Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 85
Текст из файла (страница 85)
ко от С,, гл, л, а; мы использовали здесь неравенства (3.14), (3.15) и (3.17). Вспоминая (3.13), заключаем, что в(х, г) < 1 — 11 для некоторого и >0 (3.18) при условии, что /с Э/се, где 1се такое, что С,Я,' '< 1/2; и зависит только от т, л, пе. Таким образом, аорйм < АаМа(1 — г1), С Выражая в в В(хе, 1) Х ( — 1, 0) через функцию Грина для параболического оператора в (3.17), находим, что если !х — хе!(1/2, — 1/2 <г(0, т.е. зор ит < Ма(1 — и) = 2 ье(1 — П). па+с Остается показать, что 2-Ье(1 П) < 2-(а+ 1)е т.е.
1 — и < 2 '. В силу (3.6) это неравенство сводится к следующему: и < 2( — з)тдт — ) при 1х — х !+!с — с 1 >2 с<с С другой стороны, если ~х хо~+~с со~о<2 — а" с<со тО ВВИду (35) С я т СС* ит(х, С)<2 " ' < Сит(хо.
Со). Здесь С вЂ” константа, зависяшаятолько от т, л, по. цт(х, с)<Стах((~ х — хо )+ Со )О)е цт(ХО Со)) если С < Со. Ввиду непрерывности (напомним, что и (339) остается верным также, если с= сР. Пусть М= зори, с, = 1/(тМ '). Тогда д М~ Ьи — с, — и > — —, если с>т)о е)о Заключаем, что (3.19) — одно из гладких решений и)) (и >0). (3.20) Действительно, левая часть равна величине ие — с,ти 'и, = (1 — с,ти ')и, е Сси т — (1 — с,ти )— с в силу (2 13),так как 1 — с,тит е >О,откуда следует (3 20).
Пусть à — решение задачи Мй Ь[ — с,[е = — — в Я" Х(с~, ), е)о (3.21) [(х с) Стах [~х хо )е цт(хо со)] в Яя Тогда (см. задачу 1) ['(Х С)< С ((!Х вЂ” ХО!+!С вЂ” СО! )е ит(ХО СО)) (3.22) где С' — некоторая константа. Следовательио, по принципу сравнения (в силу (3.19) с с= со и (3.21)) те же оценки верны для ит. 466 Мы можем, очевидно, удовлетворить этому неравенству, выбрав и < 2 (2 — а достаточно мало). Таким образом, мы доказали (3.5) для всех Сс < Сс'.
Следовательно, цт(х с)< С(~х-хо(+(с-со~а)е Таким образом, мы доказали, что Ит(Х 1) ~ СШая(()Х тО )+ ~ 1 ГО~112)е Иел(ХО 1О)» (3.23) для любой пары (х,г),(х,го) в Я" х(цо, ); с и е зависят только от т,л,цо и верхней оценки ! и ~ Лемма 3.2. Если(х1,2')Ей" Х(цо, )длл 1=0,1и 1 [~ Х' — ХО ~ + ~ Г' — ГО ~'а»е я', — И'"(Х', 11) С для 1 = О или 1 = 1, го 1 и (х', г') и'"(хо го) (3.25) До к а за тел ь от в о. Предположим, что (3.24) выполняется для 1'= О, т.е.
1 ((х1 хо(,~,(11 Го~112» ~ м(хо 1о) (3.26) С Неравенство ил(х', г') ~ Си (х, го) есть тогда следствие (3 23) и ~326). Для доказательства первого неравенств в (3.25) заменим в (3.23) (хо, 1 ) на (х'„1') и (х, г) на (хо, го). Ввиду (3.26) получаем И'"(ХО ГО)я Спел(Х1,11). (3.29) при условии, что (~ — О~+~ Г о~112)е ~ (~ +1)-е С Таким образом, в частности, (ЗЗО) верно при условии, что Мел (х — хо(С»1Усое, ( à — Го(~~271оз' Ь = — 2 С (3.31) Возьмем теперь произвольную точку (х, го) с го > 2цю и пусть йо — положительное целое такое, что М~(ьо + 1)-' ~ иел(хо го»сМль-е (3.27) где М = зир и.
Определим Ео =((х, г)~ |х — х ~+11 — г ! ~ с11ео, г>цо», (3.28) где с — положительная константа (которую определим ниже), не завнсяшая от хо. Если (х, г)~Хо, г>цо,тон силу (3.27), (3.23) нлеммы 3.2 ИМ(Х Г) <СП Х О 1 +! Г .О 11/2)е где С зависит только от С, с, Мел. Поскольку такое же неравенство верно для им(хо го» т ! И (Х, Г) — Иео(ХО ГО»( я: 2С(1Х вЂ” ХО )+ ~ Г 1О11/2)е если (х, г) Ф Ео, 1> цо.
Рассмотрим случай (х, г) Е Ео. Отметим сначала, что ввиду (3.27) и леммы 3.2 1 иел(х 1) — < С (3.30) С иле(хо го» Введем переменные (х-х )/4 х Л о)ьзо Лз и пусть о(х', с') =и(х, г). Тогда ао — = ~7 (а(х, г )~Го), Зг (3.32; где,а = гпи '/Л. Если 1х'!<1, 1г'1<1, то (3.31) верно с (х, г) = (х, г) и, следовательно, (3.30) удовлетворяется.
Таким образом, с, < а(х, Г ) < ст, если ~ х' ~ < 1, ! Г' | < 1, если ! х' ! < 1/2, ! г' ! < 1/2, где С вЂ” константа, зависяшая только от с„сз. Если (х, г) Е Ео и с = Л/2, то !х' ! <1/2, 1г'! <1/2, и тем самым (3,33) имеет место. Кроме того, ~х — хо ~ее+~ г — го~а'/з < 2(с/г ')а' = 2сао/с'ао. Следовательно, из (З.ЗЗ) для (х, г) Е Ео имеем ~и(х, г) — и(хо го)~ < С'(цх — хо ~+юг го нг/з)а(~-о) с константой С", не зависяшен от ео.
Комбинируя последнее неравенство с (3.29), завершаем доказательство теоремы 3.1. Теперь исследуем непрерывность при г = О. Т е о р е м а 3.3, Если ио непрерывна по ГельДеру, то и(х, г) непрерывна при г аО. Д о к а з а т е л ь с т в о, Пусть и (х, г) — решение уравнения пористой среды, данное в задаче 3 из з 1. Тогда функции и, ь(х, г) = — сю(Ах, с 1Хзг) для любых с > О, А > 0 и(х, г) =то, ь(х — у, г+ 1) для фиксированного у С /1" (3.34) будут такжерешениями. Отметим„что ю < с и й(х,0)=0, если 1х — у1>Р/А, Ж(х,О)>0, если 1х — у!<В/Ь Теперь докажем непрерывность и в (у, 0). Предположим сначала, что ио(у) > О.
Тогда ио(х) > с, если 1х — у ! < В/Х, для некоторых с > О, А > О. Соглас- где с~ — положительные константы (завнсяшие только от С, гп, Л). В силу оценки Де Джорджи [1301 заключаем, что для некоторого а,О < и <1, ( и(х, г) — и(х „г~) ! = ~ о(х~, г~) — У(0, О) ~ < С(~ х 1а + ) г~ /а~з а = — /гао(~х хо~а+ ~ г го~а/ ) С 2 (3.33) Ла о но принципу сравнения (задача 1 из й 2) й(х, Е) < и(х, Е). Следовательно, и(х, Е)>0, если )х — у!<ф(2Ь), Е<б, Рассмотрим параболическую систему дг — = г)гм, если !х — у ! <б, е>0, дЕ г(х, 0) = 2е, если 1х — у ~ < б, г(х, е) = М + е, если ! х — у 1 = б, е > О. Эта задача имеет классическое положительное решение.
Сравним его с и),) > 1/е; в силу (3.35) и неравенства и) <М+ е на )х — у ) = б, имеем и;(х, Е)<г(х, е), если )х — у)<б, Е>0. полагая у- », получаем и(х, е)<г(х, е) и,в частности, )пп эпр и(х, е) < )пп зпр г(х, е) = 2е. Оь с) -~ Оо 0) (х, е) Еу, 0) Так как е произвольно, и(х, е) — 0 при (х, е) - (у, 0), и доказательство закончено Оп ре де ление 3.1. Пусть Й = ((х, Е); Е>0, и(х, Е) >О), Й(е) =(х; и(х, е)>0), Г = д(и >0) г)(е>0), Г (Е) = дй(Е); Г называется свободной границей Теорема 3.1 означает, что Й вЂ” открытое множество в Вн Х (О, ) и й(Е) открытое множество в Я", Неравенство (2.13) эквивалентно следующему: — (е и)Э-О, д дг и поэтому Й(Е) возрастает по Е. (3.36) Если, в частности, и = 1, ио(х) непрерывна, ио(х) >О, если а<х < Ь, ио(х) = О, если х < а или х > Ь ( — ' <а<Ь<' ), (3.37) 469 для некоторого малого б > О.
Таким образом, и удовлетворяет уравнению и, = Ч(а Чи) в В (Л) Х (О, б), где Я=))е'(2Ь), се < а < сз и се — положительные константы. Применяя оценку Де Джорджи, выводим, что и непрерывна по 'Гельдеру в'В (К/2) Х 10, б)2) . Остается доказать непрерывность и в произвольной точке (у, О), для которой ио(у) = О. Дпялюбого е >Осуществуетб >О такое, по ио(х)<е, если !х — у!<б.
то (3.38) П(г) =1],(г) <х <]т(г) ), где ( — 1)']',(т) — неубываюшая функция по г. Задачи 1. Доказать, что (3.21) влечет (3.22). (У к а з а н и е. Представить 1 через фундаментальное решение.] 2. Предположим, что (3.37) верно и и,(х) Э (Ь вЂ” х)тд для некоторого 7 < 2 и х е (ь — и, и), и > О. Доказать, что 1,(т) > ]'т(0) для всех т >О. (У к а з а н и е. По принципу сравнения можно предположить, что ие(х) =(Ь вЂ” х)т дпя Ь вЂ” б <х<Ь, где не(х) = н(х, 0), н(т, г) такая же, как в (2.8).
Дпя любого малого е > 0 положим н(х, г)= [н,т+й,(х — х,)] (см. задачу 5 из б 1), где у = н,х + х, касательна к у = не(х) в х,. Тогда с(Ь вЂ” б, г) = н(Ь вЂ” б, 0) + н, (Ь вЂ” 6, г ) т > Е(Ь вЂ” б, т) для 0 < г < Ть, и по принципу сравнения (см. доказательство (2.29)) н(х, т) < < н(х, г), если Ь вЂ” б < х < Ь, 0 < Г < Те. Показать, чтоб(О,Г) >О,если Г >се (с > О), и затем положить е -+ О ] 3.
Предположим, что ие(х) > О, если х Е С, ие(х) = О, если х Ф С, где С— область в Вн с границей класса С'. Если, кроме того, ие(х) > (61зт(х, дс))т!он ! (хе с) (3.39) для некоторого 7 < 2, то й(0) С й(т) для всех г >О. [У к а з а н и е. Использовать функцию сравнения из (3.34) ], 4. Предположим, что (3.37) выполняется и и (х) <С(Ь вЂ” х)зД'" для некоторой С > 0 и х Е (Ь вЂ” ц, ц), и > О. Доказать, что ]'т(г) = ]'т(0) для всех достаточно малых г. (У к а з а н и е. Используйте функцию сравнения из задачи 4 из б 1.] 5. Пусть предположения из задачи 3 выполнены, но (3.39) заменено на условие ие(х)<С(ЙЫ(х, 611)) Д~ '! (хЕС) для некоторой С > О.
Доказать, что если С выпукла, то й(г) = й(0) для всех достаточно малых г. (У к а з а н и е. Используйте функцию сравнения из задачи 4 из б 1.] б 4. Движение и непрерывность по Гельдеру свобошюй границы Из леммы 2.2 немедленно получаем лемму. Л е м м а 4.1. Если в лемме 2.1 н удовлетворяет (2.1б) и (вместо (2.17)) (х, г~ + о) принадлежит свободной границе, то сят н(х, те+о)дх > — .
(4.1) вл(х') о 47О Этот результат и лемма 2.3 будут использованы при изучении и непрерывности по Гельдеру свободной границы. Ввиду принципа сравнения с функцией вида (3.34) находим (предполагая, что ие(х) > 0 в некотором открытом подмножестве «т"), что Ы(!х П х Е Г(«)) >с«~«" (с> О, «> 1).
(4.2) Будем использовать обозначение о(х', «е) = ((х', «); 0 < «< «е) . Те о ре ма 4.2. Для л«сбой точки (х', «*) ~:— Г либо: (1) каждая точка из а(х', «') принадлежит Г, либо (П) ни одна точка из о(х', «*) не принадлежит Г. Таким образом, если свободная граница содержит вертикальный сегмент, то продолжение зтого сегмента вниз до « = 0 также принадлежит свободной границе.
Для л = 1 зто означает, что, однажды начав двигаться, свободная граница никогда не остановится. Задачи 2 — 5 из 3 3 дают достаточные условия относительно того, когда свободная граница начинается двигаться непосредственно при « = О. В силу (4.2) свободная граница должна начать движение в некоторый конечный момент времени. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если утверждение неверно, то сушествуют точки О < «' < «з < «' такие, что (х*, «')ЕГ, (х',«')«р Г. Следовательно, и(х, «')=О, если хЕВя(х') для некоторого Я > О. Без потери обшности можно предположить, что «' — «' достаточно мало.
Применяя лемму 4.1 с о = «з — «', получаем ся2 о(х, «)««х > Вн «х ") «' — «' Мы можем применить лемму 2 3 с Ло= «* — «', т = 1, о= «т при условии, что «' — «' > > С(«т — «') для некоторой достаточно большой константы С. Тогда получим неравенство о(х*, «') >О, которое противоречит тому факту, что (х', «') Е Г. Мы можем использовать леммы 2.3 и 4.1, чтобы получить скорость (по Гель- деру) движения свободной границы. Т е о р е м а 4.3. Пусть (х', «') 6 Г(«'> Пь > 0) такая, что о(х', «') не содержит никаких точек иэ Г.
Тогда и (х, «) = О, если ! х — х" 1 ~. :С(«" — «) т (4.3) («* — ««' < «< «*), и(х, «)>О, если |х — х'!<С(« — «')т (4.4) («* <«< «' +««') с некоторыми положительными константами С, т, ««*. Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем т так, что 0 <т < «', и положим й = «* — т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
