Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 62
Текст из файла (страница 62)
о 2. Найти геотезичес«не ликии круглого цилиндра г= Р. )г к а з а н и г. Решыше удобно искать в цилиндрических координатах г, 11, -". 3. 11айги экстреиалэ изоперииетричгской задачи к, о(у (х)) = ~ у'тг(х при условии ~ у г(х=а. к к, где а — постоянная. 4. Написать дифференцпатьиое уравнение экстремалей изопериметриче- ской задачи об экстремуме функционала к о (у [х)) = ~ !р(л) у'9+ 9(х) у'1 кх при условии ~ г(х) у'стх = 1, у(0) = 0; у(х1) =О. 5. Найти экстремаль в нзопернметрической задаче об экстремуме функ- ционала 1 о(у(х); л(х)) = ~ (у' )-г'~ — 4хз' — 4л) с(х 1 ~ (у' — ху' — л' ) 1(х =2; у(0) =0; л(0) =0; у(1) = 1; о при условии л(1) =1, 26 Л.
Э Эльсголья ВОЭЧОжны, кроме того, решение 11щется э классе кусочно иепр Рывиых управлений. Оба эти обстоятельства весьма характерны для большинства практических задач на оптимальное управление. ГЛАВА )о ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ чз 1. Прямые методы Дифференнизльные уравнения вариационных задач интегрируются в конечном виде лишь в исключительных случаях.
В связи с этим естественно возникает потребность з иных методах решения этих задач. Основная идея так называемых прямых методов заключается в том, что зариационная задача рассматривается как предельная для некоторой задачи на экстремум функции конечного числа переменных. Эта задача на экстремум функции конечного числа переменных решается обычными методами, а затем предельным перехолом получается решение соответствующей вариационной задачи. Функционал п)уех)) можно рассматривать как функцию бесконечного мпожества переменных.
Это утверждение становится совершенно очевидным, если предположить, что допустимые функции могут быть разложены з степенные ряды: у (х) = а, -+ а,х + азха -)- ... + а„х" + нли в ряды Фурье: у(х)= ~' + ~ (а„совах+ л„з!пах), или вообще в какие-нибудь ряды вида у(х) = ~ а ф„(х), в=О где ф„(х) — заданные функции. Для задания функции у(х), представимой в виде ряда у (х) = ~ а„ф„(х), достаточно задать значеч=а ния всех коэффициентов а„, и следовательно, значение функционала о [у(х)) в этом случае определяется ааданием бесконечной последовательности чисел: ае, аы аз, ..., а„, ..., т.
е. функпионал является 395 КОНЕЧНО.РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА функцией бесконечного множества переменных: О [у(х)[ = ф(ае, а,, ..., а„, ...), Следовательно. различие между вариационными задачамн и задачами на экстремум функций конечного числа переменных состоит в том, что в варнационном случае приходится исследовать на экстремум функции бесконечного множества переменных.
Поэтому основная идея прямых методов, заключающаяся, как уже сказано выше, в том, что вариацнонная задача рассматривается как предельная для задачи на экстремум функций конечного числа переменных, является весьма естественной. Л. Эйлер в первый период своих исследований в области вариацнонного исчисления применял метол, называемый теперь конечноразностным прямым методом.
Этот метод в дальнейшем длительное время совсем не применялся и лишь в последние трн десятилетия был с большим успехом снова возрожден в работах советских математиков (Л. А. Люстернвк, И. Г. Петровский н др.). Другой прямой метод, известный под названием метода Ритца, в разработку которого весьма значительный вклад внесен советскими математиками (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов и др.), в настоящее время находит широкое применение при решении различных варнацнонных задач.
Третий прямой .метод, предложенный Л. В, Канторовичем, применимый к функционалам, зависящим от функций нескольких независимых переменных, находит все более и более широкое применение в тех же областях, в которых применяется метод Рнтца. В дальнейшем мы остановимся лишь на этих трех основных прямых методах, причем локазательства многих утверждений будут опушены. Читателя, желающего более детально ознакомиться с применяющимися в настоящее время прямыми метолами, мы отсылаем к книге Л. В. Канторовича и В. И. Крылова [10[ и к книге С. Г. Михлина [11[.
Э 2. Конечно-разиостный метод Эйлера Идея конечно-разностного метода заключается в том, что значе- ния функционала О[у(х)[, например к, ~ г" (х, у, у')Вх. у(хе)=а, у(х,)=д, кю рассматриваются не на произвольных, допустимых в данной вариа- ционной задаче, кривых, а лишь на ломаных. Составленных из задан- ного числа и прямолинейных звеньев, с заданными абсциссами вершин: х„+ Ьх, хе+ 2бх, .... х +(а-1)Ьх, где Ьх* — 'х" (риз, 10.1). пРямые методы В ЯАРиАциоииых зАдАИАх <гл.
м На таких ломаных функционал о(у(х)! превращается в функцию <р(уи уз, ..., У„,) ординат уи уш ..., у„, вершин ломаной, так как ломаная вполне определяется этими ординатами. Выбираем ординаты уи уя..., У„, так, чтобы функция % (уи уа, ..., У„,) достигала экстремума, т. е. определяем Уи Ут...., у„, из системы уравнений — =О, — =О...,, =О, ду, ' ау, ' ''" оу„, а затем переходим ь пределу при л-ьоо. В пределе при некоторых ОГРаНИЧЕНИЯХ, НаяаГаЕМЫХ Иа ФУНКЦИЮ с, ПОЛУЧИМ РЕШЕНИЕ ВаРнационной задачи. Рис.
10.1. удобнее, однако, значение функционала о1у(х)1 на указанных выше ломаных вычислять приближенно, например в простейшей задаче заменять интеграл к, к 1 кь т 1А '- ИЬК ~~(-,у, ) л=~ / к А=а к,ее а. интегральной суммой ~> Р~х,у., — )Л. В качестве примера выведем уравнение Эйлера для функционала к! о(у(х)) = ~ тт(х, у. у') Их. ке 391 метод Рнтцл В этом случае на рассматриваемых ломаных У вЂ” У о(У(х)1 Ф(У1 уа ° ° ° ° У -1) = „~~ л(хн уо ~Л ') Лх. р=о Таь как от ур зависят лишь лва слагаемых этой суммы: т-е и (1 — 1)-е, уг„-у,) I У,— У, Г(хн у,, "' '1Лх и Е'(х,, у,, ' ' ') Лл, то уравнения — =О (1 = 1, 2, ..., и — 1) принимают вил де ду Г (хп ун '' ')Лх+т"., (хп ун '+' ')~ — — )Лх+ или или бу,) Лд;, Переходя к пределу при а-ь со, получим уравнение Эйлера которому должна удовлетворять искомая функция у(х), реализующая экстремум.
Аналогично может быть получено основное необходимое условие экстремума в других вариационных задачах. Если не совершать предельного перехода, то из системы уравнений — = О (р = 1, 2, ..., л — 1) можно определить искомые де ду, орлинаты у,, уя, ..., у„, и тем самым получить ломаную, являющуюся приближенным решением вариационной задачи. ф 3. Метод Ритца Идея метода Ритин заключается в том, что значения некоторого функционала о(у(х)) рассматриваются не на произвольных допустимых кривых данной вариационной задачи, а лишь на всея чч возможных линейных номбинациях у„=.- у, а,В', (х) с постоянными р-1 пРямые методы В ВАРиАционных зАДАчАх 1гл.
!з коэффициентами, составленных из л первых функций некоторой выбранной последовательности функций %'!(х), ]к'з(х), ..., Ю„(х), ... л Функции у„= ~ а!]Р'!(х) должны быть допустимыми в рассматри- ваемой задаче. что налагает некоторые ограничения на выбор после- довательности функций Ж'! (х). На таких линейных комбинациях функционал п]у(х)] превращается в функцию !р(а!, ат, ..., а„) коэффициентов цн ам ..., а„. Эти коэффициенты а,, а,, ..., а„ выбираются так, чтобы функция ф(ан а,, ..., а„) достигала экстре- мума; слеловательно, а,, ам ..., а, должны быть определены из системы уравнений — = О (г = 1, 2, ..., л). да~ Совершая предельный переход прн а -ь со, получим в случае существования предела функцию у = ~ а!]р!(Х), являющуюся (при !=1 некоторых ограничениях, налагаемых на функционал и ]у (х)] и на последовательность ]к'!(х), %'я(х), ..., ]р„(х), ...) точным реше- нием рассматриваемой вариационной задачи.
Если не совершать предельного перехола, а ограничиться лишь л первыми членами и у„ = ~!а,Ф'!(х), то получим приближенное решение вариационной 1=! задачи. Если таким методом определяется абсолютный минимум функцио- нала, то приближенное значение минимума функционала нахолится с избытком, так как минимум функционала на любых лопустимых кривых не больше, чем минимум того же функционала на части ч этого класса допустимых кривых — на кривых вида у„= лл а,]Р'!(Х).
'э] 1=! При нахождении тем же методом максимального значения функцио- нала получаем по тем же причинам приближенное значение максимума функционала с недостатком. Для того чтобы функции у„= ~ а!В'! (х) были допустимыми, 1=! прежде всего необходимо удовлетворить граничным условиям (конечно, не следует забывать и о других ограничениях, которые могут быть наложены на допустимые функции, например требованиях, касающихся их непрерывности или гладкости). Если граничные условия линейны и однородны, например, в простейшей задаче у(хз)=у(х,)=0 или ])!у (х!)+ ])я у' (хт) = 0 Ц = О, 1), яатод Ритма где й,) — постоянные, то проще всего и координатные функ цин выбрать удовлетворяющими этим граничным условиям.
Очевидно, л что при этом и у„=,~~ а,Ф',(х) при любых а, будут удовлетворять (=1 тем же граничным условиям. Пусть, например, граничнме условия имеют вид у(хо) = у(х,)= О, тогда в качестве координатных функций можно выбрать 1 ~(х) =(х — хо)(х — х1) ~Р~(х). где гр,(х) — какие-нибудь непрерывные функции, или Ж' (х)=шп ( ' (в=1, 2, ...), х,— х, или какие-нибудь другие функции, удовлетворяющие условиям (г р (хо) )г ~ (х1) О Если условия неоднородны, например у (хо) = уо У (х1) = Уг где хотя бы одно из чисел у или у, отлично от нуля, то проще всего искать решение вариационной задачи в виде где %'о(х) удовлетворяет заланным граничным условиям (р' (хо) =уз, (Ро(х,) = у,, а все остальные Ф',(х) удовлетворяют соответствующим однородным граничным условиям, т. е. в рассматриваемом случае Ф'~(хо) = Ж',(х,) =О.
Очевидно, что при таком выборе при любыкц, функции у„(х) удовлетворяют заданным граничным условиям. В качестве функции Фо(х) можно выбрать, например, линейную функцию 1Р (х)= У' У' (х — хо)+у. Решение системы уравнений — =0 ((=1,'2, ..., л), вообгце д~р да, говоря, является весьма сложной задачей.
Эта задача значительно упрощается, если на экстремум исслелуется квадратичный относи- тельно неизвестной функции и ее производных функционал о, так как в этом случае уравнения — =0 (1=!. 2...., л) линейны относиде де~ тельно а,. Выбор последовательности функпий В'о (Ра, ..., )Р'„, ..., назы- ваемых координатными функциями, сильно влияет на степень слож- ности дальнейших вычислений, и поэтому от удачного выбора коорлн- натной системы функций в значительной мере зависит успех приме-, нения этого метода. пРямые методы В ВАРиАцио1шых ЗАПАЧАх 1гл. 1з Все сказанное выше в полной мере относится и к функционзлам ч1[я(хг, хм .,., х„)[, причем, конечно, в этом случае функции [Р1 должны быть уже функциями переменных хн хм ..., х„, а также— к функционалам.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
