Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 63
Текст из файла (страница 63)
зависящим от нескольких функций. Метод Ритца часто приме1шется для точного или приближенного решения задач математической физики. Например, если требуется найти в некоторой области г) решение уравнения Пуассона д'л глл —,+ —,=/(х, у) при заданных значениях г на границе ооласти О, то можно заменить эту задачу вариационной задачей об экстремуме функш1онзла, для которого ланное уравнение являешься уравнением Ос.гроградского (см. стр, 3!б). В рассматриваемом случае таким функционалом будет [ / ~( — ) + ( — ) + 2зу (л, у)~ г(л 1(у. о Функцию л, реализующую экстремум этого функционала. можно находить любым из прямых метолов. Задачи математической физики обычно сводятся к исслелованню на экстремум функционалов, квалратичных относительно неизвесгной функции и ее производных, и следовательно, как указывалось выше, применение метода Ритца в этом случае упрощается.
Вопрос о схолимости приближений, получаемых по методу Ритца. к искомому решению вариационной задачи, а также об опенке степени точности этих приближений является весьма сложным. Поэтому ограничимся здесь лишь немногими замечаниими, отсылая читагеля, желающего подробнее ознакомиться с этим вопросом, к книгам Михлина [11[ и Канторовича и Крылова [!0[. йля определенности будем иметь в виду функционал 'п [у (х) [ = ~ Р (х, у (х), у' (х) ) гХх к, и предполагать, что речь идет о его минимуме.
Послеловательность координатных функций (т'1(х), [Рз(х), ..., йт„(х), ... будем считать полной в том смысле, что каждая допустимая функция может быть с любой степенью точности аппрокснмирована в смысле близости перл вого порядка линейной комбинацией ~З ~аь(Р (х)координатныхфункЛ=1 ций, где и достаточно велико. Тогда, очевидно, что методом Ритпа л можно получить функции у1, уя, ..., у„, ..., где у„=- ~чГ~а„()тл(х), Л-1 метод Ритцл образующие тзк называемую минимизирующую последовательность, т. е. последовательность, для которой значения функционала о[у11 о [у21' ' ' ' о [ул[' сходятся к минимуму или к нижней грани значений функционала о [у (х)1.
Олнако из того. что [пп о [у„(х)1 = ийп о [у (х)1, отнюль не л-> следует, что йш ул(х)= у(х). Минимизируиицая последовательность л-ь. может и не стремиться к функции, реализующей экстремум в классе допустимых функций. Действительно, функционал к, о[ул (х)1= ~ Г(х, у,(х), у„'(х))г(х к, может мало отличаться от к, о[у (х)1 = [ гч (х, у (х), у'(х)) а~х, к, не трлько в том случае, когда на всем отрезке интегрирования ул(х) близка в смысле близости первого порядка к у(х), но и в том случае, когда на достаточно малых частях отрезка (хм х,) функции ул(х) и у(х) или их произволные резко отличаются у друг от друга, оста- , „[я) ваясь близкими наосталь- Ц ной части отрезка (х,, х,) „У[х) (рис. 10,2).
Поэтому минимизирующая последовательность уи у,, ..., у„ 1 ! 1 может да>ив не иметь пре- 1 дела в классе допустимых функций, хотя функции уи у,,...,ул сами и будут допустимыми. Рис. 10.2. Условия сходимостн последовательности ул, полученной методом Ритка. к решению вариационной задачи и оценка быстроты сходимости для конкретных, часто встречающихся функционалов были разработаны в трудах Н. М. Крылова и Н. Н.
Боголюбова. Так, например, для функционалов вида 1 о= ) [р(х)у" [-г)(х)у2+~(х)у[с[х; у(0)=у(1)=0, о 402 ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ В ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧАХ (гл. |а где р(х) ) О; п(х) )~ О, часто встречающихся в приложениях, не только доказана сходимость приближений, получаемых по методу Ритца, к функции у(х), реализующей минимум функционала, при координатных функциях В' (х)= [Г2 з(плпх (4=1, 2, ...), но и ланы весьма точные оценки погрешности [у(х) — у„(х)~. Приведем одну из этих оценок максимума [у(х) — у„(х)[ на отрезке (О, 1): шах[у — у„[ < 1 + [шахр х 1 ( +шаха(х)) т е ,х ка 2 [щюр(х))" ай [шах[р'(х)[+ — шахг)(х)+.Пш)п р(х)~ч).
Даже в этом, сравнительно простом случае, оценка погрешности очень сложна. Поэтому для оценки точности результатов, полученных методом Ритца или другими прямыми методами, обычно пользуются следующим теоретически, конечно, несовершенным, но практически достаточно надельным приемом: вычислив у„(х) и у„,,(х), сравнил вают их между собой в нескольких точках отрезка [х„, х1[. Если в пределах требуемой точности их значения совпадают, то считают, что с требуемой точностью решение рассматриваемой вариационной задачи равно у„(х). Если же значения у„(х) и у„ь,(х) хотя бы в некоторых из выбранных точек в пределах заданной точности не совпадают, то вычисляют у„„ (х) и сравнивают значения у„+,(х) и у„эз(х). Этот процесс продолжается до тех пор, пока значения у„+л(х) и у„чаэ,(х) не совпадут в пределах ззданной точности.
П р им е р 1. Прн изучении колебаний заделанйого клина постоянной толщины (рис,!0.3) приходится исследовать на экстремум функционал 1 в= ~ [ахзу~а — Ьхуе)ах; у(1)=у'(1) О, ч) Си. книгу Канторовича н Крылова [10[. йз) митод нитыд где а и Ь вЂ” положительные постоянные. За координзтные функции, удовлетворяюшие граничным условиям, можно взять (х — 1), (х — 1) х, (х — 1)~ха, ..., (х — 1) х", ..ц следовательно, ~ч'~~ а (х — 1)тха а=1 Ограничиваясь лишь двумя первыми членами, будем иметь уэ = (х — 1)'(а, +аах), тогда 1 от = о (уэ] = ~ ]ах'(балх-(-2а, — 4аэ)' — Ьх (х — 1)" (а, +аэх)т] дх = о =а~(а,— 2ат) + — аг(а,— 2аг)+6аэ~ — Ь] — + 10 + 280 1., Необходимые условия экстремума — = 0; — = 0 принимают в данном дот .
доз да, ' да, случае вид (а — — )а,+( — а — — ) аэ= 0 (5 105) ' (5 280) 2 б '2 Ь 2 Ь вЂ” а —— 5 105 2 б — а —— 5 280 б а —— 30 =0 2 Ь вЂ” а —— 5 !05 или ( 3) ) (5 280) (5 105) Это уравнение называется уравнением частот. Оно определяет частоту Ь собственных колебаний клина, описываемых функцией и (х, () у(х) соз бя Меньший из двух корней Ь, и Ьэ уравнения частот дает приближенное значение частоты основного тона колебаний клинз. При мер 2. В задачах, связанных с кручением цилиндра или призмм, приходится исследовать на зкстремум функционал ( )] /'Д(дх ) +(д + )1 Кх Еу, тэ Для получения решений, отличных от решения а, = аэ = О, которое соответствует отсутствию колебаний клина, необходимо, чтобы определитель этой однородной линейной системы уравнений был равен нулю: пРямые методы В ВАРиАциОнных зАдАНАх (ГЛ, Ю Необходимое условие экстремума — = 0 принимает в лаином случае ввд до, да (а -1- 1) аз+ (а — 1) Ь' О, откуда Ьз — а' а'+Ь' ' Ь' — аз '+ Ь' Пример 3.
Если в условиях предыдущего примера область О будет прямоу~ольником со сторонами 2а и 2Ь, — а (х < а; — Ь < у~ Ь то, взяв за координатные функции ху. Ху', х'у. т. е. положив х, = а,ху+ а,ху'+ а,х'у получим з з ото]хз] / /](у]+(+Х)~дхду -з -з 4 3 з з 7 Ь' За' 1 З ( а' ЗЬ' З вЂ” аЬ' (а, — 1)в.+ 4аЬ' 1 — + ] а + 4а Ь ! — + —, ~ а, + 3 4 з з 3 3 + — а Ь(а, +!)'+ — абз(а1 — 1) и + — а Ь(а, + 1) а,— 3 5 5 — — авЬ(а, .4-!) а, — — азЬз (аз -1- ЬП) а,аз — — азат (а, — 1) ам о Необходимые условия вкстремума — = О, — = О, — 0 позводоз гм'в дпв да, ' да, ' дав лязот вычислить ан а,, ам 7 (ав — Ьв) + 135азЬз (аз — Ьз) а, 7 (аз + Ьв) + 107азЬз (аз + Ьз) ' 7а' (Заз + 3551) а, 21 (аз + Ьв) + 32)а'Ьз (аз + Ьз) ° 7Ь' (35а'+ ЗЬ') аз 21 (а' + Ьз) + 32!а'Ь* (а'+ Ь') При мер 4. Нзйти решение уравнения дзх гйа — + —.= У(х, у) дхз дуз внутри прямоугольника 7), 0(х<а, 0~(у< Ь.
обращающееся в нуль на границе В. Функция /(х, у) йредполагается разложимой внутри рассматриваемого прямоугольника в равномерно сходящийся двойной ряд Фурье: ПХ 11У у(х. у) г у 5 з)п р — з!пз) —. зьк л~к гя а Ь З 1 а=1 Лля цилиндра с зллинтическим поперечныи сечением область интегрирова х' у' иия (з будет ограничена зллипсом — + — = 1. В атом случае, взяв лишь и' Ьз одну координатную функцию ху, получим іаЬ к, аху, и (а,] и, = — ((а+1)з а'+(а — 1)' Ь']. ,1 МЕТОД РИТЦА $ 3) 405 Эту краевую задачу можно свести к вариационной аадаче, т.
е. подобрать функционал аля которого залаиное уравнение было бы уравнением Остроградского, и затем одним из прямых методов найти функцию, реализуюпхую экстремум этого функционала, и тем самым найти рещение исходной краевой задачи Как легко проверить, д'х дзл — + — -У(» у) дх' ду' является уравнением Остроградского для функционала о (л (х. у)) / ~ '(( — ) + ( †) + 2л/ (х, у)~ дх ду (см.
стр. 315). Граничнос углови. сохраняется х = О на границе области О. Исследуем этот функционал на экстремум методом Рнтца. В качесавс системы координатных функций возьмел1 з(п ю — э)п а — Ии, и = 1, 2, ...) лх ггу и Ь Каждая из этих функций и нх линейные комбинации удовлетворяю~ граничному условию л = О на границе области Ы Свойством полноты эти функции также обладают Взяв %э жч лх лу Хю м 7 7 Ора З)П Р вЂ” а(ПЧ— а=г а будем иметь а а /(( )'+(Фа )- Е (лам)- о лх ну 1 +2хам ~,т„р з)пр — з)пр — дхду Лд Лд Ь ~ р= ~ а=| а м а м р г ч=~ р 1 а=| Этот результат легко получить, если принять во внимание. что координатные лх лу функции з(п р — з)пд — (р, й 1, 2, ...) образуют в области 0 ортогоа б нальную систему т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
