Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Мы можем в действительности получить С'-продолжение Х(Л) лля Х(Л). Действительно, возьмем разбиение Л-интепвюта на гп интервалов равных длин и выберем в каждом из них по одной точке из Х(Л) при условии, что такая точка существует. Соединим две соседние точки Р,, Р, параболической С'-кривой так, что касательные к Р„Р, совпацают с направлениями Тг, Ар соответственно. а Обозначим продолжение Х„,(Л). Ввиду (1 7.24) направление Х„,(Л) имеет модуль непрерывности по Л равномерный относительно ~п.
Следовательно, подлоследователь. ность Хм(Л) равномерно сходится к С'-кривой Х(Л). Поскольку Х(Л) = Х(Л) для плотного множества точек Х(Л) из М„й Вь (Хе), то Х(Л) есть С'-продолжение Х(Л). Таким образом, М„состоит из конечного объединения точек нли С'-кривых Г„~ и С'-модуль непрерьвности зависит от нижней оценки 11 Р„11. Далее, для каждого компакпюго подмножества дй существует конечное число пе такое, что М„= Ф, если и ) пь. Следовательно, ОМнсодержится в конечном числе .С'-кривых Гр Вне этих кривых Рю чь 0 на дй. Так как в Е Сз"", утверлщение (1) теперь следует из теоремы о неявных функциях.
(П) При построении кривой Г„1 можно дейспювать локально следующим образом. Пусть отрезок (скажсмь Г„,) построен; если его концевая точка (скккем, Ун;) принадлежит М„, то принимаем ее за начало новой системы координат, чтобы прогэлжить (если возможно) Г, с Продолжение возможно, если Упл есть предель- 437 ная точка для точек из М„, не лежащих в Г„1, иначе Г„! заканчивается в У„!. Когда мы продолжим Г„! за Кн 1, его новая концевая точка опять берется в М„. Для доказательства (П) можно теперь параметризовать любую кривую Г„! па- раметром г и предположить, что она не будет класса С' в своем (скажем, правом) конце; иначе для этой кривой нечего доказывать. Затем мы должны показать, что точки Х(г) из Г„! сходятся к Х( ) при г - .
Обозначим Г,",; правое предельное множество Г„о т.е. предельное множество Х(г) при г .. Обозначим Р„(т) полих ном Р„в Х = Х(г). Покажем, что без потери общности можно предположить, что 11 Р„(г) !!-+О при (17.25) Действительно, обозна им У„! (1'= 1, 2,... ) последовательность точек 1',„!, использованных при построении Гал при ! — . Обозначим г; параметр 6 соответ- ствующий 1'„!;. Покажем сначала, что можно предположить, что !!Р„(О)!! — О при 7- (17.26) Продолжение Г„! за У„!; имеет место в и!аре В с центром Кю! ., диаметр г, ко- торого зависит от !!Ре(!1)!!.
Ес!!и (17 26) неверно, го г, > с >О для пош!ос!!едоватсль- ности у. Следовательно, лва шара В, В;, (1! (?т ) должны пересечься. Из построения Г„! видим, что если в продолжении Г„, мы используем шары с радиусами не боль- ше чем 6! !2, то продолжение Гап из центра может быль выполнено таким образом, что будет давать С'-кривую, содержащую все точки из М„в В1 ОВП. Таким обра- зом, Г„! будет замкнутой кривой, для которой утверждение (П) тогда очевидно. Во всех других случаях мы должны принять, что (! 7.26) выполняется. х' Имея (17.26) и замечая, что отображение Х' -+ !!Р„!!непрерьюно, получаем утверждение (17.25) . Из (17.25) следует, что если кривая Г„! не класса С' вплоть цо (скажем, правой) концевой точки, то любая точка в Г„; принадлежнтМ„~!; эга невозмож"о чь на, так как М„= Ф, если л > ле. Таким образом, каждая Г„! есть либо точка, либо ! "е кривая класса С' вплоть до концевых точек.
Далее, рассмотрим кривую Г„,;. Поскольку она связна, то Г+,, ! также связна и компактна. Каждая точка из Г„+,; принадлежит М„(в силу (! 7.25)) По— и !юэтому она либо принадлежит локально С'-кривой, точки которой лежат в М„, «ь' либо она — изолированная точка. Теперь предпотюжим, что Г„, ! содержит по меньшей мере две точки. (! 7.27) Тогда, будучи свлзной, Г,", . !; есть локальна С'-кривая и поэтому также глобаль«ь ' но С'-кривая.
По лемме 17.4 а(Рл ) = О вдоль Г,+,, !. Поэтому по лемме 17.3 множество л! "о ОМ„в окрестности каждой точки из Г„! ! цолжно лежать на С -кривой, и эта кри«ф— вая должна быль необхоцимо кривой Г„,;. Поскольку, однако, "Π— ' ~еь — ! ! ~ео — э! л — ! Мл Ф мы не можем иметь точки из Г„, ! в малой окрестности произвольной данной точ"о ки из Г„', ~., прихоцим к противоречию. Таким образом, Г„'„, ! состоит только из одной точки. Далее, покажем, что для каждой кривой Г„з !, если она открьпая С'-кривая я~в с одной стороны (скажем, при т — ), то ее предельное множество Г„' з; должно "о состоять из ецинственной точки.
Действительно, так как Г,', з; — связное компакт- нее множество, каждая нз ее точек есть точка сгущения множества. Предположим, что существует точка Х Е Г„' з ( такая, что Х Е М„, и Г„' з, состоит из более "о "о "О чем одной точки. Тогда в окрестности Р точки Х не может быль каких-либз точек из М„, По лемме174 и(Р„,) =0 вдоль Г„, з ( (н псотому Г,',, з,((з кСМ„, !), что означает согласно лемме 17.3 и построению Г„(, что в некоторой окрестности К' точки Х Г;, з; (з М„,, есть С'-кривая (содержащая Х) и ее точки не принадлежат замыканию (ОМ„)!Г„' з;.
Приходим к противоречию, как и раньше, посколь"о ку точки из Г„з ( фактически сходятся к произвольной точке атой кривой. Рассмотрим случай, когда никакие точки из Г„', з, не принадлежат Ме "Π— ° гч Тогда Г„з ( СМ„и мы можем действовать, как в случае Г„ "! Действуя описанным образом, шаг за шагом завершаем доказательство (В). (Гн) Пусть Х вЂ” концевая точка некоторой кривой Г( в М„.
1(!ы можем пред. х положить, что и(Р„, ) = 0 для последовательности Х = А! Е Г(, Х вЂ” Хе. Ввиду леммы 17.4 тогда и(Р„) = О. Следовательно, согласно замечанию 17.1, если мы возьмем Х =О, то Р„(Х) = а(х, у) в подходящей системе координат (х, у, г) . Поэтому ! з?Р„(Х) ! = Сг" ' (С > О), где г=(х +у')Пт,и по лемме 17.! ! ~7(и(Х) ! >О, если Хлежит в угле раствора В от оси г и [н+Б — (, б н — (! [н — 1 дпя некоторого малого се > О. То же верно относительно любого другого направления, вдоль которого ЧР„=О.
Таким образом, точки из !?М(, которые лежат в малой окрестности Х, должны лежать в пикообразной области с вершиной в Х, как указано в утверждении (гй). Из утверждений (1) и 11!) теоремы 1?.6 вьводим След с тв ив 17:?. Для любого е>О (1 че)-мерват мера Хаусдорфа множества (.( М„равна нулю. Доказательство теоремы 5.1 может быть применено к (и в окрестности произвольнон точки, где тт(г Ф О. Таким образом.
верно С л е д с т в н е 17.8. Час!в оП'! ( ( Г( свободной границы — аналитическая. !=! Задачи 1. Доказать следствие ! 7.7. 2. Рассмотрим решение их зада и Томаса — Ферми (с р = 5/3), соответсгвую(цее некоторому Л > О. Доказать, что ! их(х) — Л ! ~С!х ! ~. [ У к а з а ч и е. Рассмотрим ф!! ) СВ4(Р2 ! [!)-4 В( В) Показать, что — (ьЧ(+ у(ф1ььО в В(хе, (Ч), и вывести, что (й =.-+(их .
Л) в В(х„, Я), еш(н ', х„! > .'В, В > п(ах !а(![ 8 18. Библиографические замечания Изучение осеснмметричных вращений тяжелых жидкостей началось еще в восемнадцатом веке; впервые интерес к этому вопросу возник в астрофизике. Неко. торые статьи Пуанкаре, например, посвящены вопросу о числе колец планет.
Читатель может найти в книге [69] много явных формул (сфероиды Маклорена, эллипсоиды Якоби и др.). Теоремы существования впервые были доказаны в [18] (сжимаемый случай) и в [!7] (несжимаемый случай). Изложение 8 3 базируется на работе Фридмана и Туркингтона [1004]; этими же авторами получены оценки потенциалов из 8 2 [100а]. Результаты 4 4 следуют из [100а,Ь]. П.Л. Лионе [193,а,Ь] обобщил метод из [18], развив общий функциональный подход. Доказательство аналитичности границы дчя колец (теорема 5.1) проведено методом из [124а].
Леммы 5.2 и 5З принадлежат Каффарелли и Фридману [58е]; двумерные аналоги были доказаны ранее Хартманом и Винтером [!13]. Результаты по единственности продолжения для общих эллиптических уравнений второго порядка см. в [15,73], Теоремы 5.4 — 5.6 взяты из [58|]. Вихревые кольца с малыми поперечными сечениями изучались Гельмгольцем (1858); см. [25] и [92]. Первая теорема существования для вихревых колец принадлежит Френкелю н Бергеру [92] Они использовали варнационный принцип для функции тока; вариант этого подхода (при использовании существования критических точек) развит Амброзетти„Манчини [10а,Ь| и Ни [150], а обобщение этой вариационной процедуры, с точки зрения функционального анапиза, дано Берестыцки и П.Л.
Лионсом [194]. Бенджамин [33] испольэовал идею минимизации Е(Т); его класс допустимых функций состоял из всех симметризапий для дан. ной Те Изложенный здесь подход (с классом допустимых функций, определен. ных по (6.33) — (6.36) в теореме 6.2 и по (6.33) — (6.35) в теореме 6.3) принадле. жит Фридману и Туркингтону [100с]. Результаты 4 6 — 8 и 4 10 взяты нз [100с]; данное здесь.
доказательство теоремы 10.10 принадлежит Туркингтону [175а], оригинальное доказательство схематично представлено в задачах 2, 3 из 8 10. В [175Ь] Туркингтон обобщил методы из [100с], Результаты из 4 9 принадлежат Каффарелли [58] и Фридману [58ш]. Френкель [91а,Ь] и Норбури [151а,Ь] построили классы решений вихревых колец, используя методы такие же, как в нелинейных интегральных уравнениях; они нашли решения, разветвляющиеся из вихря Хилла [151а,Ь] и вихревые кольца с малыми поперечными сечениями.
Норбури [151с] отождествил известные явные решения плоских вихревых колец с решениями вариационной задачи из [92], Неизвестно, является ли ядро Хилла решением вари'щионной задачи. Вывод уравнений плазмы можно найти, например, в [170а]. Существование решения задачи о плазме (11.1) — (11.3) впервые было установлено Темамом [!70а-с]; он доказал теорему 11.3 и в [170Ь] — теорему 11.2 дпя л = 2. Теорема 11.2 при и > 3 принадлежит Пузлю [155]. Теорема! 1.1 установлена Берестыцки и Брезисом [35а,Ь|, Дамланьян [76Ь] отметил замечание 1!.1 (см. также [35Ь]). Результаты 4 12 принадлежат Киндерлереру и Шпруку [125] (см. также [124а]). Задачи 3, 4 из 8 12 взяты из [105а], а материал 8 13 — из [58ш]. Задачи ! — 3 из 13 сформулированы Байокки, Каффарелли, Фридманом (не опубликовано).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
