Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Предположим, что функция Р(х, у, у') трижды дифференцируема по аргументу у'. По формуле 24 л, в. элькгольц (гл. а дОстАТОчные услОВия экстяемумА Тейлора получим Р(», у, у')= Р(» у' Р)+ (у Р) Рр(»" у' Р)+ ~~ Ру'у' (»' у' л) где д заключено между р и у'. Функция Е(» У, р. У')=Р(», У У) — Р(». У Р) — (У вЂ” Р)РЛ(» У Р) после замены функции Р(», у.
у') ее разложением по формуле Тейлора примет вид Е(». У, Р, У') = У Е Р Р, У (», У. )) Отсюда видно, что функция Е сохраняет знак, если сохраняет знак Р г (», у, д). При исследовании на слабый экстремум функция Р„т (», у, д) должна сохранять знак для значений» и у в точках, близких к точкам исследуемой экстремали, и для значений о, близких к р.
Если Рт (», у, у')~ 0 в точках экстремали С, то в силу непрерывности эта вторая производная сохраняет знак я в точках. близких к кривой С, и для значений у', близких к значениям у' на кривой С. Таким образом, при исследовании на слабый минимум условие Е)~ 0 может быть заменено условием Ру и ) 0 на экстре- мали С, а при исследовании на слабый максимум условие Е (О может быть заменено условием РУ „ ( 0 на кривой С, Условие РУ т ) 0 (или Рт „( 0) носит название условия Лежандра е), При исследовании на сильный минимум условие Е' 0 может быть заменено требованием Рт„(», у, р)~~0 в точках (», у), близких к точкам кривой С при произвольных значениях р.
При этом, конечно, предполагается, что разложение по формуле Тейлора Р(», у, у')= 'у'")+(У ') л( 'У' Р)+ 2! справедливо при любых у'. При исследовании на сильный максимум получим условие Р„т (». у, д) (О, при тех же предположениях относительно области изменения аргументов и разложимости функции Р(», у, у') по формуле Тейлора. *) Условие Р бн > 0 (или Р,, < О) часто называют усилелнызг условием Лежандра, а условием лежандра называют неравенство РУ,У )О (или Р,, (О).
ФЗИКЯИЕ Е!», 363 с х х х х О Я с О Р Р а $ о Х а а а Р. х х х х х О сс к Х О Х х х х Я х !! х О !! О ! 5 ~ц х х х Е х О О о х О г~ со О Р Х « к«к к 3 Х О к а х О О л 3с сц », а сх Х х О о х х х О 3 а«О Х «' Ока ах х а ««Е: 3 «с х' к Х «ОХ а х х А х О О Х !! О Х О 3 Фк аа с 3 О Р о Р, Х $ а х Х сс О л «5 О Й О Р 3 3 х Х « 3 ВХ Х а О х о с « 3 Х с О О а « О Вс О «С х сс с Р к а К 'Р.
с«» о ! Х О„ сс Р о« х 3 Х х ц Оа С4 !! '$ сс С! О !! сх „!.ч И сс, СЧ О Р Р. а $ эо х, яс, с, «я Яхх Я как ХХЗ "' О Р А а Зй Я Яа сс. а я Я,с «Фк сц х СЗ «с Х«' СЯО о а 3 а«~к„х« о О. ««о««к «к х х а хокс3 Оха» д ««Х, «к «ХЗО „а к«ах«" с ко х а к х х «,'с. к к 3«- о к«сс х о«хх и х-аа ОЯХ «а «ХЗО с«хк СО х о )« ~ О «С 3 х" а Р хо« «оо окх« оха « ««ЗО ках С1О« О с'С Оа «оа«сс о о с о хх О Х «Ха «х х„« «ХЗО ахх О х а кю «' 'О к 3 к Р хо« о й а «с Х х О «' х а а Х Х «ЯЗО ках СО х о Р Х ах ОО ах.
я.хк с, с О а.я.х Я О х СЗЯ й .За ао хо« а~ с « 3 Х О 1 й О Х к 3 Оо Р О « к О Х О х О Р О достаточные колония вкстрвмимд (гл. в Пример 3. Исследовать на экстремум функционал и о [у(х)] ~ (у'~ — у') пх, а > 0; у(0) О, у(а) О. о Уравнение Эйлера имеет вид у" +у= О, его общее решение у= С, сов х+ +С,з1пх. Используя граничные условия, получаем С, =0 и С,=О. если а ~ Аи, где д — целое число. Итак, при а м'= Яи экстремум может достигаться лишь на прямой у= О. Если а < и, то пучок экстремалей у= С, з1пх с центром в точке (О, 0) Рис. 8.12.
образует центральное поле. При а > и условие Якоби не выполнено (см. стр. 352). Так как подынтегральная функция трижды дифференцируема по у' при любык у' и Рт,, =2 > 0 при любых значенияк у', то на прямой у=О при а < и реализуется сильный минимум. Если учесть замечание на стр. 356, то можно утверждать, что при а > и минимум на прямой у 0 не достигается. Пример 4. Исследовать на экстремум функционал ю о [у (х)] = У пх, у (0) = О, у(х,) = у, (см. задачу о бралистохроне, стр.
304). Экстремалями являются циклоиды х = С, (à — з!п Г) + С,, у = С, (1 — сов Г). Пучок циклоид х =. С, (à — з1п Г), у = С, (1 — соэ Г) с центром в точке (О, 0) образует центральное поле, включающее экстремаль х = а (à — з1п Г), у = а (1 — сов 1), где а определено из условия прохождения циклоиды через вторую граничную точку В(хи у,), если х, < 2иа (рис. 8.12). Имеем у Му У'1+у' пункции врл л, з, а'! при любыд у'.
Следовательно, при х, < 2иа на циклоиде х а(! — з!п!), у а(1 — сов т) реализуется сильный минимум. Пример 6. Исследовать на экстремум функционал л о(у(х)]= ~ у" сгх; у(0) О, у(а)=Ь, а>0, Ь>0. з Этот пример был решен на стр. 360, но теперь в отношении слабого экстремума исследование можно упростить. Экстремалями являются прямые линии.
Пучок у Сх образует централь- Ь Ь нос поле, включающее экстремаль у = — х. На зкстремали у= — х вторая а а Рис. 8.13. Ь Ь производная Р,, = бу' = 6 — > О. Следовательно, прямая, у = — х реали- У'У' зует слабый минимум. При произвольных у' вторая производная В,, бу' У У' знака не сохраняет; следовательно, укаэанные выше достаточные условия для достижения сильного минимума не выполнены. Однако отсюдз ешг нельзя заключить, что сильный экстремум не достигается.
Пример 6. Исследовать на экстремум функционал а е(у(х)]=/ у, лх; у(0)=1, у(а)=Ь, а>0, 0<Ь<1. е Первый интеграл уравнения Эйлера (см. случай 5 на стр. 302) имеет внд — +у' — = С или у =4С,у; у извлекая корень, разделяя переменные и интегрируя, получаем у =(С,х+Сэ)з— семейство парабол. Из условия у(0)=1 находим С,=1.
Пучок парабол у (С,х+1)' с центром в точке А(0, 1) имеет С,-дискриминантную кривую у 0 (рис. 8.13). Через точку В(а. Ь) вролодят две параболы этого пучка. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА (гл. а Р(х, у, у') = Р(х, у, р)+(у' — р) Р. (х, у, р)+ Р', . (х, У, !)) (у р)' прк произвольных значениях у' ввиду наличия разрыва функции Р(х, у, у') при у' — — О. Можно лишь утверждать, что на Ет реализуетса слабый минимум, так как для значений у', близких к наклону поля на кривой Е,, такое разложение функции Р(х, у, у') по формуле Тейлора имеет место. Лля полного исследования этого функционала на экстремум необходимо рассмотреть функцию Е(х, у, р, у'): Е(х, у, р, у') = —, — — + — (у' — р) = у у 2у, у (у' — р)' (2у'+ р) у рз р у р Так как множитель (2у'+ р) ие сохраняет знака при произвольных у'.
то на основании замечания иа стр, ЗОО можно утверждать. что сильный минимум на дуге Е, не достигается. Изложенная теория без значительных изменений переносится и на функционалы вида . п(У!' Уи'''' Уп) ~ Ртх' У1 У2'''' Уп' УР Уэ ''' Уп)~(х х, У!(хе)= Угэ, У1(х1) = У.1 (1=1, 2, .... и). функция Е принимает вид В=Р(х У1 У2 Уп У! У2 ., уп) — Р(х у! уз ., уп, ри рз, ..., р„)— Х (У! р!) Р ( ' УГ У2' ''" Уп' р1' р2' ''" р )' 1=1 где р — функции наклона полн, на которое наложены некоторые ограничения (при этих ограничениях поле называется специальным). Условие Лежандра Р,, > О заменяется следующими условиями: Р » Р » ...
Р Угу! У!у2 у!уп Р,, Р,,...Р, 2У! Уэт Р,, Р У!У! У1У2 >О, Уауг Узуз Р >О, Утут >О Упгг Упуз Упуп На дуге АВ одной из них (Е!) лежит гочка А', сопряженная с точкой А, на другой же (Е,) сопряженной точки нет, и следовательно, на дуге Е, условие Якоби выполнено и на втой дуге параболы может реализоваться экстремум. В окрестности исследуемой экстремали Р,, = — > О для пробу У'У' г4 извольных у', однако на этом основании нельзя утверждать. что на дуге Ез реализуется сильный минимум, так кэк функция Р(х, у, у') †, не может У У быть представлена в виде 5 э! ечндцня нт.. з. я, э'> 367 Достаточные условия слабого минимума иак в простейшей задаче, таа и в более сложных, можно получить иным методом, оснонанныи иа изучении знанз второй вариации. По формуле Тейлора преобразуем приращение фуниционала в простейшей задаче и следующему виду: к! Ле= ~ )Р(х, у-(-Ьу, у'-)-Ьу') — Р(х, у, у')) агх к к1 к1 )) (Р бу „) Р, Ьу')ак ) / ]Рту бУт+2Рюи ЬУбУ'+Р„,„ЬУ' ] Хх+)2, кО к, где )с имеет порядои выше второго отвосительно бу и Ьу', При исследовании иа слабый экстремум бу и Ьу' достаточно малы, н в этом случае знак приращения Лп определяется знаном члена, стоящего в правой части и содержащего наиболее низкие степени Ьу и бу'.
г(а зистремали первая вариация к, ] (Р,бу+Р,,бу')дх-О ж и, следовательно, знак приращения Ло, вообще говоря. совпадаег со знаком второй вариации х! бго = ] (Рт Луг+ 2Р „, бу бу' + Р,, Ьу") гсх. ко Условие Лежандра в соединении с условием Яноби и являются условиями, обеспечивающими поствянство знака второй вариации, а вместе с тем и по- стоянство анана приращения Ло в задаче о слабом экстремуме. Действительно, рассмотрии интеграл к, ] )е'(х) Луг+ 2м(х) бубу') г(х, (8.2) х, где ы(х) — произвольная дифференцируемая функция. Этот интеграл равен нулю: к| к, )ы'(х) Ьу'+2ы(х) бубу') ггх ] а'(мбу') г!х = [ы(х) Ьу')"' =О к, к, (таи наи Ьу),= ЬУ)х,= О).
Прибавляя интеграл (8.2) ко второй вариации, получим х, Ь о ~ '((Р + ы') бу'+ 2 (Р, + е) Ьу Ьу' + Рт,т, бу' ] ах, к, Выбираем функцию ы(х) таи, чтобы подынтегральная функция. с точ- ностью до множителя, превратилась в точный квадрат. для чего функ- ция ы(х) должна удовлетворять уравнению Р„, ° (Р + ы') — (Р + в)э = О.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВКСТРЕМУМА [Гл. а При таком выборе функции ю вторая вариация принимает вид ( Р,+е Ьто. ( Р, (Ьу'+ УУ бу) их Р,, ( '+Р„) — (Р„,+ ) -О имеет на отрезке (хь, х,) дифференцируемое рещение ю(х). Преобразовав зто уравнение к новым переменным подстановкой ю — Р,— Р,,— УУ У'У и где и†новая неизвестная функция, получим ( Р— — Р, [и — — (Р,,и') 0 у йх Уу~ йх УУ вЂ” уравнение Якоби (см.
стр. 366). Ясли существует не обращающееся в нуль при хь < х<х, решение етого уравнения, т. е, выполнено условие Якоби, то существует для тех же значений х непрерывное и дифференцнруемое решение и в(х) — Руу — Р,,— УУ' и уравнения Р„(Р„+ а') — (Р,, + в)' О. Итак, условие Лежандра н условие Якоби гарантируют сохранение знака второй вариации и, следовательно, являются достаточнымн условиямн для слабого минимума (Р,, > 0) илн максимума [Р чи < 0).
8. Преобравовацие уравнений Эйлера к каноническому виду Систему и уравнений Эйлера (см. стр. 305) Є— „" Р ° =0 ([=1. 2..... и) (8. 3) можно заменить системой 2л уравнений первого порядка. Полагая в (8.3) Р = Оа (Ф = 1, 2, ..., и), (8.4) Уа получим т[в дР— — (й = 1, 2...., и). (8.5) ь и, следовательно, знак второй вариации совпадает со знаком Р ... У У' Однако такое преобразование возможно лишь в предположении, что дифференциальное уравнение ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ЭНЛВРА Разрешаем систему уравнений (8.4) относительно у„' (для возмож- ности такого разрешения предположим, что 0(Р, Р,..., д' ) чь 0), В~У1, Уз,", У„') у» = геи (х, )1 . о ), (8.6) где гв„(х, У,, о,) =ыи(х, Уп Уш ..., У„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
