Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 66
Текст из файла (страница 66)
функция о = хг — у' удовлетворяет условиям теоремы Четаева. 15. Все решения неустойчивы. !6. Решение х =— 0 неустойчиво 17, Прп 1 < а < 2 решение х — 0 асимптотически устойчиво.. Прн а = 1 и при а = 2 решение х = — 0 устойчиво. При а > 2 и при а < 1 решение х =— 0 неустойчиво. 18. Решение х авО, гт= — 0 устойчиво при постоянно действувщик возмушенияк.
Функция о = 4х' + Зу' удовлетворяет условиям теоремы 44(алкина. 19, Решение Х (!) ма О неустойчиво. 20. Все решения устойчивы, но асимптотической устой. чнвости нет. 21. Все решения устойчивы, но асимптотической устойчивости соа ! — а!п ! нет. 22. Периодическое решение х =, неустойчива 23. Область 2 устойчивости 0 ( а < 1, область асимптотической устойчивости 0 < а < 1. 24. Область устойчивости а ) 5. область асимптотической устойчивости а > 5.
К главе 5 т / 1. л=Ф(х+у). 2. а=егхФ(х — у). 3. х=е"Ф(х). 4. Ф(х, уег,) О. 5. а=5+ . 6. и Ф(х — у, у — х). 7.и=х4Ф! —, — 7!. 8. а Ф(х'уг) Г у х т уг ( хг 4 хг)' х-г хФ,(у)+Ф,(у). 9. х (х'+у — 1)К 1О. х уе " !1. х Зх 12.л= 2хгуг =(у' — — ), 13. Ф(х'+х", хг — уг) О. И. Ф(хг — хг, х — уг) О, ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 419 15. Не интегрируется. 16, 2ху+ух+бхз'= с. 17. х.= ах'+ — + Ь (воз9а можны и другие ответы). 18. к=ах+ау+ахал (возможны и другие аз,, у т— !аах+у) веты).
19. г = Ье" (возможны илругие ответы). 20. е- х ми а+ ау+ Ь (возможны н другие ответы). 21. х'у — зхуе = с. 22. такого семейства поверхностей нет, так нак условие (Р го! Г)=0 не выполнено. 23. Уравнение векторных .п7ний — = с, хе = с, Уравнение векторных поверхностей у х 1 х = — 67 7 — ) . Уравнение поверхностей, ортогональньы к векторным линиям х (х)' х»-1- у' — е' = с.
24. е = ху+ 1 25. е = Зху. 26. х = х'-)- уд К главе 6 1, Энстремалями являются окружности (х — С,)7 + у' = Ст. 2. Интеграл не зависит от пути интегрирования. Вариационная задача лишена смысла. 3, В классе непрерывных функций экстремум не достигается. 4. Экстремалями С, х' являются гиперболы у= — +Се 5. у= С, з!п(4х — С,). 6, у= — — + х +С,х+С,. 7.
у=ай(С7Х+Ст). 8. у=С,е +С,е "+ —,я!их. 9. у= ! 2 Х7 = С е» + С е-х'+ С, соз 2х + С, з1п 2х. 10. у = — + С х' -1- С х' -1- С хз -(- 7 .' + С х' т Схх 4 Св 11. у = (С х т С,) соз л + (Слх + С,) з!и х,: = 2у -1- у", отдул д'е д'и д'и дти куда е легко определяется. !2. — — †, = О. 13, — + — +— дх' дух ' ' дх' ду' деу = у (х, у, х). 14. у = С,х' + Сз. 15. у = — хе» + С,е" -1- С„е- ». 16. у= 1 2 х сов х — — + С, соя х+ С7 я!и х 2 !7. у = С, сй х+ С, зй х+х зй х— — 18.
У=С,х+ —,+ — !п!х!. !9. у=(С +С, ) х+ С » +(Сз+ С,х) юп х — 20. у = С,е -+ С,е "+е !!Сх соя — х+ 4 -)-С, оп —, х)+ е т ~с соз — х+С з!п — х)+хз. Уз ) . --',) Уз Уз К главе 7 1. у = — х при 0 < х ( 1; у = х — 2 при 1 ( х < 4 н у = х при О < х < Д у; — — х+ б при 3 ( х < 4, На той а другой ломаной функционал достигает абсолютного минимума. 2. Не сушестаует.
3. Ломаные, проходяшие через заданные граничные точки, составленные из прямолинейных отрезков с угловыми козффпциентами УЗ и — )' 3. 4. у, = 1, т. е. знстремали дол1+у 47„ жиы пересенать кривую у, =. 7Г(х7). по которой снользит граничная точка, и х' 1 з 3 16 пол углом —. 5. у = — + — (х' — х'). б. у = ж — х при 0(х ( 4 ' ' 120 24 ' 4 !6 34 3 34 у = Х1 9 — (х — 5)' при — (х < —; у = ~ — (х — 10) при — ( х < 10 5 5 ' 4 5 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ т. е, кривая состоит из отрезна прямой, касающейся окружности, дуги окружности и снова отрезка кзсательиой к окружности. 7. у~О.
8. Дуги окруж- НОСТИ у = жргйл — Хт, К главе 8 х" 1. Прп у = — — + 1 достигается сильный минимум. 2. При у = 0 дости- 4 и и гается сильный минимум, если 0 < а < —, если же а > —, то мииимумз нет. 4' 4 ' 4 3. Экстремум на непрерывных кривых не достигается.
4. При у = 7 — —— х сильный минимум. 5. При у = 1 — сильный минимум. 6. При у = З1п2х — 1 достигается сильный максимум. 7. При у = х' достигается сильный минимум — 2Х 8, При у = — ет» достигается сильный минимум 9. При у = з!и 2х дости- 3 гается сильный максимум 10. На прямой у= — х достигается слабый миниУ1 х, мум. 1!. На прямой у= у' х достигается слабый минпмуи. !2 Прп у = х' х, достигается слабый минимум. 13. При у = х' — ! достигается сильный .ВВ х максимум !4, 1(ри у =' — +х достигается сильный минимум. ай 2 К главе 9 1. у = ж 2 з1п ппх, где и — целое число. 2.
9 = С, + Сзл; г = )т. 3. у = = Лх'+ С,х+ Сь где Сь С, и Л определяются из граничных условий и из иэопериметрического условия. 4. — (р (х) у') + [) г (х) — 4 (х)[ у = О' кх у (0) = 0; у(х,) = О. Тривиальное решение у = 0 не удовлетворяет изопернметрическому условию, а нетривизльные решения, нак известно, существуют лишь прн некоторых значениях Л, называемык собственными значениями. Следовательно, Л должно быть собственным значением.
Одна произвольная постоянная общего решения уравнения Эйлера определяется нз условия 5 7 у (0) = О, другая — из изопериметрического условия. 5. у = — — хт -[ — х; г = х. 2 2 К главе 10 5 1. л, = — (х' — а')(ут — ат). Бели необходима большая точность, то 16а' решение можно искать и виде з — — (х' — л') (у' — бт) [а, + а, (хт+ ут)[. З1п х 2. у, =(х — 1)'(0,124+0,218х).
3. Точное решение у = —.— х. 4. Решеып! ние уравнения Эйлера у=-3,60722,(х)+0,75195Г,(х) — х, где l, и У,— 2зйх функции Бесселя. 5. Точное решение у = — — х. 6. Бели искать решеЗЬ2 ние в виде: уз= х(х — 1)(а,+азх), у,=х(х — 1)(а,+а,х-[-азх'), то у, = х (х — 1) (0,1708 -1- 0,17436х), у, = х (х — 1) (0,1705 -1- 0,1760х — 0.0018хт). Ь заданных точках значения ут и у, с точностью до 0,0001 совпадают. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА К части ! 1.
И. Г. П е т ро в с к и й, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, изд. 5-е, «Наука», 1964. 2, И. ! М а л к и н, Теория устойчивости движения. Гостехизлат. 1952 (к ~л !Ч). 3. И. Г. Малкин, Некоторые задачи теории нелинейных колебаний, Гостехиздат. 1956 (к 8 8 гл.
2). 4. А Н. Т и х о н о в, 0 зависимости решений днффе)тснциальных уравнений от малого параметра, Математический сборник, т. 22 (64): 2 (1948) и т. 31 (72): 3 (1952) (к 6 6 гл. 4), 5. В. В. С те ив н о в, Курс дифференциальных уравнений, изд. 8-е, Физматгиз, 1959. 6. А. Н. К ры лов, Лекции о приближенных вычислениях, нзл, 5-е, Гостехиздат, 1950 (к 6 7 гл. 1 и 6 6 гл. 3). 7. И.
С. Березин и Н. П. Жидков, Методы вычислений, т. !1, Фнз. матгиз, 1960 (к ф 7 гл. 1 и 8 6 гл. 3). К части П 1, И. М. Ге л ь фа ил и С. В. Ф о и и н, Вариационное исчисление, Физиатгиз 1961. 2, М. А Лаврентьев н Л. А Люстерник, Курс вариационного исчисления, изд. 2-е, 1'остехиздат, !950. 3. В. И. Смирнов, В. И. Крылов и Л.
В. Канторович, Варнацнонное исчисление, КУБУЧ. 1933. 4. В. И. С и и р н о н. Курс высшей матеиатики, т. 4, изд. 4-е, Фнзматгиз, 1958. 5. Н. М Г ю втер, Курс вариационного исчислении, Гостехиздат, 1941. 6. Н. И. А х и е з е р. Лекции по вариационноиу исчислению, Гостехнздат, 1955. 7. М. А. Ланрентьев н Л. А. Люстерник, Основы вариационного исчислении, ч. 1 и 2, Гостехиздат, !935. 8. Л. С Г!он трвгин. В.
Г. Болтянский, Р. В. Гам креп идзе, Е. Ф. М и шеи ко, Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, 1961. 9. Р. Бе л л и а н, Линаиическос программирование, ИЛ, 1960. 10. Л. В. К а н тор о в и ч и В. И. Крылов, Приближенные методы высшего анализа, изд.
5-е, Физматгнз, 1962. П, С. Г. Ми хл ин, Прямые методы в математической физике, Гостехнздат, 1950. ПРЕДМЕТНЪ|И УКАЗАТЕЛЬ дсимптотически устойчивое решение 204 Бернулли уравнение 30 Бесселя уравнение 139 — функции 141 — 143 Бигармоническое уравнение 317 Близость кривых 285, 286 Брахистохронз 281, 304, 332, 364 Вариации постоянной метод 28 Вариационная задача 281 — — в параметрической форме 317 †3 — — на условный экстремум 375— 393 — †,прямые методы решения 394— 413 — — с подвижными границами 327— 350 Вариационное исчисление 281 — †,основная лемма 295 Вариационный принцип 281, 320 Вариация 284, 288, 289, 309, 313 Веисрштрасса функции 359 Векторная линия 245 — поверхность 244 Взаимности принпип 388 Влияния функция 123, 161 †1 Вронского определитель 97, 185 Галеркина метод 410 Гамильтона — Якоби уравнение 370 Гвыма.функция 140 Геодезическая линия 282, 381 Голономные связи 382 Граничная задача 13, 159 Грина функции 161 — 165 Гурвица теорема 227 Дикритический узел 2!1 Динамическая система 170 Дирихле задача 315 Дифференциальное уравнение 9 — — Бернулли 30 — — Бесселя 139 — — в полных дифференциалак 32 Дифференциальное уравнение з ча стных производных 10 — — — — — первого порядка 241— 279 — — высшего порядка 85 †1 — †, интеграл 20 — †, интегрирование 10 — —, — с помощью рядов 137 — 146 — — Клеро 73 — — Лагранжа 73 — — линейное вьшшего порядка 93 — !06, 113 — 124 — — — неоднородное с постояннычи коэффициентами 124 †1 — — — однородное с постояннымн коэффициентами 107 — 110 — — — первого порядка 27 — — †, фундаментальная система решений 100 — †, не решенное относительно производной 68 — —, общее решение 15, 86 — —, общий интеграл 20, 32 — — обыкновенное 1Π— — однородное 25 — †,операторный метод решения 129 — 136 — —, особое решение 57, 78 — —, периодические решения 143— 146 — †,порядок 1Π— — Пфаффа 255 — —, решение 1О, 169 — — Риккати 31 — — с разделенными переменными 19 — — с разделяющимися паременными 2! — —, теорема существования и единственности решения 39 — 61, 75— 82, 85 — 87 — — Эйлера 110 — 113, 136 Изоклины 17 Изопериметрическая задача 282, 317, 385 Изопериметрические условия 282, 386 ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ 423 Интеграл дифференциального уравне.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
