Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Бергер и Френкель [36] и Кзди [118Ь] вывели асимптотические оценки для уравнений йи=Л8(х,и) при ЛКэди и Норбури [119Ь,с] установили непрерьвность решений (Х, и) при Л— Более сложная (но и более реалистичная) модель плазмы также изучалась некоторыми авторами, однако теория существования до сих пор не создана.
Подробности см. в [146а,Ь; 147]. 440 Шеффер [15Ы] показал, что решение не единственно дпя вариационной задачи о плазме при Х > Хз. Соответствующие результаты (главным образом, численные) о бифуркации получены в [160]. Результаты й 14 принадлежат Каффарелли и Шпруку [64] . Дпя н = 2 Акер [1д] изучил задачу минимизации Сарц С прн заданном Л~(С) Л, где С выпукла, н получил решение, дпя которого озответствующая и (определенная по формуле (14.4)) решает задачу о плазме. Теорема 14.4 н выпуклосп множеств уровня для и в теореме 14.3 следуют нз работ [101а — с] Габриэля, который также доказал выпуклость кривых уровня для функции Грина; см.
также [136]. Другое доказательство теоремы 14.3 дано в [44]. Приведенное здесь более простое доказательство теорем 14,3 и 14.4 прннад. лежит Каффареллн и Шпруку [64]. Лемма 14.2 установлена Кореваром [129а], он же независимо вьвел доказательство теоремы 14.3 в [129Ь]. Относительно истории н библиографии по модели Томаса — Ферми см. [139].
В указанной работе авторы доказали теорему 15.1. Результаты из з 16 основаны на работах Бенлианаи Брезиса [31, 45с]. Они также получили оценку Х(- 5Р) К~а < Х<- 55К) . Результаты З 17 взяты из [58е]. Асимптотнческие оценки иь — Х вывели Бревне и Льеб [51]; см. также [139]. Результаты задачи 2 из з 17 взяты из [51]; здесь решение р не имеет компактного носителя. Соответствуюшая модель изучалась в [29].
ГЛАВА 5 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ В НЕВАРИАЦИОННОЙ ФОРМЕ В зтой главе мы изучаем некоторые задачи со свободной границей, которые не допускают формулировки в виде вариационных принципов. В д 1 — 5 мы будем иметь дело с газом в пористой среде. Уравнение для функции плотности и счедующее: ди т дг а свободная граница — д ( и > 0). Показывается, что существует единственное решение и и что и и свободная граница непрерывны по Гельдеру. В й 6 — 9 мы вернемся к задаче фильтрации, но здесь перегородка имеет общий вид.
Устанавливаются результаты по существованию, единственности и регулярности. Наконец, в 4 10 мы изучим двухфазную задачу Стефана. й 1. Уравнение пористой среды: существование и единственность Для газа в пористой среде согласно закону Дарси ч = — 1гч р (й — полоаопельная константа), где ч — скорость газа, а р — давление. Закон сохранения массы дает др ч .рч+ — =О, дг где р — плотность. При обычном изотермическом уравнении состоянии р = ср " '(с > О, у>0) имеем ди — =Ли (гн>1), дг (1.1) где т = 1 + Т н и — нормализованная плотность. Функции и ' представляет давление (с точностью до постоянного множителя) .
Зададим начальное условие и(х, 0) = ие(х) (иа > 0); (1.2) будем решать начальную задачу (1.1), (1.2) в полосе Дг = Ян Х (О, Т) нли Д = 11" Х (О, ). Начнем с предварительных рассмотрений. О и р е д е л е н и е 1.1. Пусть Х вЂ” вещественное банахово пространство и А— оператор из множества Ю(А) СХв Х; А называется аккрегивным (или монотонным, 442 когда Х тип ьбе ртов о), если !~х, — хз)! < )!х, — хз + Х(А(х,) — А(хз))!! (1.3) дпя любых х,, хз из Р(А) и Л > О. Если, кроме тою, гап8(1+ ЛА) = Х ЧЛ >О, (! .4) то оператор А называется т-аккретивным (ипи максимальным монотонньич, когда Х гильбертово) .
Отметим, что из (1.3) спедует, что! + ХА взаимно однозначный и (1 + ХА) ' сжимающий. Заметим также, что есин (1.4) выполнено топько дпя одного значения Х = Хо > О, то оно выполнено дпя всех Л > О. Действительна, дпя фиксированного у Е Х, записывая х + ЛАх =у в виде / х=([+ЛоА) '~ — у+~1 — — у[х г— е Т х, (1.5) очевидно, получаем, что х ь Т х — сжимающее отображение с коэффициентом Липшица ! 1 — Хо /Л ! < 1, если Л > Ло/2. Таким образом, дпя любого у Е Х мы можем решить (1.5) дпя х прн условии, что Л > Ло!2, и, шаг за шагом, дпя всех Л > 0 получаем (1.4).
Можно легко показать, что если 5 сжимающий с областью 22(о) = Х, то Т+ Я т-аккретивный, Рассмотрим начальную задачу с!и — + А(и(т))=~(г) (О < г <7), (1.6) дт (1.7) Можно постараться решить зту систему, аппроксимируя ее по конечно-разностной схеме с шагом Х„1 О. Решим рекурсивно И И Х» — Х» — ~ п Х„ +А(х»)=2" (к= 1,2,, ), (1.8) и(0) =хо хо =хо, и где Л~ = 2'(йЛ„). Аппроксимирующая функция и"(г) опредепяется из усповия и и "(г) = х», если ХЛп < г < (к + 1)Л„. Так как А тп-аккретивный, то конечно- и разностный аналог имеет единственное решение.
Пусть го(г) = 2» дпя »Лп < т < < ('с + 1 )Лп Т е о р е м а 1.1. (1) Пусть А таккретивный хо Е 2!(А),У Е Е'(О, Т; Х) и з" — Т в Ь'(О, Т; Х) при Л„- О. Тогда и" сходится равномерно в [О, Т1 к функции и (т ) из С '( [О, Т11; Х). (П) Если, кроме того, Г(г) непрерывна яо Липшицу и хо Е 22(А), то и(г) непрерывна по Липшицу. (П1) Если в предположении (1) задача (1.б), (1.7) имеет сильное решение о(т) (те, о(г) дифференцируема как Хзначная функция, о(г) Е 22(А), выполнено (1 б) ив. и!!о(г) — ио !! — О,если г +0),тои =о.
(гч) Если в предполозгении (1) и дифференцируема в точке г = то > 0 и гав точка Лебега для ! (т.е. и+а — !!1(г) - К(го) 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
