Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 74
Текст из файла (страница 74)
(13.23) Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу следствия 13.6можно применить теорему9.1 и, используя (13.22), вывести, что с с 1 1— я 3 ( рх) 1и (1П) / 1п (1П) 1п Л'1~ откуда легко следует (13.23) . 403 26" так что гч (х) > и (т 'х) = йь(х), если х Е т(йр) . Поскольку обе функции и (х) и йа(х) гармонические в йЛт(йр) и обрашаются в нуль на Г, по принципу максимума ~(х) > йь(х) в й т(йр) Следовательно, а ай, — « — на Г. эр ар Теперь рассмотрим решения с измененным масштабом. Фиксируем сочку ух В й н 1толожнм ил(х) йр,л =,!г , .хЕйр й.,л = !/2 ° хЕйе: йл = — ~з; хай, Гл = дйл: Грл = дйрл. Тогда йл<О в Й,л, йл>Овйкл, р,л тлйл + йл = 0 в йр л, сЛйл = О в й,л йл = и(Г) на Гл.
(13.24) (13.25) (13.26) (13.27) Отметим, что (! 3.29) д — „— 1 — — в -=13 — Ут + 73 — !4. 2я -- др гл (13 1!) В лйз С йл С В ~!з (с)0, С ) 0). (13.28) ол В дальнейшем обозначим С С положнтельные константы, не зависящие от Л. По лемме (13.7) йр,л С Во' Л е м м а 13.8. Имеет место неравенство йл(х) < С !и (г+ 2), (13.30) если х Е Й„,л, г !х! ° Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала оценим йл(х) при 1х! = С'+ 2.
Пусть и(Г) — йл(Г) и(Г) Тогда ьр=!на Гр л ив = О на Гл. Поформуле Грина для !х! =С" + 2 1 1 дв ! д 1 ! 1 Эьт Мх) = — ! !и — — — — )' — !и — + — - )' !и — — —— 2я — г Эр 2л - др г 2я - г др гр л гр,л гл Очевидно, 14 = О и.(т = О. Дпя оценки 1, отметим, что 1 — 1 — Сар йр,,= — Сард Й, = —— 2Я аь Р' 2Я 1п Л+ О (1) !'13.32) (всилу (13.22)).
Так как, кроме того, согласно (! 3.28) 1пг = — !и Х + 0 !1) на 1',. 2 то 1/1 Х дв ~ дю 23 = — — 1п Х! ( -- + О(!) ( 2я Х2 ", др т ~ ди га г, !и Х 0(!) + 0(1!0~ — ) = 1 +— 1пХ + О!1) ~~ Л~) !пЛ ди (так как — < О) д. Наконец, поскольку 11п г ! <Сна (,", ь, то ~ дгр 1 дтр О(!) ~, =0(!) ) ~ — ~ = 0(!1 ( ! др др (пХ гр л г ь'а с дм гаккаи — > О) др в силу (13.32). Собирая вместе оценки ил я 1;, нз (13.31) полу нем и(х) = 1+0~ — / 1п Х если1х1 .= С '+ 2. Так как и (х) = 1 — йь/и(Р), в силу (1ЗЗ) чслучаем й,(х) < С, 1х! — С' + 2. (13.33) По принципу максимума такое яге неравенство верно лля х Е ь1„ь, !х ! < С'+ 2. 405 1 ди —.( — =- 2я -.
др гь 1 Ът — У 2я — др р,Л Дока зател ьство.Танкан (и =ЦХ, 1 !ил!=т цр,л и (13.25), (13.26) дают !Ьйл ! ч' 7 дляпроизвольного А> О. ( ° !< ) Кроме того, по лемме 13.8 для любого большого А > 0 шах ! йл ! < С (С зависит от А). ~х !=А Представляя йл в ! х ! ( А через функцию Грина, получаем )' ! йл !Р < С д я любого р < (!х! < А) В силу (13.25), (1 3.26) Х ! Лил!Р ~С, 1!х! < А) (13.35) и (13.34) следует после применения неравенства Соболева.
Сл е д с т в не 13.10. Существуют положительные константы С, с такие, что для всех Л > Л, х((йр л) > с/Л (13.36) й,,! > С7Л. Действительно, в силу леммы 13.9 (ил) <Си поэтому (13.37) — — 1 (ил)- < ! йр,л ! ° Л откуда следует (13.37); (13.36) вытекает из (13.37).
Из леммы 1 3.9, формулы (13.35) н эллиптических оценок получаем !ил ! з+а < Сл для каждого шара Вл с "(вн1 (13.38) при условии, что Л> Ле (л); Сл и Ле (т) зависят от Я, Следовательно, из любой последовательности Л -х можно выделить последовательность Л, такую, что Фил; -ь 17Ви в компактных подмножествахЯз, 0 < ! !5 ! я* '2, ЬУ вЂ” У =О. (1 3.39) (13.40) наконец, сравнивая йл с се!п(т + 2) в йл г1 (! х ! > с'+ 2), выводим утверждение леммы. Л е м м а 13.9. Имеет место оценка !йл(х) ! < С, если хЕ й, л. (13.34) Кроме того, по лемме 13.8 У(х) <С1л(~х ! + 2) и по лемме 13.7 (13.41) й ю (хЕВ~; У(х) <0) С В, ° (С' > 0).
Так как (13.42) (П Их =7, я* (13.43) опсрытое множество Й непусто. Нам потребуется следующая Т е о р е м а 13.11.Пусть и — решениеуравнения д и +,г"(и) = О, гдето непрерывна по Липншцу„Предположим, что 1 Ах / 1'т и(х) = — а1пг' + Ь ь — + 0~ — ), 2 гз ~,) и(х) з ~ 2 + 0 3 при г -+», где а — положительная константа. Тогда и — радиальная функция, т.е. существует функция х (г), г > О, и точка хе такие, что и(х) = е(!х — хе О, (ху) / 1~ ч и (х,у) = — + 01ь — ), г (13.44) Рассмотрим прямоугольники Яь =((х,у)Ах — Х! <М, '!у! <М), В,' = В г1 ( х > Х), где М вЂ” любое достаточно большое положительное число и К/М < Х < 2М, (1 3.45) К вЂ” фиксированное достаточно большое положительное число, которое будет уточнено позже; оно не зависит отМ.
Будем изучать функцию их(х,у) = и(х,у) — и( — х + 2Х,у) в Вь. (13.46) Сначала докажем вь(х, аМ) > О, если Х < х < М + Х. (13.47) Доказательство.Заменойпеременныхх-+х — х ивыборомх подходящим образом мы получим такое разложение и в окрестности бесконечности, в котором член Ах отсутствует. Без потери общности можем предположить, что а = 1. Взяв дяя простоты х =0 и обозначив независимые переменные через (х, у), имеем Используя (1 3.44), имеем ол(х,*М) = Х и„6, *М)1[.
= -х+ зл 1 ~ )г — х+зл + О 1п1+ — — 1п1+ + О Так как (х — 2Л)з хз Мт Мз ~ — < 10 Используя (13.45), получаем Л(х-Л) ел(х, +М) > 7Мз (13.4В) для подходящего большого К; таким образом, (13.47) установлено. Покажем теперь, что ил(М + Л,у) > О, если ~у! <М (13.49) Достаточно рассмотреть случай у > О. Можем записать пл(М + Л,у) = г + ~, (1 3.50) где 1 = [и(М + Л,у) — и (М+ Л,М)) — [и(-М + Л,у) — и (-М + Л,М)[, х' = и (М + Л,М) — и ( — М + Л,М) = ил(М + Л,М).
В силу (13.48) з > Л/7М Для оценки 7 запишем (13.51) 7 = — Х [ич(м + л, и) - ил( — м + л, и)[ 70 У и функция 1п(1 + г) — г711 монотонно возрастает по г, 0 ( г ( 10, то получаем оцен- ку снизу и, используя (13.44), выводим т+(М + Л)з т + (М Л)т Мт Мт 1юскольку подынтегральное выражение отрицательно (напомним, что у > 0). Комбинируя последнее неравенство с (1351), (13.50) и используя (13.45), получаем утверждение (1 3.49) . Из доказательства (13.47) очевидно также, что ил(х,+М) > О, если Л < х < М + Л, М вЂ” 1 < М' < М.
(13.52) Функция и удовлетворяет уравнению ллил + /'(и(х,у)) — /(и( — х + 2Л,у)) = О в Ял, так что ллсл + сил = О в Я„, с-- ограниченная функция. Из (13.44) следует, что если М достаточно большое, то ил > 0 в а"л при Л = 2М. Мы уже доказали в (13.47), (13.49), что пл > 0 на ЭЯ Л(х = Л) . На х = Л имеем ил = О.
Таким образом, можно применить строгий принцип максимума (см. задачу 2 из з 12) и вывести, что ил>0 в ол, ил„(Л,у) > О, если !у! < М; следовательно, и„(Ле,у), если ! у ! < М, Л„=К/М. Полагая М -+, получаем, что и„(О,у) Р- '0 дпя всеху. Так как ось х можно взять по любому направлению, то полагаем ие = О, где (г, 0)— полярные координаты с началом в хе, н доказательство теоремы 13.11 завершено. Функция Уудовлетворяет уршнению аЛ (7 + Т'((/) = О [у(т) = -г 1 и„(Л,у) > О, если )у ( < М, Ввиду,(13.52) отсюда следует такм е, по если Л' < Л, Л вЂ” Л' достаточно мюю, го и > О в Я', Теперь (см. задачу 3 из з 12) будем уменьшать Л непрерывно до тех пор, пока не достигнем наименьшего возможного значения Л, скажем Ле, такого, что либо (1) Ле = = К/М, ил, > 0 в Я„,либо (1!) Ле > К/М, ил, Э 0 в Я л с равенством в некоторой точке из Ял .
Приведенные выше рассуждения относительно пл показывают, что (11) ь' не может иметь места. Таким образом, выполняется (1) и, в частности, и гармоническая вне круга (в силу (13.42)). Она удовлетворяет также (13.4Ц. Соотношение (13.27) с и(Г) ср1пХ(се > О) можно использовать длясравненияиь снизу с функцией вида с !и г (с положительно и достаточно мело). Выводим, что У(х) -+, если !х! Следовательно, все условия теоремы 13.11 выполнены. Поэтому У(х) = Уе(!х — х !). (1 353) Пусть р = ! х — х е ! .
Множество, в котором У(х) гармоническая, должно быть внешностью круга; иначе существует кольцо 111 < р < Юз, в котором Уположительная гармоническая н обрашается в нуль на р В1, р = Яз; это, однако, невозможно. Таким образом, мы показали, что й — круг (1х — хе! < В) (1 354) и У(х) = Уе(р) = А!п(р7В), если р> В, А > О. (13.55) (13.58) следовательно, 1 2 сЛ'1~ < !агади(х)!< — Хц~ вдоль Гр. (1 3.59) с Второе утверждение следует из первого ввшгу определения й1.
Отметим, что В в (1354) определено свойством первое собственное значение -Ь в (1 3.60) круге (!х ! < К) равно 1. В свту (13З9), теоремы 13.11, леммы 13.12 н теоремы о неявных функциях справедлива Т е о р е м а 13.13. Я1я каждого достаточно большого Х сушгс гвует гочка хх Е Е 1! такая, что свободная граница Гр х предсшвима (в полярных координатах (г, В) с началом в хь) в виде г ~ Вх (В) и а ! — [В,(в)- ) ~ О, е ~ав' (13.б1) если Л-+ (1 = О, 1, 2).
Крометого, д111(хХ,З) -+ О, если Л-+ 410 Следовательно, в частности, ау — ФОна ай аа (135б) (н — нормаль к ай ) и из (1 3.39) мы тогда выводим, что !8гад и1,11 > с > О вдоль Гр,ь! (1357) Таким образом, каждая последовательность Л -+ имеет подпоследовательность Лг, для которой верно (1357) . Зто приводит к следующей лемме. Л е м м а 13.12. СУществует положительная константа с < 1 такая, что для всех Х>Л, 1 с С ! 8гад йь ! < — вдоль Гр х, с Таким образом, Гр асимптотически приближается к кругу с радиусом Я/Х'1~. Последнее утверждение следует из теоремы 13.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
