Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Теперь установим елняственность решения. Те о ре ма 1.3.Если у удовлетворяет (1.15) и и,й — две функции такие, что и,йЕТ. Ят), (1.21) и — й Е А', получаем (1.26) шез((х, т)Е(гт; [Ь(х,у) [>о ) ( 'Ф$) О. Отметим, далее, что Ьй= О в йЯт) т ( (,ь + й уз й)ах еуг = о эу й е й(0т) (1.27) о н» й)(Д ) и положим й =В у. Тогда чу еС и й = 0 в изн „н и у = 7; Поскольку г, Ь Е Е (1гт) (1'27) Р"о " " ' (®т) ф = 0 вблизи у=О и вблизиу»Т при условии, что йодй,[ауту[ принадлежат г.' я, ), т.е.
зто рассматриваемый случай ту = В, у. Отметив,что узВ,у»еВ,7 - 7, (В у),=В липолучаемиз (1.27) т 0= Г Х [гВе(7!)+Ь(еВ»у 7)[ахи о л» т =) ) [(В г)(у,)+(еВ Ь вЂ” Ь)у]Вх<Й о л» (во втором равенстве использована симметричность В,) . Таким образом, (В г),=еВ Ь вЂ” 6 в л) Ят). Поскольку г, В, г принадлежат А О Ь г,(у) ее(В,г(г),г(т)) (1.28) хорошо определена п.в:, здесь использовались обозначения г(т)=г(,т)„(р,ц)= Х р(х)ц(х)Вх, и» Предположим, можно показать, что 1нп я, (т) = 0 п.в.
по и »у о ( 29) Л е м м а 1.5. Имеет место соотношение (1,31) егз1ппге(т) =О. о 446 Тогда г(т) = 0 п.в. Действительно, если и Е г,' (В»), то еВ»и — ЬВ» и = и н тем самым (Вен', ш) = (Ве у», еВе ш — ттВ»уо) = е[[ Ве ш [[у» + [[ ~2Ве ш [[[уз Поэтому (В,ю, ш) «О при е »0 влечет еВ,н ~0 в2. (В") и (так как ьВ,ю~ О Аг) 1эВ» то = йт(йгайВ ш)- 0 в Х'(гт»). Следовательно, и = еВ»ш — ЬВ»и -+О в Й (В») и, такимобраэом,ш = О.Применяя зто значение к и = г (у), получаем, что (1 .29) влечет г (у) = 0 п.в. Остается проверить (1,29) . Для этою докажем три леммы.
Л е м м а 1.4. Функция е (т) абсолютно непрерывна и е, (т) = 2 (еВ, й (т) — й (т), г (у)) п.в. (1.30) Л е м м а ! .6. Пусть р Е А (Я" ), тлеь(хЕЯ", !Р(х) !>б) <" 'ч'т>0. Тогда длл любой ц ~Ь'(Я") ГЗ А (В") 1!щ (р, еВ о) = О. е -' о Предположим, что лемма верна.
Тогда легко можем установить (1.29) (за. вершая тем самым доказательство теоремы 1.3). Действительно, в силу (1.30), (1.31) и неравенства гп > 0 ь (г) < 2)' (ь В, й (г), г (ь)) Вг. о Подынтегральное выражение ограничено величиной !! ьВ, Ь !! !! г (г) !!, < !! й !!, - !! г(г) !!, з, кроме того, !! г(г) !! Е Ь' (О, Т). Замечая ввиду леммы 1.6 (здесь мы используем (1.26)), что (ьВ, 6 (г), г (г)) = (й (ь), ьВ, г (ь)) - 0 п.в., если ь — О, согласно теореме Лебега получаем (1 .29) .
До к аз а тел ь ство леммы 1.4.Для простоты возьмем ь = 1 и положим 8 = ~д, Вя = В18. Пусть гь (г) — б-усреднение г(г) как функции от г (определяем г(г) = 0 вне !т). Таким образом, гь(г,х)= Х Рь(г — г)г(х,г)Вг=рь *г, рь (г) — неотрицательная функция класса С с носителем в (-б, б) и ) рь (г)ь!г = 1, рь ( — г) = рь (г) . Тогда ь( ~а — (Вгь, гь) = 2)~ Вгь, гь ~й дг В силу (1.28) д Вгь = Рь * (ВЬ вЂ” Ы на (б, Т- б) Х Я", дг где мы опРеделили л = 0 вне (зт, фактически это следУет после пРименениЯ к пРоизвольной функции Т е л) (Я" Х (б, Т вЂ” б)). Из предыдущихдвух соотношений имеем для любой Ь Е Ю (О, Т) и достаточно малого б: т — ! (Вгь (5), гь (г))ь ЯЙЬ = о (Рь ~ (ВЬ й) (г), гь (г))ь (г)аз. о Посколькугь — гвА'Ят), !!гь !! <!!г!!,то т т — ) К(г)йгМг= 2( ((Вй — Ь) (г), г(г))~(ь)ь1г о о и лемма доказана.
447 Доказательство л е м мы 1.5. ПустьО<а <Ь< Т, 1, если р>Ь, Ь(р)= О, если р<а, (р — а)/(Ь вЂ” а), если а< р<Ь Мы можем аппроксимировать А гладкимн функциями Ь (р) и затем, взяв в (1.27) Ь (р)Ф(х, р) вместо 4(х, г), получимпрнт О (г(рта + Ьф,) + ЬртрУф) = О = О(г(р, +ЬЬф).
Полагая а, Ь -и О, имеем ь !нп — )' Г г(х,р)1Ь(х,р)ИхсУр=О ьа оЬ вЂ” а а ни ь>и трф ЕСо ((О, Т); Яи). Так как г Е А", мы можем выбрать те ф, которые аппроксимируют произвольную ф Е Х ~, и затем вывестн, что 1 ь 11т — 1" 1" г(х,р)Ь(х)срхррГ=О (1.32) ь,и- оЬ вЂ” а и яи ь>и Ч Ы'(В").
Из (1.28) имеем В,г(х, р) — В,г(х,г)= Г (еВтЬ(х, т) — Ь(х, т))йт. Умножая обе части на ф Е Са (ки) и интегрируя по х Е Яи и г Е (а, Ь), получаем )' В, г (х, р) ф(х) Вх— яи 1 ь — — 1" / г(х, г)В,ф(х)рРх~Рг = Ь-па „и 1 ь — — ( ) )' (еВ,Ь(х, т) — Ь(х, т))рРт Ь(х)ахай. Ь вЂ” аи лиа Полагая а, Ь 1 О и используя (1.32), выводим ) (В, г) (х, р) Ь(х) ррх = = /,! (еВт Ь(х, т) — й (х, т)) ф(х)рРХИт. о ли Поскольку ф Е Се(Н") произвольна, отсюда следует, что и В, г (х, р) = )' (еВ, Ь (х, т) — Ь (х, т))рРт, о откуда!!В,г(р) !! <2р!!Ь !! .
Поэтому !У,(р) ! <2р!! Ь !!,»!!г(р) !!, Так как !! г(г) !!, Е а.' (О, Т), то получаем утверждение еаз!ппяа(т) = О. а о Доказательство л ем мы 1.6.Для произвольной$)О можно записать !2 ЕРВайпх!< 2 ЕРВай тат ! еВай !< !р>т) < пает(Р) $) !!Р !!ь !! еВаЯ !!с + $!! еВа 9~!!с' ю2е +та. Используя представление (1.11), находим, что для любого 0 < г < ! еВай(х) ! < е С(г)!! о !! з + е !! о!! 1 й(ч/е(х — У))с~У, ( с/ а 1т — У1 С где С(г) конечна при любом г> 0 в силу (1.21).
Полагая е -+ О, получаем 1пп апр !!еВао!! <!!д!! ) к(у)оу. а-~0 (1У!ка) Пусть г 1 О, тогда 1а -+ О,если е-+ О. Следовательно, йзп апр ! 3 еРВ,Ц~Ь ! < ( !! 1!! з а о и, полагая, что $ — О, получаем требуемое утверждение. Теперь мы рассмотрим случай газа в пористой среде, т.е. ча(и) = и~, т ) 1, ио(х) > О. (1.33) В атом случае полезно заметить, что решение может быть построено как предел классических положительных решений уравнения пористой среды.
Возьмем последовательности шаров Вл. и ет 1 0 (1 = 1,2,...) такие, что 1 Лт -, ет(В1)" —.О. (1.34) предположим, что ие е т,'(Ва) гт т. (ки), и возьмем последовательность нет е ЕСа (В411) такую,что пот> О, !! ио1 !! - < !! и !! - + е;, !!.„-пе!!,,<я -+О при (-+-. Переопределяя 1р(т) для т < е; таким образом, чтобы было 1р'(г) ) 0 лля всех т н 1Р Е С, ОбОЗНаЧИМ ЧУ новУю фУнкцию та. Рассмотрим начально-краевую задачу ди — = Ьрт(и) в Вл.Х (О, ). дт 1 (1.35) и = е на дВл . Х (О, ' ), / l и =по;+ е; на Вн.
Х (0). 1 В силу известных результатов для невырожденных параболических уравнений (130! существует единственное решение и = и. задачи (1.35). Согласно принципу максимума ет<ит<!!ио!! +2еы (1.36) Если умножить параболическое уравнение на Рита и проинтегрировать, то, заме- 449 29. А. Фридман чая, что Эи1/Эи < 0 на Вл Х (О, ) (и — внешняя нормаль к ЭВлу), получим Э вЂ” 1' и йх+тр(о — 1) ( и~+~ [ри;!'с(к=О Этвя, ~ 1 вл. ' 1 (1.37) (1 <р< ).
Отсюда следует ия(х, г)йх < / (ие (х)+ ет)раас (1 <р <'~). влу вя! (1.38) Полагая 7 ~ и используя (1З4), заключаем, что для подпоследовательности и - и слабо в Е'(Вн Х (О, Т) ) и *-слабо в А (Вл Х (О, Т) ) для произвольных Я > О, Т> 0; кроме того, и Е А'(1г) О А" ф) . Очевидно, что и также удовлетворяет (1.1), (1 2) в слабом смысле: /' (ий, +и'"Ьй)йхбг+ / ие(х)Ф(х)аЬс= 0 и (1.39) существует и равен решению и. Т е о р е м а 1.7. В случае пористой среды (1.33) для любой ие Е.(,'(Вп) существует единственная функция и, удовлетворяющач условиям иЕС([0,'); А (Р"))йА (Я" Х(е,' )) Че>0, иг — Ьр(и)=0 в Й'(ВпХ(0, )), (1.40) и(0, )=ио.
Новый момент здесь — предположение, что ие принадлежит лишь В'(В"). Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства единственности применим теорему 1.3 к и(, г+ й) и Я(г)и(., й) при произвольном й > 0 и получим, что и(, г + Ь) = К(г) и (, Ь), если с > О. Полагая й -ь О, получаем и ( ., г) = Ю(г) не. Для доказательства существования положим: и = ие я (е > О, Я > 0) — решение задачи (135) при е = е, В) =Я, ио, = ио, я. Установим следующуюлемму. Л е м м а 1 В.
Имеет место оценка С [и(т)1„(вл1 < „П „(,1 1 +С' (и =ис,я). (1.41) ! где С, С вЂ” положительные константы, зависящие только от верхней оценки [ие! „ 1 для любой Ф Е Сь (Яп Х [О, )). В силу теоремы 1.3 это решение должно совпадать с решением, построенным в теореме 1.2. Поэтому полная последовательность и1 сходится п.в. к и и и ЕС([0, );т'.'(Вп)). 3 ам е ч а н и е 1.1. Заменим ед Ят в(1.35) нас. Я, и ие — насоответствуюшую ио, я. Обозначим соответствующее решение и, л. Тогда согласно приведенным выше рассуждениям получаем 1лп 1ппи,л (вслабомсмыслев А[ь,(ВЯ Х [О,' ))) я е Тогда для последовательности Я -+ имеем цел -+ и слабо в 1,1(Вя Х (О, Т)) прн произвольных Я > О, Т > О и С ~и(г) ~,-(л.) ~,„( „, + С'.
(1 .42) Для завершения доказательства существования остается показать, что и Е С([0, ' ); 1,1(Вп)). Этс МОЖНО СдЕЛатЬ СЛЕдуЮщнМ ОбраЗОМ. СНаЧаЛа ОтМЕтИМ (см. доказательство (1.20) ), что для любых це, цг Е1.1(Я") 15(1)ие — Б(г)и11, ( „) < (ие — и11, ~). (1.43) То же верно, если Я" заменить наВя,где В(г)ц( = О на дВя Х (О, ° ). Пусть й) Е Я7,1(Вн)()А (Вн) 1й1 — це ~ ~ л +О при 1 (1.44) и обозначим йл (1) решения ио я(г), соответствующие начальным данным ц;. По за. мечанию 1.1 и теореме 1.3 й,(г)= 1пп йол(1) существует как слабый предел в 1,1 и й;(1)ЕС((0, "); Е'(Вп)).
(1.45) Поскольку (1.43) верно для Вл „оно также верно для Я" с и, = йд где Я(г)це совпадает с ц(г) и Я(г)й; — с й;(1). Отсюда и из (1А4), (1.45) следует, что и Е ЕС((0, т); А (Вн)). Доказательство леммы 1.8.Пусть ц т ц ц ц(т+Р- 1)/2 Д - В е е(т+Р— 1)/2 По неравенству Соболева / 117 о12 лх >К(( (ц е 12 ) 2(2 где К вЂ” положительная константа и 2' = 2п/(и — 2) (для простоты возьмем п > 3) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
