Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 71
Текст из файла (страница 71)
(10.19) До к а за тел ь ство. Рассмотримсемейство прямых!„,Яо <г <Я„каждая из них об)жзует угол 2я/3 с осью г, пересекает ось г в з =г. Согласно (10.17) 1, пересекает К в точке (г, 0). Обозначим (г*, г ) первую точку пересечения 1„с Р; таким образом, отрезок Р, соединяющий (О, г) с (г; г*), лежит вне Ф' н здесь использована лемма 10.2. Так как, ввиду (10.13), (10.3) 7>со(л Л (со > 0), (10.16) если Л достаточно большое и со не зависит от Л, и Яго <2, то со!и Л а'* сЯ о [1 + 1п(! + 2~/г Л)), что дает (10.15) .
Будем обозначать различные положительные константы, не зависящие от Л, че. рез С. Предположим в дальнейшем, что для всех достаточно больших Л Кь связно. В 1331 предполагается. что (10.17) верно для всех Л > О. Л е м м а 10 8. Если Л достаточно бал ьиюе, то д(1'л) < С/1п Л. (10,18) (г*,г')Ед/г. Тогда д 4 (О, г) — ь/«(т*, г') = Х вЂ” Ф 1!! д!„ я 1 ьт(О*г) = 0 ь«ь(гь, г') =7+ — Ь'(г ) >7.
2 Интегрируя по г, получаем Эб 7(Е -Ео)< Х ( — ааг < ль д!„ < с(/сь — /со) /2(0101 12 ыг) 1/2 < < С(/1ь — /1о)1/2(п — 1~б 12«/ «/г) '/2 т так как /11 <С. Последнии интеграл не превосходит СЕ'/2, поэтому 7(Я1 !т )1/2 <СЕ1 /2 Ввиду (10.13) и леммы 10.1 получаем неравенство (10.19). Для завершения доказательства (10.18) остается показать, что С Ж < —, где Е = зпр (-; (т, г) Е И ) .
1п Л (10.20) Это следует из тех же рассуждений, что и выше. Рассмотрим сначала г — Ф (О, г) + $ [т, г) = — /" — («(г, г) «/г (О < г < 2'), о дт где отрезок ( (г, г); 0 < г < г ) лежит вне Г и ( г, Т) Е Э )г. Левая часть равна ве- личине 1 Ф(г,г)= — Ют +7>7. 2 Интегрируя по г и действуя, как и раньше, приходим к утверхспеиию (10.20) .
Из (10.6) н (10.19) вытекает С л е д с т в и е 109. Если Л достаточно большое, то С С ~ Е, — хГг1< —, ~ Я, — х/21< —. 1п Л 1пЛ (10.21) Используем этот результат для улучинния леммы 10.8, Те о ре ма 10.10.Яля есехдостаточно больших Л с С вЂ” <ьт(ьгл) <— Л' /2 Л1 /2 (10.22) ЭВ5 25. А, Фриомон (О<с<С<-).
Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что (г,. «) «: /г«. Тогда и (г, г) > 0 и, таким образом, В/т~ + 7 < ь/ь(х) = Д С(г, г, г', г') Ьт', г') т т/т 112'. 2 н Пусть Х = (г, г), Х' = (г, г'). Ванну (7бб) г 1 С(г,г,г',г')= — ' 1и, +О(1) 2л ! Х'-Х! Заннсааааи г" = (г' — г) + г и замечая, в салу следствия 10.9, что Д Д~А, г')йгйг'= — ! 1+ 0~ — / (10.2З) 2,Дл !, ~Ы)~/ а также используя теорему 105, лемму 1ОЛ и соотноавим гз = 2+ 0(1ПвХ) „находим, что 1Л 1 <- Д'1л, ((г',г')йт'йг'+0(1), 4/2лз л и !Х Х! Вмбнрвяи =3, агз н используя (1 О 23) ариволдмзто неравенство к виду Я $а 1(г', г') Ф"йг" ~ — С.
(1024) и,!Х' — Х! Для фиксцрвванавто болезнью А расаазтрим задачу максимизации функционала — 11 1, И»', г') й 'й' (зк'-хгкАА) !Х' — Х! на всех функциях Т закпи„чвз ~/Х вЂ” характерпсгичмзсая функции, уловлетворяа> щая (1 0.23) . Максимум„о жвидно, двгаигаетси, лри 1 Агв (х), где лР Л 1+0 Подсчитаем, что Р'~2яЛ )' ~ Ь вЂ” у! й = 2 Лез ) ~ Ь вЂ” ) г <С о ь, ю о г Следовательно, (1024) ~ривалнт к неравенству ф' 1л, Иг'.й')ар"Ж"Э -С (!Х'- 1>Ае) !Х вЂ” Х! С 1 Я Цг', г')г'йг'йг < — < (10.25) (ЬХ'- Х! > Ае) 1лА 4и если А достаточно большое.
Предположим теперь, что Х вЂ” другая точка в Кь. Тогда также имеем И Иг', г')г'йг'йг <— (|Х' — Х ! > Ае) 4л Если !Х вЂ” Х! > Ае,, то комбинируя аоследнее неравенство с (1Й.25), получаем Д' Р(~.', х'')гчггт1г' <— и 2л пришли к противоречию.
Это доказывает, что гЕ()ть) <Ае < СХ Пг. Ивццу (10.14) выводим, что также г(((ть) > сХ Положим е = 1(ч/Л. Введем фуикции и,(т, г)=и(/2+ет, ег), (т(т г)-"е (ь(1/2+ет, ег) (10.26) (10.27) и множество 1'ь = ((ч/2 + ы, ег); (т, г) ~ т'ь). (10.28) По теореме 10.10 ( р < еа ) С (тг С ( р < 1/еа) (10.2т) для иекоторото еа ) О, где (р, гт) — гюия1ииве коордивйты с иачижвм в (;т2, О)..
Отметим, что 2 ~12 гт,( Та (т, г)й' г7г = 1 + О(е), (10.30) Ю,(т. г) -Г'т(т, -г), /т(,(т, г)агт Аг = О(е). (10.31) Пусть Ра =((т„г); тг + ге < 1/(2~/2 ггг)). Обозначим (7(Я)[Я =(тг +г~)'г~ [ Ст'т-решеиие задачи Д(7= — 2(о, в Яг 17=0 иа дРа, Я У = — А 1п —, если Я?Яа =(2~Як ) Яа Отметим, что А >О оирядеияется единственным образомесли и.ЕС' в Я =Яа. Т е о р е м а 10.11. П)нг Х -ь Р'и,(т, г)- Р'У для г = 0,1 (10,32) (10.33) равномерно и компактных подмножествах Яг; "хит (ит)т = — (~Г2+ ет) 7(а > су ~Г2+ ет и,=О иа дКх, и, > 0 в Гь, и, < О вие Ур', (10.35) (10.36) 25' 367 кроме того, при всат боаьыик Л аринина д (ть может быть представлена в виде р= па(р), где — [(7гг(р) — — г 0 равномерно по р (1=6, 1).
(10.34) а'Р к~~2 т при Л-~ До к азател ь.ство. Функция и, удовлетворяет условиятя Покажем, что если та + гз ( Л/Се (с подходашей константой Сь > О), то ! ич(т, г)! < С(тз +г') ! + — (тз +г') ! +С. ,, з С1пЛ (10.37) Для доказательства запишем и,(т, г) = ив(т,г) — пч(К г ) дпя некоторой точки (т, Х) Е д Кх.
Имеем и,(т, г) = (ф (~/2 + ет, ег) — Р (~/2 + е т, ег )1 + 1 .. 1 + ~ — М(Ч2+ет! — — И'(~/2+ет) ы 1, +7г. ~ 2 2 Из задачи 1 имеем |1!Ф !<СЛь1~ =С/е, (! 0.38) где аргумент и меняется в интервале от (чГ2 + ет, ег ) до (~/" + ет, ег). Следовательно, !7 ! < С(та+аз)'1з+С. Далее, С1п Л ! Уг ! ~ С(1п Л) ет+ С =, т + С", у!з таким образом, получаем (10.37) . Из (10.35), (10.37) вьпекает, ввиду стандартных эллиптических оценок, что для подпоследовательности е! ь 0 и -~Е равномерно в компактных множествах вместе со саоьмн теремин ч! пронзводнымн. Заключаем, что ЬЕ.+27(г ) =0 в В' (! 0.39) и в силу (10.37) ! Е(т, г) ! < С(т' + г')'1з + С, (10.40) 1 АХ г'! Л и(Х) = — а 1п Я~ е Ь вЂ” + О ~ — ) вблизи, где Х=(т, г), В = ! Х!.Кроме того, таи — 2У „) = 0 в Яз.
Мы теперь можем применить несколько измененный вариант теоремы 13.11 (теорема 13.11 не зависит от вышеизложенного). Фактически, используя то жс обозначение, мы Должны показать, что если ол (х, У) > 0 в Ьх, то пх(х У) > 0 в 5л. Ле м ма 10.12. Функция Е радиально симметрична. До к а з а т е л ь с т в о. Так какЕ гармоническая отрицательнаяв окрестности (в силу (10.29)) н имеет не более, чем линейный рост (в силу (10.40)), то линейный член в асимптотнческом разложении в окрестности должен обращаться в нуль. Таким образом,функция и = — Е имеетразложение Но так как ах -О,та (и(х, у) < 0) (о(-г г 2 х, у) > о) в Ял так, что ох) 0 в Ю~х по строгому принципу максимума.
Заключаем, что и (и, следовательно, Е) радиально симметрична относительно (го, г ). В силу (10.31) отсюда следует, что (го, зо) = (О, 0). Из леммы 10.12 получаем, что Š— решение (10.32) для некопэрого круга Ро с радиусом Ео > О. Ввиду (10.30) выводим, что Е~ = 1/(2 хГ2я~). Это завершает доказательство (10.33) . Так как дП(г, а) ФО наЯ=Яо, дЯ то с< !Рио(г,а)! <С на дух.
Кроме того, дрх может быть представлено локально в виде р = Йх((о), где Ьх(р) 'Яо, йр,(р)- О равномерно по р при Л-+ С л е д с т в и е 10.13. При Л -г 1 Е(Л) = !и Л+О(1). (10.41) 8 чГ2ят Действительно, так как граница )гх сходится (после изменения масштаба) к окружности в С'-норме, можно применить вычисления из леммы 10.! и вывести, что 1 ЕВх) = 1иЛ+0(1).
8,/Х ' 3 а м е ч а н и е 10.1. Результаты по асимптотике, изложенные в этом параграфе, обобшаются лля решений теоремы 6.3. Задачи 1. Доказать (10.38). [У к а з а н и е. Следуйте доказательству задачи 4 из й 4.] 2. Пусть Р=((и з); (г — с,Г2)т +а' <1). Показать, что если (10.18) имеет места, то !~„!г 1 Е+0(1) !и( (( Й'Ж <— и',г х (7 + !4') где инфимум берется по функциям о (2 П'(РЛ Рх) таким, что и = 1 на д Кю о = 0 на дР. [Ук аз ание. Имеем ! ф = — йlг' = у+И'+8(г) на дрю 2 где [8(г) ! <С, !я'(г) ! <С1иЛ. Построим й(г, г) так, что й(г, г) =я(г)й(г) в Ро =(Яо <г <Ею ! г ! < Со/!и Л) (Ео = Яо — Со /!и Л, Е, = Я, + Со /!и Л) и Ф =у+)е'+к на д)гл, Ф=к на дВ, 1 — 1Зуй! Игах <С. о(кл г Согласно принцнйу Дирихле 3 2 в( )' — 1Ч~ 1з < )' — 117ф!' <— оЛгл г оЛгл г где юЕН'(0ЛФл), н ~ ф на д(ВЛМл); возьмем и (в — )г))(у+)ь)] 3.
Используя лемму 9.3 и задачу 2, показать, что если (10.18) имеет место, то б(~;) <С/Л'~'. [Зто альтернативное доказательство теоремы 10.10.) 4. Используйте оценку 4(Рл) > с/Лг) (с > 0) и зацачу 2, лемму 9.3 чтобы показать„что 1 Е< 1пЛ+С 8с/2 нз $ 11. Заююа о плазме. Существование решений Задача об управляемом термоядерном синтезе, более точно, об удержании плазмы магнитным полем приводит к задаче со свободной границей. Точная модель, подтвержденная экспериментально в установке токамак, включает непокальные нелинейные операторы, Упрощенная модель сводится к системе относительно неиз. вестной функции и: Ьи — Ли ~ О ай, (11.1) и = с на Г = дй (с = сошг), ди )' — )з-), г дн (11.2) (11.3) и — внешняя нормаль, называются множеством плазмы и множеством вакуума соответственно, а Г =дй — свободной границей.
Предположим, что Г Е С~+в для некоторого 0 < а < 1. Обозначим Лз, Л„ ... возрастающую последовательность собственных чисел — Ь в й, и пусть и, обозначает положительную собственную функцию, отвечающую Л,. Заметим, что если Л< Л,, то с< О, если Л > Лы то с > О. (11.е) (113) где Л н Š— заданные положительные числа и с — константа, которую нужно определить; область й С Яз ограничена. Но в этом параграфе мы рассматриваем ограниченные области из г(н, л > 2. Множества Йр (хЕЙ~ и(х)<0)1 й„=(ХЕЙ; и(х)>0) Действительно, используя формулу 1' (Ли, и + Л, и, и) = )' (и, Ьи — и Ьи, ) = о с для Л > Л„получаем до, 0< — с / аа ди и так как ди1/ди < О, то с > О. Если Л < Л, и с > О, то йр С й и полагая С йр в вышеприведенной формуле, имеем ди 0> / и1 —., зар ди поскольку ди/де > О, мы пришли к противоречию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
