Эльсгольц - Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление (947330), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Очевидно, у удовлетворяет и граничным условиям у (хэ) = у (х,) = 0 (так как все ш1(хэ) =- гю1(х,) = 0). Определить все а1 из линейной по отношению к ним системы (1О.З) и совершить предельный переход при и-ьсо удается весьма редко, поэтому обычно ограничиваются лишь конечным и притом весьма небольшим числом и (и= 2, 3, 4. 5, а иногда даже л = 1). При этом, конечно, надо выбрать лишь л функций ю1(х), поэтому условие полноты отпадает и ик надо выбирать лишь линейно независимыми и удовлетворяюшими граничным условиям ш1 (х,) = ш1 (х,) О.
Часто в качестве таких так назыааемык поординатнык функций беру! многочлены: (х ха) (х — х!), (х — хэ)т(х — х!), (х — хэ)з(х — х!), ... ..., (х — хэ)" (х — х!) ". (10.,1, 412 пРямые метОды В ВАРПАБПОииых 3АдАчАх !гл. ю (удобно при этом начало координат перенести в гочку х„и иногда в (10.3) х, 0) или тригонометрические функции лп (х — хэ) х,— х, Этот метод применим к уравненияи любого порядна л, к системам ураннений и к уравнениям в частных производных Задачи к главе !О 1. Найти приближенное решение уравнения Ьх = — 1 внутри квадрата — а ( х (а, — а ( у ( а. обращающееся в нуль иа гранлпе этого квадрата.
У на за н не. Залачз сводится э исследованию и«экстремум жункцпонала Приближенное решение можно искать в виде а (х' — а') (у' — а'). 2. Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала ! о [у (хц ~ (х'у"т+!00ху' — 20ху) г(х! у (1) у' (!) = О. с Указание. Решение можно искать в виде у„(х) = (х — !)т(ее+а,х+ ... +ач.х"); провести вычисления при и = 1 3.
Найти приближенное решение задачи о минимуме функционала ! о[у(хЦ=~(у" — У вЂ” г у)л г у(О)-у(Н-О. о и сравнить с точным решением. Указание. Приближенное решение можно искать в аиде у„- х (1 — х) (и, + а, х + ... + о„х"); провести вычисление при а = 0 н п 1. 4. Найти приближенное решение задачи об экстремуме функционала .т хт — 1 о[у(хц / ~ху — — у' — 2хэу)нх; у(1)-у(2) О, х ! н сравнить с точным решением. ЗАДАЧИ К ГЛАВК ГЕ У к а з а н и е. Решение можно иснать в виде у = а (х — 1) (х — 2). 5. Найти нетодом Рнтца приближенное решение задачи о минимуме функционала 2 о!у(х)) = ~ (у" +у'+ йху) г(х; у(О)= у(2) =О. о и сравнить с точным решением. Указание.
См, задачу 3. 6. Найти методом Ритца приближенное решение дифференциального уравнения у" + х у = х; у (О) = у (1) = О, Определгпь уг (х) и у,(х) и сравнить их значения в гочкак х = 0,25, х = 0,5 и х = 0,75. . ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ К главе 1 1. з!и у сов х =-с.
2. бхз+5ку+ уз — 9к — Зу = с. 3. х' — 2су = сз. 4 у = — + —. 5. — + — = с. б. х =. се + — г . 7. у = с соз х+ в!и х. с х' уз у „ ! 4 ' ' 2 х ' ' 5 8. г — е = с. 9. х = сез — — (сов г+ з!п !). 10. Однородное уравнение: 2 к 1 х = у век ' '. 11. у = сх и у' — х' = с. 12. уз = —. 13. ! п ! ! ! = с — е (Зх+ с)' х = з!и г, 14. Можно ввести параметр, полагая у' = соз! ! ! з1п 2! ! ( х =,вз — )з+2 13. у = ах+ —; особое решение у'=4х.
И 3 вз 17. УравС' у = — р' — —, + с. 4 2 4, 3 ~х= рз р+, некие линейно относительно х и †,х = су + †. 18.( 3 2 ау' 2' ! у = р' — рз — 2 19. Гиперболы х' — у'= с. 20. Дифференциальное уравнение искомых кри- вых У =у'. Отв. у' = 2сх. 21. Дейференцнальное уравнение искомых кри2х вых у — ху'=х. Отв. у=сх — х!и!х!. 22. х'+у' — 2су=0. Особенно просто задача решается в полярных координатах. 23.
Дифференциальное йТ уравнение задачи — =Л(Т вЂ” 20). Отв. Через ! час. 24. Дифференциальз(! з(о ное уравнение зздачи — = йо, где о — скорость. Отв, о = 0,4бб хм!час. з(! 23. Если поместить начало координат в заданную точку и направить ось абсцисс параллельно данному в условйях задачи направлению, то дифферен. циальиое уравнение кривых, вращением которых образуется искомая поверх— х Х )з хз+ уз ность, имеет вид у' = + у (или зсх — з(р = О, где р = р"хз -).
у') у „ Отв. Осевое сечение искомой поверхности определпется урзвнением у'-.-2сх+сз, поверхность является параболоидом вращения. 28. у = 2 з!и (х — с). 27.Дифференциальное уравнение искомых' кривых у' — —. Отв. Гипербоу х ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 415 ( .'+ )Э + У У У 58. у= ! и У=О. 59. (х' — 1) у — з(их= с. 60. Зу+4х+5 1+сх+»пх = с„4» зт 4, 6!. Уз+ха — Зху = с. 62, у = с(ха+у ). 63.
уз= х+ —. к' 64. у = с (х+ а) + сз й особое решение у =— (х+а) 2 с 4 ' ' 3 12' . 65. х= — г+ —, у=2хт — 1 и У=О, у= — х. 66. у= 3, с 1 Х сов х К главе 2 3» 1 (сов1 1. У=5е шах+!О. 2. х= с, соз1+с,шп(+ — сов21 — —. 3 2 соз' х ! 3. (у сз) с ~х + ст 4. У = с( сов х+ сз з(п х+ —— в(их 2з!пх ' ! 1 ! 5, у = с, ха + с х'+ —. 6, у = с, з(п х + с, сов х+ — с)( х.
7. У = — + 1. 3' 12е2' ! х сг+ 1 8. х ст( (с, .+ ст) + — + е'+ —. 9. у =- — — + — !и ! 1+ с,х »+с,. 2 4 с, с, 2 !О. с(х +!=с, (1+сз) . !1.у=се»+сае +сасов2х+С4з(п2х — !6+!5е*. х' !2. у = сов (х — с,)+стх+се 13. у = с,е«+сте «+сзх'+ с,х +свх+сз — 24. 4хз 15. У сз ~! — — + 2 3 (4. х = е' (с, + с21) + е-'(с, -»- с 1) + 1 + 12 лы ху=с.
28. (х+у+1)а=с(х — у+3). 29. у= ' + ) . ЗО.У(0.5) = 2(1+ х с -»- 2х -»- х' ' ш0,13. 31. У (0,6) ш 0,07. 32. у (0,02) ш 1,984; У (О 04) ш 1,970; у (0,06! ш 1,955; у(0,08) ш1,942; у(0,10) ъ1,930; у(0,12) ю1,9!7; у (0,14) ш 1,907; у(0,16) т1,896; у (0,18) ш 1,886; у (0,20) ш 1,877; у (0,22) 1,869; у (0,24) ш 1,861; у (0,26) ж 1.854; 1 с 2р ! х= —,+ —, х — у у(0,28) = 1,849; У(0,30) ш 1,841.33. Р' 3 и У=О.И.х+с(З вЂ” =с. 2 у = 2рх — рв. 36. (х + у + 1)4 = сет» т. 37. у = с; у = е»+ с; у = — е»+ с.
ЗВ. у' = 2сх+ сК х' — 1 х' — ! 2 1 х' х' 39. Не имеет. 40. у, =; у = — + — — «.» 2 ' 2 15 4 6 41. у =2х' — х. 42. Не имеет. 43. х= се . 44. хз+ — = се. 45. х= 21. — Зу 2 ха 46. х =12. 47. у = — «+ ! н у = — —. 48. Действительного решения не 4 ' существует. 49.3х — 4у+ 1= се» т'. 50.х =(41+с) з(пт. 51. у = сх+- 2 7х' а иособое решение у = — хд 52. у =, у =О. 53. х — с — (21 — Шп21), х'+ с' 2 а у = — (1 — соз 21) — семейство цнклоид.
Особое решение у = а. У н а з а- 2 вне: удобно ввести параметр 1, полагая у' = с(е1. 54. З(х'+ у)+ «у' = сх. с 5. и= 56. х= сет. 57. х' 2х — ' — 6х — 2 = с. ответы и указания к задачам 416 ( — 1)" 4 х'~ 2 ° 3 5 б ... (3!! — 1) З)т + ''') ( 1)» 45 зал! 4вхв 2 3.5.6 4х' + с, (х — — 4- 3 4 4тх' 3.4 б 7 3 4 6 7...3й (ЗЛ+!) !! = с!у (Зх)+сл,/ (Зх).
17, у = х. 18. у = ( —, х+1) . ° . ) ° 16. !9. у=с,сов»+ 20. и = — + с,. 2!. Днфференс, г + С» 5|и Х+ 1 + х со5 Х вЂ” 5!П х ! П ! 5!П Х ) гРг циальное уравнение задавив с!1» сто Ф о — = —, где г — расстояние Пг г'' = — или г' от центра Земли до тела, о — скорость, е = — 6400'д. Оте.
о = !! тх,~сек 22. Дифференциальное уравнение евижения 75! О!Па. Х лл — !ПСЬ вЂ” Е 75 »Р5 !Р5 — =Л(5+1) или — = — (5+ !) Оте с)с» !(С» б 23. Дифференциальное уравнение движения с= У вЂ” !п (б+)'35). / б 8 ьа 24. Е==!П(9+)Г80). 25.
5= — ! — (1 — е " ), 26, х= Асов у — С. 27, х= асов )гг — !. 28. Дифференциальное уравне/н Гд У ние движения х+Л!х — Л»х = О, Л! > О. Отв. х= с,е ' ' + 38. и= с, + св ргхв+ у'+ х' 39. Дифференциальное уравнение движе- а ния тх= тб — Лх. Отв. х= — т — — (1 — е тб т~д т Л и» 40.
а) с — те ( †!)л 5!П Пт (и» 2)п» л=! = с, (х'+ х )'1 + х'+ !и ( х+ ) 1 + хт ) ) + сь 31. у = с е" »+ сн у =— с — х' » ! 32. х = с, сов Зс+ с, 5!п ЗС вЂ” — Р сов Зг+ — в!и 3!. 33. у = е-" с + с х— 12 36 ! — хв)+ — е». 34. у = с,с»+с (ст сов — х-1-с 5!и — х)+ — хе". хе» СО5 х Х'Е" В!П Х 35. у=с (с,совх+с,в!их)+ + . 36 у=с,(х — х")+ 4 4 )х+! ! 1 + с! ~4 — бх'+3(х' — х) !п~ — 1 — ~. 37. и с, !п(х»+ у')+ с,. ~х — ! ~ 417 ответы и гклзлиия к злцлнлм !' ае б)х — хв=- вг ) —; с — Св= а! )— .) У (е)! = ,,) У (о)' х! 41. у = с, + с,х+ с,х'+е (с, + с,х+ с,х') — — — —. 2 24' ! 42 х= (с!+ с!!) сов!+(с!+с С) в!ПС вЂ” — С сов! 43. у = с! сов !п(1+ я)+ 8 Ъп (2 — ав) в!п пс — 2п сов пс +с,з!п1п(1+х)+!п(1+х)в!и!и(1+х).
44.х= у 2 в ! в е=! ав С~ à — (пв — ав)а,— а,п))а, а,пае — (и' — а,))()е а! .ЛЕ ~ (и — ая! +а,п !'а — аз~ +а и' Л~ ~ ) ( ) сов с где а,, ал, 6и коэффициенты Фурье функции с (с), 46. х= ! +,Д (1+ 3 сов 2!). 47. у =- с,х+ с,хе . 48. х'у" +ху' — у =О. 24 ге С У2 )'2 ! т ~С,)С2 . )'2 49. х=-е (с сов —, С+с, з!п — С)+е ~с, сов —,С+с в!п —, С)-!-Св. 50, х = С!+С+ 1, У = — Св+ — Св+ — С! + ~с! + — ~ С! -1- с!!+с!.
51. х=— 8 1О ' 16 ~' 6~ 2' св — в! с'е (и,т е! "' — —,.!- . в(- ".н —, '!.',-'<. (5-+ !и 2)в )' 3 )'3 1 в) $'3 )'3 +е (с сов —, х+ с в!п — х!+ е (с, сов —,— х+ с, в!п — х) + 2 евх х 1 + —, 54. У=(с,х+с!) сов х+(с,х+с„) в!их+с,+ах+ — ! — ет. 63 ' 6 4 5э. У = (с х+ с )'+ с х+ се 56. У =- е е""( — — — 1+ се 57.
У=с, совх -(- !с! с,) вн!2х в!п4х 1 -(-с,в!пх — — — 58. у= — . 59. у=с,е""+ —. 6 30 ' х — 2 ' с,' К главе 3 1. х=в!п С, у =сов С. 2. х, = 2е', х,= 2е'. 3. х=с,е( ( - ! - г'гв) ! 2 , 1 вс -)-с,е + — е' + — е'; у наводни нз первого уравнения: у = е'— 11 6 ! с(х ! -в с( 1'3 Р 3 — — — 5х. 4. х=с,е'+е в !!с!сов —,)+сев!и —,С)! у н е опре- !СС ' ' (, 2 2 ссх !Свх деляютси из уравнений: у = —., е = — 5. х = с,е"'! у = с,с е'!'. сс '' сссв ' ' в 6.
х = с, сов С + св в)п С + 3 у = — с, в! п С + св сов С. 7. у = с!ув (х) + с 1; (х); е = х [ссу„(х) + ся ув(х)~. 8. х+ у+ х = сг, х + у + е сят. 9. х сге'-( ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 418 !О. х с!+с —; с, .(- с,е т', у =' с,е' + с,е ', х = с,е' — (с, + с,) е у = — с41+ — т .. !1. х = с, сов г+ сг я!и ! — ! сов г+ а!и т !п ! а!и ! 1; у опресг Фх деляется иэ уравнения у = †' — 1, 1л х' — у' = с„ у — х — т = сь 4ГГ 13. х = с,е'+ с,е '+ а(п т, у — с,е'+ с,е ! 4 х е 4 у 4 е г 15. 9(1) ге 0,047.
!6. х= еш(с, сов!+ с, а!пП у= его (с, в!и! — с, сок !). 17. х = 2с е ! + с е т', у = — с е ' + с е тй !8. х = е ь (2с, соа ! + +2с,а!и!), у=е '((с4 — с,) соа с+(с,+с,) я!и (]. !9.х=с,е'+с, у= = (с,(+ с,) е — ! — 1 — с,, х у — с,е'. 20. х+ у+ л = сг хух = сг ',)с,е' + Зс,е К главе 4 1. Точка покоя асимптотически устойчива. 2. Точка покоя неустойчива 1 1 3. Г!ри а < — — точка покоя асимптетически устойчива, при а = — — устой- 2 2 1 чнва, при а > — — неустойчива. 4. При а < 0 точка покоя асимптотнческн устойчива, прн ц > 0 неустойчива. 5.
Прн ! < ! < 2 х(г, р) ьр 4 — тг; при 2 < ! < 3х(г, р)-ь — )49 — !'! при ! > 3 х(т, р)-г со. 6. х(т, р) -г со. 7, Точка покоя неустойчива. 8. Точка покоя устойчива. 9. Точка покоя неустойчива 1О. Точка покоя устойчива. 11. Седло. 12. Периодическое решение х = 1 2 5 5 = — а!и ! — — соа ! асимптотнчески устойчиво. 13. Все решения, в том числе и периодические, асимптотически устойчивы. !4. Точка покоя неустойчива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
