Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Задавая кривую в параметрической форме х =х(Г), у=у(Г), можно эту задачу формулировать так: найти максимум функционала $= худ или 5= — ) (ху — ух)Ш 2,/ при условии, что функционал сохраняет постоянное значение: )/ха+уз ( и Таким образом, мы имеем алесь вариационную залачу на условный экстремум со своеобразным условием; интеграл ~ Ф ха+угу сои храияет постоянное значение. ") Хотя решение этой задачи было известно еще в древней Греции, однако ее своеобразный варнационный характер был осознан лишь в конце ХЧП века.
В настоящее время изопериметрическими задачами называется значительно более общий класс задач, а именно: все зариационные задачи, в которых требуется определить экстремум функционала о=~ Р(х. ум у,. "" у„у,' у,' "" у„') х при наличии так называемых изолерилетрических условий Р~(х Уп Уя ° ° ° У„уг Уя ° ° ° У,) ~(х=1~ Г (1=1. 2, ..., т), где 1,— постовиные, «г может быть больше, меньше или равно л, а также аналегичные задачи для более слежных функционалэв. Изопериметрические задачи метут быть сведены к задачам на условныМ экстремум, рассмотренным в предыдущем параграфе, путем введения новых неизвестных функций. Обозначим л ~ Р,их =я~(х) (1=1, 2, ..., «ю), к, откуда я,(х,) = 0 и из условия ~ Р,~Рх = 1, имеем х,(х,) =1,. кр йифференцирув л~ по х, будем иметь «'(х) =Р (х, у, у, ..., у, у', у'... „у') (1=1, 2, ..., «г).
и Тем самым интегральные, изопериметрические связи ~ Р, «х = 1, и заменились связями дифференциальными: Рг(х У~ Уг' '''' Уы У~ Уз ''" У«) (1=1,2,..., т) задаче, рассмотренной в прелы- и, следовательно, задача свелзсь и душем параграфе. Применяя правило множителей, можно вместо исследования на к, о= ) Рах при наличии связей условный вкстремум функционала лв 386 вляилционныв задачи нл всловныи экстякмям 1гл.з Эз) ИЗОПЕРИМНтгнчисяив задлЧИ 387 тт, — г„' =О (1= 1, 2, ..., лг) исследовать на безусловный экстремум функнионзл к к! о"= ) Р+ «~)!(х)(!ч! — г,') л!х= ) Р*нх, к ! 1 ка где Р'=Р+ Х Х,(х)(Р,— а,'). !=1 Уравнения Эйлера для функционала о* имеют вид à — — Г '=О т/ 4х 9=1,2,..., л), (1=1,2, ..., л1), к"., — — Р,' =О Ы а'х '! или 0=1,2,..., л), — ).!(х)=0 ((=1, 2, ..., лг).
Из последних и уравнений получаем, что все ),! постоянны, а первые л уравнений совпадают с урйвненияин Эйлера для функционала гч!с!х=1! (1=1, 2, ..., т) надо составить вспомогательный к, функционал где Х,— постоянные, и написать для него уравнения Эйлера. Таким образом, мы получаем следующее правило: для получения основного необходимого условия в изопериметрической задаче о падок! ждении экстремума функционала о= ~ Р!тх при наличии связей ййв влвнлционныи злдлчн нл ксловныи экстоимкм !гл.э Произвольные постоянные С,, С, ..., Са„в общем решении системы уравнений Эйлера и постоянные Хн ).о, ..., Х определяются из граничных условий Ут(хо)=У!о У)(х,)=Уй (1=1, 2, ..., л) и из изопериметрических условий У Р, о(х = 1, (! = 1, 2, ..., т).
Система уравнений Эйлера для функционала о'* не изменяется, если о*" умножить на некоторый постоянный множитель ро и, следовательно, представить его в виде к, ю Роо = ~ у Р;Р~ о(х. к, о=о где введены обозначения Во= Г, р) — — ) цо, У=!, ..., т.
Теперь все функции Г, входят симметрично, поэтому экстремалн в исходной вариационной задаче и в задаче на нахождение экстремума функ- к! цнонала ~ гкс(х при наличииизопериметрических условий Рю Мах =18 (1=0,1,2,... ...,г — 1,а+1,..., т) совпадают при любом выборе а (л = О, 1,..., и).
Рнс. 9.1. Это свойство носит название принципа взаимности. Например, задача о максимуме площади, ограниченной замкнутой кривой заданной длины, н задача о минимуме длины замкнутой кривой, ограничивающей заданную площадь, взаимны и имеют общие экстремалн.
Пример 1. Найти кривую у= у(х) заданной длины 1, дла которой площадь Я изображенной на рнс. 9.! криволинейной трапеции САВВ достигает максимума. Исследуем на экстремум функционал к, Ю = / у ох, у (х,) у,, изопеРиметРические зАдАчи йз) у (хо)= уо при изопериметрическом условии к, ~ у'Г+Худх-1. Составляем сначала вспомогательный функционал ю Э*' = ~ (у+ Л )17+ уют) Л . ко Так как подынтегральная функция не содержит х, то уравнение Эйлера для 5" имеет первый интеграл к' — у'г, = С или, в данном случае, у+Л )1(+у' — " = С„ ~1 -(- у" откуда — Л у — С,=. )у(+у" Вводим параметр 1, полагая у' = 1Е1; тогда получим у — С~ = — Л соз 1; и'У оту Л з1п 1 о11 пх — =(е1, откуда пх= — = = Лсоз1М; (Е1 (е1 х Лшпт+Со.
П р и м е р 2. Найти вместе с ззданиой кривой на рис. 9.2. Требуется определить кривую АВ заданной длины 1, ограничивающую у = у (х) максимальную площадь, заштрихованную акстремум функционала к'1 Э= ~ (у — У(х))пх; «о у (к'о) = уо у (хо) = уо при наличии условия к, Итак, уравнение акстремалей в параметрической форме имеет вид: х — Со = Лз!п1, у — Со = — Л сов 1, или, исключая 1, получим (х — С,)'+(у — С,)'= Л' — семейство окружнок стей. Постоянные С,.
С, и Л определяются из условий к( у(хо) = уо, у(хо) = у, и ~ (/(+у' о(х 1. 399 влпилционные задачи нл нсловнын вкстпемкм (гл. в Составляем вспомогательный функционал и 5" ~ (у — у(х)+Л угГ+у") лх. ю Уравнение Эйлера дла етого функционала не отличается от уравнения Эйлера в предыдушей задаче, и следовательно, в данной задаче максимум может достигаться лишь на дугах окружностей. П р и и е р 3 Найти форму абсолютно гибкого, нерастяжимого однородного каната длиной 1, подвешенного в точках А и В (рис. 9.3). Рнс. 9.2. Рнс.
9.3. Так кая в положении равновесия центр тяжести должен занимать наиболее низкое положение, то задача сводится к нахождению минимума статического момента Р относительно оси Ох, которая предполагается направлен. ной горизонтально. Исследуем на экстремум функционал Р= ~ у У~1+у'з г(х м к, при условии ~ 'г' 1+ у" йх . Л Составляем вспомогательный функционал м Р" ~ ( +Л) г'1+~" и'.т, ю для которого уравнение Эйлера имеет первый интеграл Р— уР =С, илн, в данном случае, (у+)) у')+~Л (У+ )У С .)г'1 1 .2 отнуда у+Л С1 У 1+у™.
Вводим параметр, полагая у' зпй откуда 1+у' сйт и у+Л С, сЫ; — аЫ;Ых — С, ФГ)х=*Сф+ Св (у лу 4(х а)т Г НЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ вЂ” с, нлн, исключая Е, получим у+А Вс св — тсс — — семейство цепных « ливий. Указанное выше правило решения изопериметрических задач распространяется и на более сложные функционалы.
Упомянем еще об одной задаче на условный зкстремум — задаче об оптимальном управлении. Рассмотрим дифференциальное уравнение ~, =у (у (у) (у)) (9.6) с начальным условием х(ге)=хь. Кроме неизвестной функции (или вектор-функции) х(с), это уравнение содержит еше так называемую управляющую функцию (или вектор-функцию) и(Г). Управляющую функцию и(е) надо выбрать так. чтобы заданный функционал о = ~ р(х(г), и(г)) аг л достигал экстремума.
функция а(с), дающая решение поставленной задачи, называется оптимальной функцией или оптимальным управлением. Эту залачу можно рассматривать как задачу на условный экстремум функционала о с дифференциальными связями (9.6). Однако в практических задачах оптимальные функции часто лежат на границе множества допустимых управляющих функций (например, если управляющей функцией является включаемая мощность моторов, то. очевидно. Зта мощность ограничена максимальной мощностью моторов, причем в решениях оптимальных задач нередко приходится включать моторы хотя бы на некоторых участках на полную мощность).
Если же оптимальная функция лежит на границе множества допустимых управляющих функций, то изложенная выше теория задач на условный экстремум, предполагавшая возможность двусторонних вариаций, неприменима. Поэтому для решения задач оптимального регулирования обычно применяются иные методы, разработанные Л. С. Понтрягиным (см.(8)) и Р. Беллмаиом (см. (9]).
П р им е р. В системе дифференциальных уравнений ах ао — =о, — и (Š— время), ае ' ас (9.с) описывающей движение точки в плоскости с координатамн х, о, определить управляющую функцию и (е) так, чтобы точка А (хь, оь) переместилась в точку В(0, О) за наименьший промежуток времени, прйчем ~ и С «Ь1 (так аех кая и — , то и можно считать силой, действующей на точку с еднничиой асе ' массой). 892 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ (ГЛ. Э управляющая функция и(Г) кусочно непрерывна. Лля упрощения рассуждений предположим, что она имеет не более одной точки разрыва, однако окончательный результат верен и без этого предположения.
Рис. 9.4. Рис. 9.5. Почти очевидно, что на оптимальных траекториях и = ш1, так кэк при этих значениях ~ — ~ и ~ — ~ достигают наибольших значений и, следова- (л71 ~ и тельно, точка движвтся с наибольшей скоростью. Полагая в (9.7) и=1, получим (э о = Г+ Сь х = — + С,(+ Сэ, 2 илн оэ 2(х — С), и аналогично при и= — 1; Гэ о — Г+ С„х — — + С~( + Сэ, о' = — 2 (х — С), 2 На рис.
9.4 н 9.5 изображены эти семейства парабол, причем стрелки указывают направление движения при возрастании Г. Если точка А(х,, о,) лежит на проходящих через начало координат дугах парабол о= — У х или о = У вЂ” х (9.8) (рис. 9.6), то оптимальной траекторией является дуга одной из этих парабол, соединяющая точку А с точкой В. Если же точка А ие лежит на этих параболах, то оптимальной траекторией будет дуга параболы АС, проходящая через точку А, и дуга СВ одной из параРис.
9.6. бол (9.8) (см. рис. 9.6, иа котором указаны двз возможных положения точек А к С). В этой задаче время Т перемещения точки из положения А в полоэкеиие В является функционалом, определяемым первым из уравнений (9.7), второе уравнение из (9.7) можно рассматривать как уравнение связи. Однако применение к втой задаче изложенных выше классических л~етодов решения б »ло бы затруднительным, так как оптимальное управление лежит на границе области допустимых управлений ( и ) ~; 1 и двусторонние вариации здесь не- ЗАЛАЧИ К ГЛАВЕ 9 393 Задачи к главе 9 ! 1, Найти экстреиалн изопериметрической задачи о (у (х)] =- ( (у'з+хэ) с(х о 1 прн условии ~ ус нх = 2; у(0) =0; у(1) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
