Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 64
Текст из файла (страница 64)
е ./'. лх лу лх лу ( э!и р — а!па — заир, — э(па, — дхду О а Ь ' а ' Ь О их лу аЬ / жп' р — э)п'(г — ахну л Ь а О пРи любых целых положительных Р, а, Р„ди за исключением слУчаЯ Р РИ д д, При р=р, и д*=-д, получаем НРямыз митоды В влриАционных ВАдАчАх (гл, ю Поэтому из всех членов, стоящих под знаком двойного интеграла, равного о (ли ), надо учитывать лишь те, которые содержат квадраты функций лх лу лх лу лх лу я1п р — э!по —, з!пр — созе — и соа р — з!по —.
Очевидно. а Ь а Ь а Ь ' о[ли ) является функцией р(а„, аы, ..., аи ) коэффициентов ан, а,.„,,. ..., а, которые определяются из основного необходимого условия экстремума — =0 (р 1,2,...,л; л 1,2,...,т! дф даре Эта система уравнений в данном случае имеет вид !и йи! арч~ — и+ ур)ли+бра — — О (р=1, 2, ..., и; и=1, 2, ..., и!д откуда а Следовательно, ~и йрч лх лу 3!и р — 51п д р ч' и а а' Ьи =! + и 1 лим = лэ р=! Переходя к пределу при и н т, стремящихся к бесконечности, в данном случае получим точное решение: лх лу з!п р — з1п 4 —.
а' 5 4. Метод Канторовича ПРи пРименении метода Ригца к фУнкционалам о (л(хн хи, ..., хи)], зависящим от функций нескольких неззвисимых переменных. выбирается координатная система функций Я'! (»н х,, ..., »и), йтэ(хь хи....„хи), ..., (РМ(х„хэ, ..., »и), н приближенное решение также ищется в виде м лт-— — ~ч~', аа(х!) Игл(хп хз °... хи) л ! и приближенное решение вариационной задачи, ищется в виде = ~Ч'~~ аэйуа (хь х,, ..., хи), где коэффициенты ал — постоянные.
а=! Метод Канторовича также требует выбора координатной системы функций йу! (хн хь ..., хи), йги(хь хи...., хи)... „йгт(х1, хз...., хл)..., $41 МЕТОД КАНТОРОВИЧА 407 однако коэффициенты ал(хП не постоянные, а являются неизвестными Функциями одной из независимых переменных. Функционал о[а] иа классе 'функций вида и х,„= ~Ч~', аа (х!) (тга (хг, х„..., х„) а ! превращается в функционал о(а! (х!), а,(х!), .... ал! (х!)), зависящий от е! функций одной независимой переменной а, (х!), а,(х!), ..., аю(х!). Функции а,(х!), а,(х!), ..., аю(х!) выбираются так, чтобы функционал о достигал экстремума.
Если после этого перейти к пределу при ш -ь со, то при некоторых уславияк можно получить точное решение, если же предельного перехода не осуществлять, то этим методом будет получено приближенное решение и притом, вообще говоря, значительно более точное, чем при применении метода Ритца с теми же координатными функциями и с тем же числом членов !и. Большая точность этого метода вызвана тем, что класс функций хм = ~ аь (х!) (ь'ь (х„ хл, ..., х„) с переменными аа (х!) значительно !лире л=! класса функций хм = ~ пайка(хь х,, ..., хл) нри постоянных а» и, следовательно, среди функций вида аь(.кП (к'а (хь х„,, „х„) л=! можно подобрать функции, лучше аппроксимирующие решение вариационной гл задачи, чем среди функций вида ~ пай'а(х!, х,, ...,х„), где аа постоянны.
а=! Пусть, например, требуется исследовать на экстремум функционал М Ш!к! / ) Р(х, у,х, —, —.~пхну. ъ ч !х) р хспространенный на область О, ограниченную криеымн у = гг, (х), у = гр! (х) ! двумя прямыми х= ха и х=х, (рнс. 10Д). На границе области В заданы гначения функции л (х, у). Выбираем последовательность координатных 4>ункций! (р! (х, у), (р'! (х, у), ..., Ф"л(х, у), ...
Ограничиваясь пока ю первымн функциями втой последовательностп, мы будем искать решение вариационной задачи'в виде суммы функций хю = ~~~~ аа(х) йуа(х, у) или, меняя обозначения аа(х) на иа(х), получим: л=! «ю(х, у) = и, (х) Ф'! (х, у)+ма(х) (а!(х, у)+ ... +им(х) й'ю(х, у), пяямые методы в н яилционных задачах (гл. ~о где (Р'а — выбранные изми функции, а ил — неизвестные функции, которые мы определяем так, чтобы функционал о достигал экстремума. Имеем к, к~к~ о[хм(х, у)) = ~ дх / г" [х, у, «,(х, у), — ~, — ~[ду. дх,„дхм т дх ' ду к еык~ Так как подынтегральная функция является известной функцией у, то интеграция по у лижет быть выполвена, и функционал о[х,„(х. у)) будет функционалом вида о[ам(х, У)] = ~ Т(х, и,(х)...„им(х), и, ..., и )дх к, Функции и, (х), ит (х), ..., и (х) выбираются так, чтобы функционал Рис.
!0.4. о [х (х, у)) достигал акстремума. Следовательно, и, (х) должны удовлетворять системе уравнений Эйлера: д Т, =О. дх и' 1 Т Ф,=О, и: дх ат т — — г, =О. дх Произвольные постоянные выбираются так, чтобы х (х, у) удовлетворяла ча прямык х = х, н х = х, заданным граничным условиям. Й ример 1. Исследовать на вкстремум функционал а» о [х(х, У)[= / / ~~ —,) + ( — ) — 2х1 дхну, -а -а мвтод кАнтОРОВичА причем на границе области интегрирования « = О. Областью иптегрирова.шя является прямоугольник — а ( х (а; — Ь ( у ( Ь. Решение ищем в виде «, = (Ь' — у') и (х), при этом граничные условия иа прямых у = ш Ь будут удовлетворены. Функционал а /Г15 э,т 8,э 8 о (А) = ! ~ — Ьэи' + — Ь'иэ — — Ьзи1ах. ,/(15 ' З З Уравнение Эйлера для этого функционала 5 5 иэ — — и= —— йбт 4Ьт является линейным уравнением с постоянными коэффициентами, общее ре- шение которого нмеет вид Г5 х / 5 х и= С сй тг — — + С,э51г — — + —,.
Постоянные С, и С, определяются нз граничных условий «( — а) = «(а) = О ! откуда С, = О, С, = — , и окончательно получаем: 2 ей ~ / 5 а 2 Ь следовательно, г 5 х сй 1г' = — (Ь' — у') 1 — Г— ! У2Ь Если необходимо получить более точный о~нет, то можно искать решение в виде «, = (Ь' — ут) и, (х) + (Ьэ — у')' и, (х). П р и и е р 2.
Найти непрерывное решение уравнения Л« = — 1 в области О, являющейся равносторонним треугольником, ограниченным прямыми у= ш — х и х= Ь (рис. 10.5) обращающееся в нуль на границе этой 3 области. Уравнение Л« = — 1 является уравнением Остроградского для функционала гз э з — Х о(«)= / ~ ~~ — ) +( — ) — 2«1йха)ь Уз — к з ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ !гл. в 410 причем'на границе области интегрирования з = О.
Следуя методу Канторе. вича, будем искать первое приближение в виде ( 3 х) ~п(х При таком выборе х, граничные условия на прямык у = ш — х удовлет- )'3 3 воряются. Функционал о[я,) после выполнения интегрирования по у принимает вид и [х,[ = (2х'и' + !Охни'+30х'ит+15х'и) Ех, 405,/ о Уравнением Эйлера для етого функционала будет х'и" +5хи' — 5и= —, 15 Линейные уравнения такого типа в теории дифференциальных уравнений называются уравнениями Эйлера (стр.
110). Одно частное решение этого неоднородного уравнения очевидно; и = 3 — Решение соответствующего однородного уравнения ищем в аиде 4 в = х и окончательно получаеи и = С,х + Стх — †. Так как около а 5 3 4' точки х = 0 решение и должно быть ограничено, то С, следует выбрать равным нулю, а из условия и (Ь) = 0 полу- 3 чаем С, = — —. Итак, 4Ь' х~ = — — ( 1 — — ) '[ут — — хт). 3 а м е ч з н и е, Для прнолиженного решения краевых зздач часто применяется еще один прямой не вариационный метод— метод Б.
Г. Галеркина. Этот метод особенно удобен при решении линейных краевых задач, но может быть применен н ко многим нелинейным задачам. Для определенности изложим метод Галеркина в применении к особенно часто встречающимся в приложениях линейным уравнениям второго порядка у" +р(х) у'+4(х) у =У(х) (10.1) с однородными граничными услоииями у (х,) =О, у (х,) =0 (неоднородные граничные условия у(х,) = у,, у(х,) = у, заменой переменных з = У Уэ — (х — хэ) У| — Уе х, —.сэ легко сводятся к однородным). МБТОД КАНТОРОВИЧА 41! $4] Уравнение (10.1) кратко запишем в аиде Е (у) =У(х).
Выберем полную на отрезке [хэ, х,) систему непрерывных линейно независимых функций гю, (х), ю, (х), ..., гюэ(х), (10.2) довлетворякнцих граничным условиям ш„(хр) =ш„(х!) =0 (и=1, 2, ...). рибли!Кенное решение краевой задачи будел! искать в виде линейной комбинации первых и функций системы (10.2): Уэ= ~~~~ а1пй(х). 1=! Подставляем у„в уравнение (10.1) и выбираем коэфФициенты а; (! = 1, 2, ..., и), так чтобы функция ! а Е ~ ~ а1"ю1(х)) — у (х) !=! была ортогональиз на отрезке (х,, х,) каждой из функций пй (х) (1.= 1, 2, ., и) о 1 / /~(2,„,!)) — гф!1,С! -0 $-1,2,...,,!Ига! к, ! 1=! Естественно ожидзть, что у„стремится при л — >со к точному решению у = ~ агш1(х), 1=1 так как, если полученный ряд сходится и допускает двукратное почленное дифференцирование, то функция Е (у) — / (х) ортогональна на отрезке (х„ х,) каждой функции ш1(х) системы (10.2), а так как система (10.2) полна, то Е (у) — /(х) О, а это означает, что у является решением уравнения (10.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
