Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Если сохранить 1, а,,..., аь, фиксированными,а аь будет двигаться от ' до аь то (согласно задачам 3 и 4 нз 4 16) должно найтись такое положение аг, при котором границы компонент( р> 0), содержащих аь, и аы пересекаются. Для такого положения аь мы не можем ожидать, что свободная граница будет всюду гладкой. Наш основной результат по регулярности (теорема 17.6) устанавливает регулярность свободной границы всюду, за исключением "тонкого" подмножества.
Мы будем работать с функцией и = их — Х, которая удовлетворяет уравнению Ьи~ = си ч (ц = 1/( р — 1), с > 0) (17.1) для некоторого 1 < ц < 2 (если 3/2 < р < 2). Но в действительности все наши результаты распространяются на случай ненулевых решений и уравнения Ью = 7(и') (! 7(т) ! < с ! т ! ч, 1 < ц < ). (17.2) Начнем с замечания. что для решения и = их — Х уравнения (17.1) (и = 0) не имеет внутренних точек.
(1 7.3) Действительно, если х — внутренняя точка, то по лемме 5.2 вю 0 в б.окрестности хе, где б не зависит от хь. Тогда, ввиду непрерывности, юю 0 в /2э, что невозможно. Таким образом, справедлива Л е м м а 17.1 Если х принадлежит свободной границе дй, то существует однородный гармонический полинам Н„(х) степени и > 1 такой, что и~(х)=Н„(х — х )+ Г„(х), (17.4) где !Гн(х)!~:-С!х — х !"+ь, 1УГн(х)! < С!х — х !н+ь (Сь>0, б>0) (17. 5) длч всех х из некотоРой еь.окРестности хс, Для более глубокого изучения свободной границы введем некоторые понятия для гармонических полиномов.
Будем обозначать Х = (х, у, т) точки в Аг. Пусть ˄— пространство всех нолиномов степени не больше и, Йи — пространство всех гармонических полиномов степени не больше л, а Б„— пространство всех однородных гармонических полиномов степени л. Так как Е„конечномерно, то любые две нормы в нем эквивалентны. Это верно, в частности, для норм А (В,), Ег(В,) и норм ш<(!! <4 Цъ"<в > где В, — единичный шар; отметим, что в последнем выражении "инфнмум" фактически есть "минимум'*. В дальнейшем будем часто опускать символ В, . Хорошо известно, что (Рг Рг)-*<и 1= О, если Р, Е Е„, Рг Е Ею, и ты. Записывая Р в Еи как сумму Р = Х Р«, Р«ЕБ« «=е находим, что и Ц Ц~.
= ЦР«!!', > шах ЦР„Ц',. «=е От«донат«льне, неравенство <<РЦ Стах!<Р«Ц (С>0) (17.6) Р„(Х) = Б <7«(Х-Хе), Д«(Х) — однородный полипом.степени и. Тогда ~1 < «(Х)йь ! Х'1= г о к «к и-г (! 7.7) Отметим, что ЦР„Ц < 1=2 "ЦР„Ц 1>2 "ЦР„(Х+Х )Ц < = 2-"Ц Х <7,(Х)Ц,-„Т «=е ! Используя (17.6), находим, что а(Р„)~СЦР„~<,-<в у (! 7.8) 433 28. А. Фридман имеет место для любой другой нормы в Йи, Теперь введем неотрицательную константу а = о(Р„) для Р„Е Ен„характеризующую степень, на которую Р„отличается от полинома двух переменных. О п р е д е л е н и е 17.1. Пусть раэложениеРи Е Еи в ряд Тейлора в окрест.
ности точки Хе имеет вид Л е м м а 17.2. Пусть Р„Е 2:„. Тогда существуют полиномы А, В в 2:н такие, что Рл=А +В, (17.9) (17.1 О) (17Л 1) о(А) = О, ~!В ~! < С„а(Рн), где ф— константа, зависящая только от и, Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что и достигается в Х = (О, О, 1). и запишем !'н(Х) = Х а«(х,у)т = Х а«(х,у)((т — !)+1)" = «=о «=о Л Л / !ты о а«(х, у) (г — 1) + 2' 2 а«(х, у) ~ З((з — !)» == «=е «=» »<« е — ! :--= 0„(х, у, т — 1) + 2' Д,(х, у, т — 1), где / !г'т Д» = 2 ~ (а«(х у) (т — 1) н — «+.»=с з (17.12) Здесь ૠ— однородный полипом степени п — !г и ф» — однородный полипом степе.
ни ! (в (х, у, т — 1),) По определению а ~!Д,)1, <а при ! . и (17.! 3) (где В -норма берется для Д»(х, у, т), (х, у, т) в В, ). Если ! = О, то п — к -- з = О в (17,12) влечет 7» =и + з < и, так что з = О, !» = ть Таким образом, а„(х, у) = ь!е(х, у, а -- 1) .
Следовательно, !!а„!! = !!0е П - < ш (17.14) Лействуя шаг за шагом, получим !!а«!! <Си для 1 <А~и (!7.! 6) Из определения И !!а следует, что сунюствует о ~ А„такое, по о = о(х, у) и !! о !! = >! 2аз !1„< Са. Теперь возьмем А = ае — о, В = Є— А. Очевидно, что А Е 7.'„, 1~ В з <Со. Наконец, о(А) = О, где а(А) достигается в Хь = (О, О, 1). З а м е ч а н и е 17.1. Из доказательства, проведенного выше, получаем: если х(Р„) = О, то Р„=Р„!х, у) в подходяшей системе координат. Теперь мы предгюложим, что начало координат О есть точка свободной границы, и изучим поведение и вблизи О.
По лемме ! 7.1 и(Х) =- Р„(Х)+ Э(~ Х!""е) (б >О), (17.! 6) где Р„Е г.„, и ~ 1, лы можем предположить, ч-о б ' !. Аналогично для ! = ! равенство п — !г + з = ! дает г = 1 ялн з = О. Член. соответствуюший з = 1, есть а„, он оценивается в (! 7.14). Следовательно, член, соответствуюший г = О, также можно оценить. Получим ~! а„, !! -:- Са. В следуюшей лемме е„— положительное число такое, что С„е„< 1/2, где С„ определено в лемме 17.2.
Ле м ма 17.3. Предположим, что о(Р„) < е„й Р„Ц (17.17) Тогда после подходящего вращения координат верно следующее: если ч ьо(Х') = О для неко торо а' точки Х ' = (х, у, т) Ф О, ! Х' 1< 1, то (х' +ут)1ч 'Лз < »Сп+ ~ Х' 15) ~ Х' 1ч 1С.г О, о = о(Р„)) . (17.18) До к аз а тел ь ство. Вподходяшей системекоординат А(х,у)=С р" спаяй, р=(х' ьу')'1~, где Со — вещественное число. В силу (17.11), (17.17) 1 ~1А Ць" = ~ Со! > (1 — С„еч)11ро Ць ~~ Цро Цс-, Со ФО.
Так как Ц '7В Ц - < С, Ц В Ц - (С, = сопа1), ~ 9Рч(Х )/ ) Сор — Сзй В Ц г то где г = 1Х Ц Записывая Р„(Х)=ВО (Х вЂ” Х ), Ро(Х)-2.0»(Х - Х ) и сравнивая с разложением Тейлора, находим, что козффициенты ()» равны коэффициентам Д», умноженным на г" . Слецовательно, 110» !1с 1л»1х'11 соЦ0» Цг (г»1» и» (Л-'ь1) 435 где С; — положительные константы, зависяшие от и (Ст зависит также от Со) и г =1Х' ~.
Таким образом, по лемме 17.1 (см. (17.5)) ~ чю(Х')~ ~ Сор" ' — (Ст~1ВЦг" '+0(г" '+ )). Поскольку '7ьо(Х' ) = О, немедленно получаем (17.18) . Как обычно, обозначим В» (Х) шар с центром в Х и радиусом Л. Л е м м а 17.4. Предположим„что о = и(Р„) ) О. Тогда существует окрестность В о1ь (О) (с ) О), для ко~арой верно следующее: если и (Х ) =.
О, где Х Е В о/6(0), то (Х) =Р (Х вЂ” Х)+0ПХ- Х ! + ) (17 19) для некоторого й < и, где Ре ч: л». Доказаз ел ьство. Пусть Х Х Х = —, Х= —, г г где С>0, со >О. Выбирая к так, что !1В !1ь" > п(Р»), н используя (17.6), получаем |~ Р» !! (х» 11 > сонг г» ~» соотг (17.20) Предположим, что утверждение леммь| неверно. Тогда и(Х)=Р„(Х вЂ” Х )+0(!Х вЂ” Х !»+4), следовательно, 11ьо!!ь-(в „(х 11 < Согл". (17.21) Теперь по лемме 16.1 1!ь"(в (х'11 < С!!ю(1ь"(в - (х'11+Се с»л( сйл Подставляя оценкн нз (17.20), (17.21) в (17.22), получаем (! 7.22) .л(» — О <( л» + С„»+6 Выбирая Л = (п + 8)/п„нмеем о <2Сг /», те. г ) С,о»/ь для некоторого С, ) О. Это протнворечнт предположенню, что Х б В щь(0) прн условии с < С,.
Пусть М„» ( Х", ю (Хо ) = О, тги (Хо ) = О, иг (Х) = Р» (Х вЂ” Х ) + О( ! Х вЂ” Х !»~ ) ), (17.23) л' о где Р» = Р» — однородный гармонический полинам степенн п (завнапцнй от Х ) . Л е м м а 17.5. хигя любой точки Х Е М» существует окрестность Вь (Х ) и отрезок щрямой А, содержащий Хо, такой, что М» О Вь (Хо) содерзгится в пико- образной области (Х; С1Х вЂ” Хо!'" >д'(Х, А)], где г. = б/п(п — 1), С ) О и б(Х, Ь ) — расстояние от Х до А . х» Доказательство. Пусть о,, обозначает о(Р» ). Если 1Х вЂ” Х'1< ( „.)"/', Хжх', то по лемме! 7.4 Х ЕМ».
Остается рассмотреть случай, когда ! Х вЂ” Х" 1~ с(ох» )»/ь. Примерим лемму 17.3, заменив начало коордннат на Х н оГюзначнв Ь ось, соответствующую осн г. Тогда (17.18) дает для Х =М» О Вь (Хо) с((Х, 2,)» <С! Х вЂ” Х !» 1Х вЂ” Х 1ьт», т.е. Хо~1+о Теперь мы можем установнть главный результат этого параграфа. Т е о р е м а 17.6.
Пусть 3/2 < р < 2. (1) Существует конечное число незамкнутых кривыа Г,,..., Г( в Я класса С' таких, что дй = (.( Г( есть многообразие класса С +о, где о = 1/(р — 1) — 1. (=1 (П) Полозсительное (отрииатезьное) предельное множество для каждой Г( есть единственная точка Х/ (Х; ).
(гй) Существует направление 1ь в Х1 такое, что для Х Е Гг, Х близко к Х,', угол д между Ххт' и 1~ удовлетворяет условию д < С! Х~' — Х 1а для некоторых С ) О, б > О, т е. Х лежит в пикообразной области с осью 1 Д о к а з а т е л ь с т в о. (1) Константы бе, Сиз леммы 17.5 зависят только от нижней оценки йрп ~1 Для любой Х ЕМп обозначнмР„полипом Р„, соответствую- щий Ав Х'.
Из леммы 17.1 легко находим, по йР„' ~~~С~1Р„й, если Х' лежит в малой окрестности Хе. Следовательно, утверждение леммы 17.5 справедливо для любой Х' Е М„11 Ва,(Х~) с бю бе, Сдэстаточно малыми и не за- висящими от Х'. Таким образом, дчя любой Х ЕМн йВь (Х ) (Х ЕМ„) существует отрезок прямой А„,, содержащий Х', такой, что Мп с1 Вь (Х') лежит в пикообразной области (Х; С~ Х вЂ” Х'1'+') >д(Х,Тх,).
Из этого легко видеть, что если д — угол между Ах„Ах,, то В ~о(1Х' — Х 1), (17.24) где о(г)- 0 при г- О. Теперь возьмем для простотыХ = (0,0,0),2,, =осьг. Тогда плоскостьг =Г (1 Г ! мало) может пересечь М„в окрестности Хе самое большее в одной точке; иначе будет противоречие с (17.24) . Следовательно, точки из Мп О Вь,(Х ) (Бт достаточно мало) принадлежат графику Х = Х(Л), где Л вЂ” параметр для Т, „,. (Можно взять, например, Л = к) Если продолжить график линейно, то в силу (17.24) полученный график, определенный на некотором Л-интервале, будет непрерывным по Липшицу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
