Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 67
Текст из файла (страница 67)
т=О, — ай~(а — Я )зш~д,если Я<а, 10 / аззз — — Ь% ~1 — — ) з!пзд, если зт>а, ~з~ где г= 11зшд, г =31созд, Хаз/Вз= 15»2. Вихревое ядро есть шар (~х »<а].решение называется вихрем Хилла (1894) . з 7. Энергетические тождества и оценки потенциалов В записи ( Ьох подразумевается дх = 2ятдтдг.
и Мы часто будем использовать формулу интегрирования по частям 1 1 ( — (и„о„+ и о,) Их = — [ — иЬот(х' н г (7.1) для функций и(т, г), о(т, г) либо имеющих компактный носитель, либо обращающихся в нуль достаточно быстро при рг + гг -+ с)'т 'и(т г)о (г г) дг + О для последовательности г = г! ь О. В частности, формула (6.29), выражающая Е через [, справедлива ввиду (7.1) и оценок для соответствующей Ф из леммы 6.1, при условии, что [' имеет компактный носитель; см. задачу 1. Теперь дадим другую формулу для Е(!).
Л е м м а 7.1. Пусть [ — произвольная ограниченная измеримая функция на Н, для которой 1 1 ЕФ= — ( — (Ф, + ФГ)с!х( 2Н т (7.2) 1 Ф, (», г)! < Сг, если г < 1 (С ) О) . Тогда Е(0= 1(»Ф„+гФ2)~дх. и (7.3) Доказательство. Пусть 2 2 о — (»2 ь 2) ц (Ф2 ь Фг) 2 2 Так как А о = 1, то 1 1 1 Е([) = Х 2!Х,одх = -.( — (о„л„+ о, 2!2) с!х = — [ (гл„+глг) дх, (7.4) и 2 Подставляя в (7.4), получаем 1 е([) = — У вЂ” [Ф,(гФ„+ гФ )„+ Ф,(гФ, + гФ,)2! дх+ 2е(1), и »2 откуда 1 Е(ь) = ) —,[Ф,((Ф, + гФ,), + Ф,(тФ,+гФ,),[ дх = 1 — ( —, (»Ф, + гФ,) АФс!х, »2 (7.5) что дает (7.3). где было использовано (7.1) (обоснование будет дано ниже).
Расписывая подынтетральное выражение, находим, что »21, +~2! = Ф,( Ф,+гФ ),+ + Ф,(тФ, + гФ,), — (Ф„+ Ф, ). Теперь мы должны строго обосновать использование формулы (7.1) в выводах (7.4) и (7.5). Если интегрирование по частям выполняется по ограниченной области Р,, =((г,г)ЕН; ест<а, )21<4) (7.6) лля некоторого е > О, то мы получим граничные интегралы. Граничные интегралы на г = е оцениваются (в обоих случаях) величиной 1/2 .( г/(е, 2) с/2+ С„( / П(е, г) Фг ) (ввиду ! ф, ~ < СИ). Так как интеграл в (7.2) конечен, то П(г, 2) Нгй <' (7.7) о- и поэтому ~/2 = О ) — пдз=о— для последовательности а =а„-+' .
Но это опять же следует из (7.7). Для заданной вихревой функции 7'(Г) положим Ж) = Х/'(з)с/а. о (7.8) Тогда Лг', когда выполнено (6.41), г(г) = / г+ 'Л /+е Л~ — ), когда выполнено (6.47) . 1,1+/1 Пусть У(и) = ) Г(и) с/х, и (7.9) где и(г, 2) определяется в (6 17) . Можно дать другие выражения для У (л), например, 1 1 (1+/1)У(л) = ( иьг/х = — ) — идти с/х = ) — (из + и22)г/х, (7.10) и и г2 й г где й = ( х С Яз; и (х) > О) и /5 > 0 в случае (6.74), /1 = 0 в случае (6.41).
Таким 1 образом, — (1 + /1) /(и) представляет кинетическую энергию установившегося пото- 2 ка (с функцией тока и) с вихревым ядром Й. для последовательности е = «я 4 О. Таким образом, интегралы по границе г = е„стре- мятся к нулю. Остается рассмотреть интегралы по границе деР, о — = дР,,о Г1( г > > 0], т.е. остается доказать, что Л е м м а 7.2.
Пусть Т вЂ” рещение либо (6.3В),либо (6.44), имеющее компактный носитель. Тогда (очевидно) (7.2) имеет место и Щ) = — ЗХ(и) + 2 И« = (1/2) ((1 + Р) /(и) + Ь' + 7 ). (7.11) Д о к а з а т е и ь с т в о. Утверждение, что Е(Т) равно правой части (7.11) немедленно следует из равенства 1 /иТ«/х = / «/«Т«/х — — И« / г Т«/х — 7 (Тс«х = 2Š— И« — у, и Н 2 н и Для доказательства первого тождества в (7.11) возьмем Ф„= и, + И«г, 'р, = и, в (7.3): Е(Т) = /(ти„+ ти,) Тс«х + / г(И«г)Т«/х.
Н и (7.12) Интегрируя по частям, находим, что / ти ~«/х = / гГ(и)т«/х = 2яогтт(и)т«/т«/г = н и ы = — 4аА ЦтР(и) «/г «й — 2 / Р(и) «/х; и и и, аналогично, / ги,Т«/х = — / Р(и) с«х. н гт Таким образом, (7.12) приводится к виду ЕЦ') = — 3 / Р(и)«/х+ И« /' гт Тс«х = — Зз(и)+2И! и и 3 а м е ч а н и е 7.1. Дпя дальнейших приложений важнозаметить, что (7 11) остается верным дпя решений (6.44) без предположения о компактном носителе; предполагается, однако, что Т удовлетворяет усповиям леммы 7.1.
Действительно, если интегрирование по частям в доказательстве леммы 7.2 выполняется по конечной области П е (опредепенной в (7.6)), то граничные интегралы, которые при этом появляются, имеют вид / т'Р(и) дг, ( тт Г(и) «/т. з= еч т= а Замечая, что Р(и) = Л(Т(х)/Л) '/Е, видим, что существует последовательность а = ан -ь», дпя которой зти интегралы стремятся к нулю, так как условие ОгТ«««е «/тйт ( и влечет гзТ" '/е «/г, ттТ~ ~Е бг = о(1) о 361 дпя г = а„, !г ~=а„соответственно.
Теперь обратим внимание на некоторые оценки для "потенциала" «/«, определенного в (6 28). Лемма 73. Пусть з = [(г — г)'+ (г — г )з1'/з. Тогда г если з <— 2 Г Сг!л —, 3 (7.13) б(г, д г, з ) < Сгэ го 3 г если з > —, 2 где С вЂ” (достагочно большая) положительная константа. Доказательство. Напомним,что С определена в (6.27). Полагая (з — г )' + (г — г)з (» ) О), 4гг покажем сначала, что 0(г, з, г', г') 4: 'С(гг'!' !з !и —, если» < 1, 0(г, з, г', г') < С(гг')'/э» э, если» > 1. (7.14) (7.15) Оценка (7.14) выводится из формулы (гг')'1~ г; 2 т 2 6(г, г, г', г') = ~ ~ — — /с) К(/с) — — Е(/с) 2я (73 6) где К и Š— полные эллиптические интегралы первого и второго рода !55, формулы (291.00) и (291,01) ) и 4п'' (г — г') +(г — г') !сэ =... /с т =...
/ст ь/с' = 1. (7.17) (з — г ) + (г+ г )' (г — г') + (г+ г') Так как» <1 влечет /с" <1/2, применим асимптотические формчлы 4 К(й) = 1л —, + о(1) /с (при /с'- О) ЕЯ) = !+ о(1) (7,18) к (7.16); тогда получим (7.14). Оценка (7.15) вытекает из разложения ((г — з')т + г~ +гз — 2гг'сот О'! '/з = (4п') '!~(» ~ +З(», 8)) э, где 1В(», О') ! <С для» > 1, — я <8' <я. Применяяеек (6.27) и замечая, что член, включающий» ', исчезает, получаем (7.15).
Требуемая оценка (7.13) следует тогда сразу из (7.! 4), (7.15) . В следующих леммах мы предполагаем, что» Е К„а. Пусть/ч =%Я) обозначает норму а/(!+а! /у = ( /' » ' ' /а ых) (О<!5< ) (7.19) и (7.20) константа Сзависит только отб", е. Л е м м а 7.4. Предположим, что» (г, г) — невозрастающая функция по г при з )О. Тогдаприлюбых О</)<!!',0(е <! Ф(«, г) < Ф(г, О) < С(У+ 1) ~п!и ( г, г '"); Д о к а з а т е л ь с т в о. Очевидно, что Ф(г, 0) = шах (~/г,.
т). Запишем я Ф (г, 0) — — Ф, (г, 0) + Фа(г, 0), где (с а как в лемме 7.3) ф,(г, 0) = 1/" С(г, О, г', т') ((г', а') г'г/г'г/г' < (а < г/2) < Сг //" 1п — Цг', г') г'йт'йа', (а < г/2) 5 таз(г, 0) = Д' С(г,О,г', з') Г(г', а')г'й'Ыг'< (х ) г/2» з < Сгт //" — Кг', г') г'йт'г/а'. ( /а» Для оценки фа(г, 0) заметим, что г С г — там,где а > — .
3 2 Таким образом, ввиду (6.35) Фз(г, О) < Сга 1/" — Ь(г', г') г'т/г'йа' < Сг. (8 ) г/2) г Кроме того, в силу (6.34) гт !/ (г,О) < Сгт (( Г(г',г')г'Иг'~/е' < Сг '. (, >, » ((1~2)г»з Следовательно, Фа(г, 0) <Сппп (г, г ') (7.21) Оценим Ф,(г, 0) . Для любого 0 < а < ' согласно неравенству Гбльдера имеем Д' !и — Г(г', х') г'/г'г/з' < (х < г/2) (7.22) Но, очевидно. !+е г/2 ~ ьа Ц (г»п — » г'й'Ж' < Сг !' (1п — зг/а = С„гз. (а < г/2»т, я l е т, а (7.23) Таким образом, Ф~(г,О) < Сег" 1(1 ~+~/е Ъ (а<г/2) (7.24) Теперь применим обычное интерполяционное неравенство (7.25) 363 1( !!г-а 1(»а (Р« „ ь ь' ь где а = (1 + (/)/(! + а) (О < а < 1); каждая Лг-норма берется относительно меры г'йг'йг ' на множестве ( (г', г ') Е Н; г < т/2 ) .
Так как ввиду (6.34) и (6.35) < Сппп (1,т г), Ь'(т < г«2) заключаем из (7.25), что 1('! „. < СЛгеплп (1,«з( е)). ,! )УФ(„„!2) Таким образом, Ф!(г,О) < С /Уст"~ шш (1, г (' '«). Прн т < ! возьмем а =!1, так что ф!(г, 0) < Са«(Л«+!) г (О < !! < )!'). При г > 1 возьмем и достаточно большим (зависящим от )!', е), так что Ф!(г, 0) < С °,(««т + !) г '" (О < !«< !)'). В частности, мы выбираем а так, что (5 + Зб')/(! + и) < е. Все зти оценки приводят к следующей: (~, (г, 0) < С (Ф+ 1) ппп ( г, г (7.26) Теперь, комбинируя (7.21) и (7.26), получаем утверждение леммы. Л е м м а 7.5. Предположим, чш ( (г, г) — невозрастаюиигя функция ло г лри г > О.
Тогда длл 0 < !) <!!'. /А~з ф(г, г) < С(Л! + 1) А «+е плп ( т, т )+е)+ Стг~ (7.27) г нри условии, чш г/2 < г/А и А > 1; константа С зависит только от 9', е. Д о к а з а т е л ь с т в о. Ввиду монотонности ( (г, г) по г для любого А > 1 имеем 0 ((г, г )г йгйг < — Ц )(г, г)тйг йг', (!='- !< «л) А(, (/ г гТ(т, г ) т йг йг < — 0 г з)(г, г ) г йтйг .
(! и-г!<г(А) (т )о) Используя зти факты, можно модифицировать доказательство предыдущих лемм для больших г. Как и в предыдущем доказательстве, запишем ф(т, г) = Ч' ! (г, г) + Чтг(т, г). Для оценки Ч'г запишем рг(г, г) = !/«з(т, г) + ч«з(т, г), ф1(г„г) ч- :Сгз 0 — Яг, г ) г йтйг' < — ппп (г, г ! ), (т > г!2) г А («г — й!< г«А) ~2 чз Фг (г, г) < Сг~ 0 — Дт', г )т йт'йг' < Стз ~ — ~ . з г (!г — й!)е!л) Таким образом, рз(т,г) < — пни (т,т ') +Се ( - т) .
Для оценки 1У,(т, г) рассуждать надо так вю, как в предыдущем доказательстве эа исключением того (замечав, что из г <т12 следует 1г — г ! < г/А), что в данном случае имеем С 1з 1ь~( в 1г)ч шш (1,т А Таким образом, как и раньше, ф~(т,г)<СаМеА-)+етт~агшв(1,т ~1 "1) с Ь =31(1+а)„а (1+Щ(1+и), Я<а< Доказательство завершено. Задача 1.
Установить (6.29) для Т с компактным носителем. [У к а з а н н е: т'совр'1 (т', г') Их' Вш )(т-чФФ,) Иг =,(1У „' „„, Ыг=О. е ~ 4я1(г — г')' + т'г]Ог а 8. Существование вихревых колец В этом параграфе мы докажем теоремы 6.2 и 6.3. Теорема 6.3 устанавливается как следствие лемм 8.1 — 8.9, теорема 6.2 получена в форме лемм 8.10 и 8.11. Обозначим Ю р класс неотрицательных функцшэ 1 Е7, +0" (Яэ), удовлетворяющих (6,33), (6.35) и (вместо (6.34) ) 1 — ( та Их) ах < 1. (8.1) яч и, следовательно, 1 ЕЯ= —,( Ф1"Ых<С(ЛГ(1') + 1); 2 я' (8.4) Очевидно, К а С Ю,а.
Рассмотрим задачу: найти 1' такую, что ЕгЯ= пюх Еа(Г), ('Е(й",ц. (8.2) Тн Я' Для решения задачи (6.44) мы сначала найдем решение (8.2); зто необходимо, поскольку априори неизвестно, имеют ли возможные решения ограниченный носитель. Л е м ма 8.1. Яля любого заданного 0< Х <» существует Т такая, что (8.2) выполняется; 1 (т, г) — невоэрастаюиам функция яо г для г > О. Доказательств о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
