Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 70
Текст из файла (страница 70)
До к аз аз ел ьств о. При заданном малом е > О выберем точки А, В в Е такие, что то 1 1 Е'Е~ гпах)= — — / !и г/з+О~ — ( = ъ 2л ь (Е/2л)1п(2л/Е) ~ 1пЕ 1 Е/2 1 = — — 2 (/' 1пп/г) +о[ — (= 2л о (Е/2л) !п(2л/Е) 1п1 Е'~ 1 Е''~ 2 2 2 / (1/2л) !п(2а/1) ~ !и Е / 1 1 — С/1п(1/1) С вЂ” ограниченная функция.
Следовательно, С 1 — Р(х)< 1 на 7(апр!С!= С). 1п(1/1) Рассмотрим функцию С С а(х)= 1 — /~(х) = /О(х,у)~ 1 — — 1 с/а 1п(1/Е) ь 1п(1/Е) (Е/2л) 1п(2л/Е) Она удовлетворяет условиям Л(х)<1 на Ь, л=О на дВ,, я гармоническая в ЕЕ,~Ь. Согласно задачам 2 — 4 дХ У С ~ дУ Ср,В= —,/ — =-(!в ав, де . 1оя(1/Е) ав, ди (9.1 4) (9.15) (9.16) С другой стороны (используя задачи 1 и 2) имеем д)' Е д7' г/8 2л —,/ — = 3'! скачок — прн переходе 2~г/з ав,дл ь [ ди ь (Е/2л) 1п(2|г/Е) 1п(2л/Е) ввиду (9.7). Комбинируя последнее равенство с (9.16), получаем утверждение (9.10) .
Покажем, что,лемма в случае (9.11) неверна. Возьмем равномерное распределение 1 на АВ (9.17) (Е/2л) 1п(2л/Е) и перераспределим его на В (или на части Ь ) таким образом, чтобы когда мы проектировали В ортогонально на АВ, мы получали бы распределение (9.17) . Обозна. чим зто распределение на В через о. Рассмотрим функцию Е'(х) = / О(х,у)о~/з ь с функцией Грина О, как и выше. Если х Е ь, то 1 1 ~(х) = — / 1п о|Ь+ 0(!) / осЬ. 2н с !х -у! ь (90В) Ддя каждого х Е Ь сделаем замену в каждом интеграле, которая соответствует ортогональному проектированию кривой Е на отрезок прямой, параллельный АВ, проходящий через х и имеющий длину !А — В/; обозначим его через Е„; |!т осЬ переходит в (9.19) (!/2я)!п(2н/!) где Вг обозначает злемент длины вдоль Е„. Второй интеграл в (9.18) будет тогда ограничен величиной С(!/1оа!).
Первый интеграл в х не превосходит величины 1 — /' 1и — с!г. 2я о (!/2я) 1п(2я/!) г Таким образом, мы заключаем, как и раньше, что (9.14) верно. Теперь покажем, что Сар Е> 1 — / /~ скачок — при переходе Л гЬ = 1и (1/!) с ди 1— С |] |г С з~ 2я /ос!т = 1— 1п(1/!)/с '| 1п(1/!)/ !п(2л/!) при получении последнего равенства было использовано (9.19). Это установлено в лемме 9.2. В силу (9.5), (9.6) Сарг|Е> Сари Е. л~ Ввиду леммы 9.2 и неравенств |!(Е) — е < ! < |Х(Е) для произвольного е > 0 (С в (9.10) не зависит от е), получаем утверждение (9Я) . Теперь определим емкость, связанную оператором Пусть Š— замкнутая и й — ограниченная области, обе находящиеся в полуплоскостн ((г, г), г > О), и симметричные относительно з, причем ЕС й.
Пусть К= (оЕЩ(й), и>1 на Е, о(г,т) = и(г, — т)) . Емкостью множества Е относительно й и Ь называется величина ! чо!' Сер~~ Е = 1п! / — |!г|Ь. (9.20) енк й Т е о р е м а 9.3. Если Е С Вя С Взн С й С Вн, и (ге, 0) Е Е, ге > г, > >О, го С '~ 2я !— < Сарс~Е, 1п(1/|!(Е)) I ге1п (2н/|/(Е)) где С - положительная консшнта, зависяи|ая только от Е,, Вз, г,. Доказательство см.в задаче 5. Задачи 2.
Показать, что .( [75['= ) же= — 1пп ) ж = .(К» в,~с дл, Ь-~е дьа дл, где 1. а — подходящие окрестности Е, стягивающиеся к Ь. [У к а з а н и е. Имеем д Е е = 1 а 11 Е а ., Ь * получены параллельным сдвигом А на а6, за исключением окрестностей концевых точек а в зтих окрестностях Ье со. еднняется с Ее и дЬ отстоит на расстоянии р от концевой точки; подбираем д = р(6) -+0 подходящим образом.] 3. Доказать, что и > в, где ж такая же, как в (9.2) . [У к а з а ни е. Возьмите и = ж + щах(0, 5 —. и ) в (92) и проинтегрнруйте )'7у ~адах(О,К вЂ” ье) по частямв йЛЬ1ь, 6-ьО] 4. Доказать,что 1[75[' < 1'! %~в[ .
[У к а з а н и е. Разность равна величине —.([ %'(ь — Ш)[ + 2) %'6 ~7(ь — и) ] 5. Доказать теорему 9 З. [Указ а ни е. Функция Грина 0(Х, У) дпяЕ в й может быль записана ввиде 1 1 — 1п (1+ 0([Х вЂ” у[)); 2я [Х вЂ” У[ здесь Х = (г, а), У = (г, а ) (фундаментальное решение К (х, у) для г ~Ь дается в виде )'К(х,х')дд, х =(г, В, а), х' (г,О,е'), е К(х, х') такое же, как в (6.20)) .] 6 1О. Аснмптотнческие оценки дли вихревых колец Мы интересуемся поведением вихревого кольца, построенного в теореме 6.2, когда параметр Л растет к . Обозначим решение, полученное в теореме 6.2, ~ь и положим И = %'х = ((г, г); Гь (г, а) = Л) .
( 0.1) Ограничение (6.35) дает [ )гь [<1/2рЛ, (10.2) где [ А [ обозначает меру множества А в Н относительно меры гдгде. Л е м м а 10.1.Дел всех достаточно больших Л 1 Е=Жл)> — — 1пЛ- С 6Л' ' (10.3) где ко нсталта С не зависит от Л. 1. Показать,чтоеслиокрестностьточкиА пересекаетЬ в ((х,О); — а( х( 0) и А = (О,О),то вблизи А [Хг[< С, [5 [< С[1п(ха+уз)[. До каэател ь ство. Пусвь ве(т а) Лвв,1,Гз с) где В< (чГ2, О) — круг: (т — 42)* + аа < ев. тогда 1" Те(х) в(х = 1, если глз,ГгеаЛ = 1, т.е., если ее Л = 1/2 чГгл~ . (10.4) Подсчитаем Ев'е). Дпя этой цели возьмем свычала (г', т') = (чГ2, О) в С(т, а,г ', а') и введем новые координаты относительно (чГ2, О): т=чГ2+ев, т=ег. Положим $ ч/вт +г~т.
Тогда О К$ <1, если (т; т) е вирр Те. Вновыхлеремениых находим (в силу (7.1 6) — (7.18) ), что ев г' + е'в' ез 83 8 та (1+ 0(е)), евгг +(2 Гг+ев)з 8 йв 1+ 0(е)„ 8чГг — = — (1+0(е)). й' ер Следовательно, < 2 ~ 2 8чГ2 / 1 Л вЂ” — й ~1 К(й) — — Е(й) = 1и — — 2 + 0 ~ е 1п — 1 . а я ер е Так как (гт')~1~ = чГ2+ 0(е), получаем чГ2 / 8чГ2 '1 / 1 Л С(г, д чГ2,0)= — ~1п — — 2(+О~е1п — /= 2л е$ е Гг = — )п — + 0(1) 2л е$ при е -+ О. Пусть 1е — б функции на окружности г чГ2, т = О, — л < В < л, и тт'(г, т) = П С(г, а, т', т') Те(г', т') гЪ'вЫ' 1 = — с(т„т, вГ2, О)..
2л Поскольку С(г, д т ', в') = С (г, а, чГ2, О) + 0(1) на вирр Те, то Фе(г, т) =-О С(г, т, т'„в') ~е(т', г")г йт'г)т' = ф (д а) + 0(е). Следовательно, Ебе) = л П Ф~(т, а) Ь(т, в) тв(п1а + 0 (1) чГ2 = л Ц вЂ” — 1п — Т(т, т) тв1 тв)т + 0(1) = 2л 2л е$ чГ2 1 = — П )п — ((г, т) пЬйа + 0(1). 4л ев Поскольку т = х/2+ 0(е)., с/г дг = 2яе~»Ы», то ь/2 1 Е(»о) = —,Г22яе~Л / » 1п — д»+ 0(1) = 4я о е» = егЛ вЂ” »г 1п — + — ~ + 0(1) = 2 е» 21 1 1 1 1 — е Л!п — +0(1)= 1л — + 0(1) 2 е 4х/2 ввиду (10,4). Так как 1 11одх=1, — /т~»о =1+0(е), 2 существует 0(е)-возмущение»~ функции»о, которое принадлежит ьг.ь.
Позтому ЕЯ>Е(»г) =Е(»о)+ О(1), откуда следузт (10.3), Л е м м а 10.2, Существует полозштельная константа С, независящая от Л, такая, что /г(т, 0) < Ст'11 + 1п(1 + Лгз)1 (О < г < ) (10.5) для произвольного Л > О, где зг — функция тока, соответствующая» = »х. Д о к а з а т е л ь с т в о. Запишем ф (г„О) = фг (г, 0) + фг(г, 0), Вг,(т, 0) = / К(х, х')»(х')г/х', (1 х-х'1< т/2) $2(г, 0) = / К(х, х')»(х') о/х' (1х-х'1< т!2) (х =(г, 0,0)), Для оценки фг заметим, по гт К(х,х')<, <Зт, 1х — х' ! если ) х — х' ~ > г/2, Таким образом, тг2 (т, О) < Зт .
Для оценки Ф г отметим, что Сг' К(х,х') < 1х — х ~ если ~ х — х ~ < г/2 и, следовательно, 2о г'ЫВ Фг((,0)< Сг,/,/ Нграт. (1т-т'1<т/2) О 12' +Г +Г' — 2П"СОЗВ1 /2 0 х 1< т/2) Используя (2.7) и действуя так же,как при выводе (2.8),находим, что г / (. 0)<Сгг 1 ) 3 т при условии Лг > с с некоторой положительной константой с. С другой стороны, если Лт~ <с, то мы просто используем неравенство дх' Фз(г,с)<С'Л Х <СЛ 4 (! г — х3 < г/г» ~ х — х ~ Собирая вместе оценки $ з, Фз, получаем утверждение (105). Определим Ее = (пав(г;(г, 0) б зпрр Т), Я з = зюр ( г; (г, 0) Е знрр (» . Отметим, что из (6.34) тривиально следует, что 1 Ее <1 < — Е,.
(10.6) 2 2 Л е м м а 10.3. Слраведззиво неравенство (10.7) Из лемм 7.2 и 10.1 имеем 2 »т' = Е + 3./(и) ю' Е Р С 1п Л, если Л достаточно большое. Подставляя зту оценку в (10.8), получаем Л,1п Л<С1п(ЛЕзз), если Л достаточно больпазе (скажем, Л ) Ле), откуда следует (10.7) . Доказательство дпя 1 < Л < Ле аналогично, так какЕ(~а) > с) О, где с ие зависит от Л, Л е м м а 10.4. Имеет место неравенство .г(и) < С, (10.10) где Х = У (и) олредеаено в (7 9) с Р (г) = Лг+ и С вЂ” константа, не зависящая от Л. До к аз а тел ьств о.
Ввиду (7,10) (с8= 0) 1 ./(и) 2яЛ П и пйзХг = 2я Д' — (и,з '+ ига) аг с/г. т г (10.9) Так как Я, <С, то (е <СУ, (10.11) где Напомним неравенство Пуанкаре // и й да< — //(и, +и,)демаг, если и!а~ =О. 3 ~ ~ 2 2 2я т 363 Е, <С, где константа Снезависигот Л, Л) 1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как и = О иа д т'а, то (1/2) й'Я з + 7 ~ д (Е,, О) . Вспоминая, что 7 Э 0 и используя лемму 10.2, получаем йтЕз <СЕ 1 (2+Ляг) (10.8) 2 Используем его для вывода г1г — <С/,/аЖг <С~ К1'/г.(/)' и'агдг) 2яЛ Г ~С~ зг~((/(»г +и')лп(г)1!г = =С! Г! д'1г <С1 г ~7г1г (в силу (1011)).
Ввиду (10.2) получаем теперь (10.10) . Из лемм 7.2, 10.1 и 10.4 следует Те о рема 105. При Л-ь 1 1ь'= — Е+ 0(1), 2 3 7 = -Е+ О(1). 2 (1 0.12) (10.13) Из (10.12) и леммы 10.1 вытекает, что г > О, если Л достаточно большое. Поэтому согласно задаче 1 нз 8 8, справедливо Сл е д с т в не 10.6.Если Л достаточно болыиое, то ~ 1г, 1 = 1/2 Л. (10.14) Л е и ма 10 7.Если Л достаточно большое, то Яо >с. (10.15) гдес — положительная константа, независящая отЛ. Дока за тел ь ство, Имеем 1 „г<7+ 1ФЯго Ф(Яо 0)< сЯо(1+1п(1+ЛЯо))' 2 (10.17) Это влечет Я, -Яо<С/1пЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
