Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В дальнейшем будем предполагать, что 0<8<8'прн некотором фиксированном б" (зависимость различных констант от б' указывать не будем). Для произвольной функпни1 Е ч а оценка (7.20) влечет шр Ф (х) С(Л~(() + 1) (8.3) «ип» здесь мы использовали тот факт, что условиям леммы 7.4 удовлетворяет ['(г, г)— симметричная перестановка ! (г, г) по переменной а — и Е(['*) > Е([') (ввиду (6.29) и теоремы 7.3 из гл. 3),тогда как Ф(! ') = У([) . Кроме того, 1 — /У([')= !! [7х! „,/е, < С, +е/!,/ (]'/Л)" О~с/х (е > 0); лз это следует из элементарного неравенства Х<С + АХ ~/а (е>0), (8.5) (8.6) (8.9) (8.11) 1пл Е(5/) =Е(1) 1 откуда будет следовать, что [ — решение (8.2) .
Для доказательства (8.11) сначала заметим, что для произвольных В > 1,А > 1 6~с/х< С[Я([)+ 1] / г т~е[Ых<С[/у(р)+ 1] Я э+е; (8.12) (г>л) (г>л) / Ф [ дх < С[Л'(]') + 1] А '+' ~ ['с/х + а<гяя) и м1>АЯ) + СЯ -з / гг [ч/х < С [/у([) + 1] А -~ .м + С/!-э (8.13) лз при фиксированном 0 < е < 1. Неравенство (8.12) вытекает из леммы 7.4, а (8.13)— из. леммы 7.5. Очевидно, оценки, аналогичные (8.12), (8.13), имеют место с ['1 Зеа справедливого для 0 <Х< .
Применяя (8.5) для оценки энергии в (8.4), получаем при достаточно малом е 1 ЕЯ<Сь ь — ДХ ]' (['/Х)'+Педх. (8.7) 2 лз Теперь заключаем, что (ввиду определения (6.42) ) Е„(1)<Сх для всех 1 Е 6' (8.8) пусть ['! е ть е — максимизирующая последовательность для ее, т.е. ее([';) < <Ее([/+1) и 1пл ЕЕ([)) = АР ЕЕ(]т), гн и',е Легка видеть, что (6.42) и (8.7) влекут У([)) < Сь + !Еаф)! (/> 1) . Таким образом, для подпоследовательности имеем: [)-~[' слабо вЕ' '/Е(Яэ) (8.10) Предел [' есть тогда элемент из й' р (хотя не обязательно, й Е).
Кроме того, заменяя каждую функцию [)(г, а) на ее симметричную перестановку по т (которая не может уменьшить Ее([',)), можем быть уверены„что каждая [' (г, т), а следо- вательно, и [' (г, г ) есть невозрастаюшая функция по з при г > О. Покажем, что вместо 1. Таким образом, если Я, А можно взять достаточна большими, то достаточно будет показать, что / ф1(тих -+ 1 071ах (0(гСЯ) (0(гСЯ) (~с~<АМ) (1г! САИ) при у' -+; $1 будет определяться обычным образом в соответствии с 1";. Кроме тото, ввиду леммы 7.3 для 0 < г <Я, ! г ! <АЕ имеем Ц С(г,г, г,г)'1(г, г)гйт йг < СЯ эг' ( ) и поэтому .
Ц Ц С(г, г, т', г')Дг, г)Дг', г')Ыгдгг'дг'г(г' < СЯ з. (0<т<я) (3>л) (м~сля) АНаЛОГИЧНЫЕ ОЦЕНКИ ИМЕЮТ МЕСТО ДПЯ 5"р ВВИДУ ИЗЛОжЕИИОтс ДОСтатОЧНО ПОКаЗатЬ, что Ц ЦС(т, г, г', г')(т(т, г)()(г', г')тйтйгт'Я'йг' о о -~ ЦЦ С(г, г, г', г )((г, г) ((гг, г ) гйгдггйгйг, й о. где Р = ((г, г) Е Н; 0 < г < 2Е, 1г! < (А + 1)Е) — отрапичеиная область. Так как С Е Л'+5(Р Х Р) и 17(г, г)1;(г', г') -+ 1 (г, г) ( (г', г ) слабо в 1.'+'75 (Р Х Р) (но мере тдгдгтат дг ), то доказательство (8.11), а также леммы, закончено Л е м м а 8 2 Если О < 1) < 58 (О < Ь < 1), то для всех О < Л < ЕЕ(5) Р с(Л,Ь) ) О.
(8.14) Константа с(Л, Ь) не зависит от 1), но вырождается нри Ь вЂ” 1 или нри Л вЂ” О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть (, (х) = Л1(~„~< ), где а определено так, что 1 — ) г~(~(х)дх = 1, 2 нэ Рассмотрим функции в измененном масштабе 1 (х) = 051,(ох) (О < о < 1). Тогда 3' (,Их = о' 1'(,дх, и' нз 2 — ) г~1едх = — / тз(,йх, нг ' 2 яз и поэтому для достаточно малого о (зависящим только от Л) имеем 1-,„Е К Простое вычисление дает Е (( ) озЕ(р ) 02+5Ф 8Л )' (( я!~1/Вс~х = и' озе(( ) 02+57гб ) ( лх Ит 367 Таким образом, Ее(('е) > с(Л, 6) для О < б < 56 при условии, что о достаточно мало. Так как Ед(1) > Ее(1'„), то получаем (8,14). Теперь получим вариационные условии для решения 1.
Л е м м а 8З.Решение, полученное в лемме 8.1, удовлетворяет (6.45), (6.46) для некоторых констант 1т' > О, т > 0 (едннственным образом определяемых через (). Д о к а з а т е л ь с т в о. Положительность Ее(1 ), утверждаемая леммой 8.2, влечет тпеа вирр 1 > О. Поэтому мы можем найти 6е > 0 такое, что теа (1 > 6е) > > О, Выберем ограниченные измеримые функции Ь„Ьз вида (6.33) такие, что апррЬ,, апррЬз с (~ > 6с), 1 (Ь!дх = 1, — )'т'Ь!дх = О, и 2и 1 (Ьздх О, — Гт~Ьздх — 1.
и 2и Пусть Ь вЂ” произвольная ограниченная измеримая функция вида (6.33), подчинен- ная условию Ь > 0 п.в.на (1'< 6) для некоторого 6 > О. Тогда Т + еп Я ьь' для У1 т1 = Ь вЂ” ( (Ьдх)Ь, — ~ — ~т Ьдх Ьа и 2и при условии, что е > 0 достаточно мало. Имеем д О > — Е,((. + ец) ! = Е'((.)П = де ~е-о в = Е (1)Ь вЂ” ( ХЬдх ) Е'(~)Ь, — ( — ~тз1п3хЪ)Е'(()Ьз Ф с дифференциалом Фреше Е'ФЬ = )' ФЬдх — (1 + б) 1 6!Л)1 ЬтЬдх. и и Теперь в силу произвольности Ь (и 6) получаем вариационные условия 1 (1 + р)((/Л)'1Е = Ф вЂ” у — — И'т', если 1' > О, 2 1 О > ч' — у — — И'т', если (' = О 2 с множителями Лагранжа т ЕЕ(() Ь! И Еа(() Ьз ° Эти условия эквивалентны (6.45), (6.46) .
Далее, покажем, что у, И' > О. Очевидно, существует последовательность точек (т„,е„) СНтакая что тн -+О, а„-+«и1(т„, ен) -'О. Тогда вариационные условия дают 1 1!гп апр 14(т„, тн) — т — — Игтз ~ < О. н 2 368 Поскольку т2 Э О всюду, то 7 ~ О. Теперь возьмем последовательность такую, что т„~, г„О и !" (г„, г„) О. Так как Ф (т„, г„) -> О, то аналогично Ит Э О. Для доказательства единственности множителем Лагранжа у, И' предположим, что у", И" — другая такая пара, т.е. (6.45), (6.46) выполняются для у', И'*.
Это зквивалентно следующему. г! . Е' Я') Ь вЂ” у' ( ( йт(х ) — Ит ' ~ - ) 2 йт(х < О Н 2Н для произвольной функции й, подчиненной условию й Э'0 п.в. на (! < Б) 1 1 Е(Я) = — ) — (ф' + 1Рг)с(х < 2нг2 г г (8.16) Лемма не очевидна, так как неизвестно, имеет ли ь компактный носитель. Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно вычислениям из леммы 6.1 (точнее нз (6.23) и (6.26)) 1 1 т'((х') — 1 Ч2Ф(х) < — ! —, Ых. г 4я и' !х — х' ~2 Используя неравенства !/2 Хт Г(х')4(х' < ( )' Их'Их') ( )' г' 2('(х')ах') < Ъ~2 и ° яз л' находим, что т 1(х )дх , 2 <Ъ/2.
(1х — хд > 1) ) Х вЂ” Х (8.18) Так как С(и')а < Сфд < Сга (8.19) по леммам 8.3 и 7.4, то имеем также г'Нх )дх < С((н+' 1), (1х — ад<1) ~х — х ~ откуда следует (8.15). Для доказательства (8.16) напомним, что 1 ЕЯ вЂ” )' —, фЕ (24(х. н т Интегрируя по частям в области 0и = ((д г) Е Н; 0 < г < а, ! г! < а), 24. А. Фридман 369 для некоторого Ь ) О. В частности, мы можем взять й = тйы айг (напомним, что авррй, С ((~бе)) изаключить,чтот" Е й„И" =Е йг.
Р * Р Л е м ма 8.4.Для решения ь выполняются условия 1 — 1 571! < С(! + тВ ) (С > 0), (8.15) г получаем (используя указание к задаче 1 из $7) 1 2 2 — Π— рбйс(Ыз = Π— (й' + (»')с(Ыг — )' (»- — сЬ, па г о г " ' а па г Эг д Р— = ВР г1(г> 0) (г — единичный вектор внешней нормали к дРа и оз — длина дуги). Позтому для доказательства (8.16) достаточно показать, что граничный интеграл стремится к нулюпри а-» . Покюкем,чтодлянекоторото еа>0 ! ) (» — 1 ~7(»! й = 0(е ев) прн а— (8.20) а,о, Для доказательства этого опять используем (8.17) и запишем для О < 6 < 1 1 г ('(х )с(х р(х) =— 4п (!х,-х)<а~) 1х — х'! а О Ч»г' Да < С(1 + а) '"а зе ( а(г <, "Са (»= а) — а ($а 1 < а) а И ф(»зс(г < Са з)'(1+ ) '"И~ < С (»=*а) о (о<»<а) Фиксируя е < 26, получаем 3' (»1»~Из = Из = 0(а ' ).
а,о, (8.21) Далее оценим соответствуюшие выражения в 1»,. Из осесимметричности('(х) и того факта, что ('(г, а) — невозрастаюшая функция по а при з >О, следует, что г((х)Ых < Се 1 + 1 +— (~а — х!<а ) (8. 22) для всех(г, г) Е Н. Действительно, так как для г > 2а шее(х Ея'; |х — х! < ае) Са — шее (х' Е К', ~г — г'! < а, 1г — аг! < а') мы находим (используя равенство ('(х') = ('(г', а')) в силу (8.18), что Са Са г'ь(х)дх С вЂ”, ) г ((х)а(х' < —; (!х — х'! <а ) г (1» — »'!<а ) г (!а — а! а 370 1 г'('(х ) с1х 1»а(х) =— 4п (1х — х'1~ а ) !х — х ! оценим их отдельно.
Ввиду (8.18) очевидно, что 1»а(х) <(1г за, Таким образом, в силу (7.20) в свою очередь, для г > 2аб (так как ! (г', г') »приз'1,2'> 0) Саб ... Са 1 5(х )!7х г !"(х )е!х С вЂ”. (!е-г'!<а ) г (!е-е'!<а ) г (!а — г'!<а» Таким образом, получаем (8.22) . Кроме того, ввиду (8.19), (7.27) имеем , "Д') < С, '-", !х — х !<а (8.23) где р определяется так, чтобы в (8.22) имело место равенство. Вычисляя Р! (х) в атом случае, получаем 1 2 1 — — — и+ — б У 12! ; — 1!з р()ССаз з з 1+ :) Тем самым — — — би' — ' ( !г!! 1 2 1 -1!э ФР!Дг < С(1+ а) а' ' ' ( (1+ » — а \, а / (!51<а» 2 2 - - и+ — б + е 3 3 Аналогично, для г =+а, 0 < г С О, находим, что — 1!з з" зб г ~ Р!(х) <Саз з °, + аб / и тем самым 2 5 — — ае — б+!! -6!е )' ф1'~!7 < Са з (а ° ах» (0< -Са) Фиксируя е и Ь дос~а~очно малыми, получаем ФР!615 = 0(а "), что вместе с (8.21) доказывает (8.20) и, следовательно, (8.16).
Ле м м а 8.5. В обозначениях леммы 8.2 имеем 1 И~ Э -с()г,б) > О; 2 (8.24) и, какследсгеие, ( Е еь,а. В дальнейшем мы будем предполагать, что 0 < б < 58 (Ь фиксировано в (О, 1)) и не будем указывать на зависимость от Ь различных констант. 371 если х!б8.0, (0<и<1), где и зависит от Р. Для г = а, ! г! < а рассмотрим задачу о максимизации Р! (х) как функционала от г1(х') при условиях (8.22), (8.23), Очевидно, максимум достигается при г'Цх') = С!а' "7( „ Доказательство. Предположим, что т > 0; тогда для всех О< х < х имеем (так как (г, х )ЕапррТ) 1, 1 Ф(г, г ) > — ргг + 7 > — Йт 2 2 Тогда ввиду Р(0, х') = 0 1 — Йо < ) Ф, (г', х') иг .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
