, Говоря, что уравнение (5.17) обращается в тождество в силу уравнения и(х,, х,, ..., х„, г)=0, мы утверждаем, что уравнение (5.17) обращается в тождество в точках поверхности и = О, но может не обращаться в тождество в других точках пространства хи х,, ..., х„, г.
Если же уравнение (5.17), не содержащее с, обращается в тождество в силу уравнения и=с, где с — непре- рывно меняющийся параметр, то это означает, что уравнение (5.1?) обращается в тождество на всех непересекающихся и заполняющих некоторую часть 1) пространства х,, х,, ..., х„, г поверхностях и = с, с1 < с ° с, и, следовательно, уравнение (5.17) обращается в тожлество в области 7) при независимо изменяющихся х,, х,, ... х„,. г. В конкретных задачах обычно требуется найти решение уравне- ния (5.15), удовлетворяющее еще каким-нибудь начальным условиям, и так как специальных решений в указанном выше смысле сравни- тельно мало, то они лишь в совершенно исключительных случаях будут удовлетворять поставленным начальным условиям и поэтому их лишь в редких случаях приходится принимать во внимание. П р и м е р 6.
Проинтегрировать уравнение Х хь — рг, дг (6.20) дхг с ь где р — постоянизи Система уравнений дх1 дхз дха дл х, х, ''' х„ рл имеет следуюшие независимые интегралы: хз х„ — =со ..„==с ь — с. и е х„' х) — =со х„ Следовательно, решение е исходного уравнения определяется из уравнения откуда л= хгф ( —, (х, х, х„ (,л„' х„' '''' х„ Итан, решением является произвольная однородная функция Р-й степени однородности.
Можно доказать, что уравнение (5.20) не имеет специальиыл интегралов и, следовательно, теорема Эйлера об однородных функциях обратима — уравнению (5.Ю) удовлетворяют только однородные функции степени однородности р. Понятие характеристики распространяется на системы кназилинейных уравнений следующего специального вида: ди ди Р(х, у, и, о) — + (~(х, у, и, о) — = ((, (х, у, и, о), дх ' ' ' ду до до Р[х, у, и, о) — + 1,1(л, у, и, о) — = (1, (х, у, и, о). дх ' ' ' ду Характеристиками такой системы называются венторные линии векторного поля в четырехмерном пространстве Р = Р(х, у, и, о) 1+11(х, у, и, о) )+ й, (х, у, и, о) й, + й, (х, у, и, о) йм где 1, ), йь Нт —.единичные векторы, направленные соответстненно по осям координат Олт Оу, Ои и Оо, Характеристики определяются системой уравнений дх ду ди до О() Р (х, у, и,о) О (х, у,и, о) й,(х, у,и, о) й,(х, у, и, о) Система уравнений (Г) в векторной записи имев~ вид (Р.)ЧО = 0 и (Р [Чт) =О, ( ди ди 1 (до до где [Ч, и Нз †векто с координатами [ †, †, — 1, О) и ( †, †, О, — 1), ( дх ' ду ' ' ( (,дх' ду' направленные по нормалям к искомым трехмерным цилиндрическим поверхностям соответствешш и = и (х, у) и о = о(х, у).
Следовательно, с геометрической точки зрения интегрирование системы (Г) сводится к нахождению двух трехмерных цилиндрических поверхностей и = и(х, у), и о = о(х, у), нормали к которым в точках пересечения атих поверхностей ортогоиальны к векторным линиям. Очевидно, что зто условие будет вмполнено, если двухмерная поверх- л54 УРАВнениЯ В чАстных пРОизВОдных пеРВОГО пОРЯДкА [тл. а УРАВНЕНИЯ ПФАФФА % з] ность 5, по которой, вообще говоря, пересекаются трехмерные цилиндрические поверхности и =и(х, у) н о=о(х, у), будет состоять из векторных линий, так как эти векторные лкнии будут лежать одновременно на поверхностях и=и(х, у) и о о(х, у) и, следовательно, будут ортогональны векторам Х, и Хт.
Взяв какие-нибудь два независимых относительно и и о первых интеграла Ф,(х, у, и. о) = 0 и Ф,(х, у, и, о) = 0 системы (Д), лругимн словами, взяв две трехмерные векторные поверхности, мы, вообще говори, з их пересечении получим двухмерную поверхность Я, состоящую из векторных линий, так как если некоторая точка принадлежит одновременно векторным поверхностям Ф,(х, у, и, о) 0 и Фэ(х, у, и, о) О, то и векторная линия, проходящая через зту точку, лежит в каждой из этих поверхностей. Разрешая систему уравнений Ф,(х, у, и, о) = О и Фт(х, у, и, о) = 0 относительно и и о, получим уравнения двух трехмерных цилиндрических поверхностей и = и (х, у) и о = о(х, у), пересекающихся по той же двухмерной поверхности В, состоящей из векторных линий. Следовательно, найденные функции и=и(х, у) по = о(х, у) будут решениями исходной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
