Главная » Просмотр файлов » Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами

Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 62

Файл №947327 Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами) 62 страницаФридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327) страница 622013-09-15СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 62)

Так как Кп — ограниченное замкнутое выпуклое множество в Еп(х; !х1 <Фа,), 1 <р < „то ть,» компактно в слабой топологии ЕР. Покажем, что в слабой топологии Еп отображение р - Е(р) полунепрерывно снизу на Кп. где Сне зависит от р; получаем ) г з(х))з(т (г(х)))р (х)сГх -+ 1 г '(х)1з(гп (г(х)))р(х)Их, Далее, функции р (у) Г ау /х — у| равномерно ограничены и равиостепеино непрерывны, и, таким образом, сходятся равномерно к функции р(у) 326 Действительно, если рм - р слабо в Еп, то гпр (г) — гпр (г) поточечио (здесь глр (г) — функция гп(г) с плотностью р). Поскольку™кроме того, функции гпр (г), гпр (г) монотонны, непрерывны и равномерно ограничены, то сходимость равномер- ная.

Следовательно, Тз(тр (г(х))) Тз (гп (г(х))) равномерно по х. Заметим, что г з(х)1з(гп (г(х))) ~ С зтр е Цн Поэтому р (х) р (у) р(х) р(у) /)' )х бу 0 " бх бу. !х — у ~ !х — у! Поскольку 1цп ю/ /'р" (х)тих > /рт(х)г)х, ю доказательство (3.4) закончено. Отсюда следует, чта существует решение ртт Е ьТ)ч задачи (3.2) . Так как рж ограничено л имеет компактный носитель, то при доказательстве (3.3) п.в. можно действовать так же, как при доказательстве леммы 1.!. Докажем теперь, что р)ч непрерывно. Положим и7ч )тр + /' + Ли (3.5) где ~ р — объемный потенциал с плотностью р. Тогда Е'(р)ч) — Ли = ср ')Š— и)ч.

(3.6) Покажем, что ргт < /тр. п.в. на множестве (и)ч < с(Фр.) /Р ). Действительно, если р)ч = Фр„то п.в. Е' (р)ч) < Ли в силу (3.3) и тем самым ввиду (3.6) с(Мр,) /Р = ср )Е < иж ( с(Р7р,)ПР; пришли к противоречию. Аналогично, р)ч = /чр, п.в. на множестве ( и)ч > >с(Атр,) /Е ) и р,ч > 0 п.в.на множестве (и)ч > О), ри = 0 п.в.на множестве (и)ч < О).

следовательно, 0 ( ри < А7р„п.в. на множестве (О ( и)ч < с(/)7р,)'/р)и тем самым ввиду (3.3), (3.6) ср')Š— ии = 0 п.в. на этом множестве. Поэтому имеем п.в А'р., если иж > с(Фр,)')Р, ,в — итт), если 0 < и)ч < с(Мр,)')Е, (3.7) О, если и)ч < О. (3.8) Д о к а з а т е л ь с т в а. Из (3.3) имеем )ж < Е(ри) = — У~и — /'+ ср'/Р иа (р7ч ( А7р ) Возьмем хо так, чтобы !хе! < (1/2)А7в., г(ха) > (1/4)!)7а„ рн(хе) = !п7" ри(х). !а! > О/з)тча, т(а) ) О)4)Фа~ (3.9) 327 По теореме 7.2 из гл. 3 функция р,ч монотонно невозрастающая па г при т > О, и потому и)ч строго убывает по т при г > 0 (задача 2 из з 1).

Следовательно. мно- жества уровней ( (г, т); ик(г, т) = о ) имеют меру нуль. Поэтому в правой части (3.6) имеем непрерывного представителя функции рж, Л е м м а З.З, Существует достаточно большое У такое, что Л)ч < О, если А7 > У. Тогда РЯ(хо)(ача,) < Сат, откуда рзч(хо) < СФ р,. Таким образом, так как б< 3, ср УВ(хо) < е(Н)ВУ-ара/В е(уч") -ь О, если /ау -+ (3.1О) Кроме того, Уо,(хо) > М/2/ч'а„, у (т(г)) С -/'(хо) = /' йг г(хв) уч"а аз (3.11) (3.12) Подставляя (3.10)-(3.12) в (3.9), находим, что (ЗЯ) имеет место, если Ф достаточно большое, Л е м м а 3.4.

Если ИЪ У, то (3.13) зпр руч(х) < р,. хи я лри условии, что У достаточно большое, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р = бр,/в, где  — шар с центром в начале коор- динат, О < д < 1 и / р (х)с~х = М. Тогда радиус у2 шара В находится из формулы .и' (4/З)а/тзВР, = М; у(т(г(х))) л уа(т(г)) р(х)дх < 4еЯОР /' гУг, в га(х) о а щ(г) < 2М аг У2др, = — —. 3 г 2 й" Вспоминая, что уа (т) монотонно неубывающая, и вводя замену переменной щ = = Зг /2Н~ в последнем интеграле, получаем /' — Р(х)с(х < 4аВВР./о < С(УУР.) М уо, у а (т(г(х))) (3.15) в га(х) ! где у,а о / (/а (т)/щ) д щ о Далее, так как р(у) М / ду.- —, в |х — у~ 2Я /'./ Р(х) р(у) М' бх,У > > С(о )аУВМВУз вв !х — у1 М (3.16) 32В Действительно, так как Хуч > О и рн имеет компактный носитель, утверждение (3.13) верно согласно такому же доказательству, как в лемме 2.2.

Л е м м а 3.5. Существует положительная константа С, не зависящая от/ч', такая, что ~узМзуз чу~~, > уп (3.14) для некоторой С ) О. Наконец, кб ('р т(х)б» < с(бр )1/Фм — сд>/рр>(змз(3 в (3,17) где использовано соотношение 7 = 1 + 1/б и (2.14). Комбинируя оценки (3.15) — (3.17), получаем С(б )1/3 .2 Е(р а 1/3 3/3 1 Р ) е Сл>/Р— 1/3 Мч /3 с положительной константой С Выбирая б достаточно малым (зависяшим лишь от М и функции (), можно сделать выражение в скобках больше, чем 1(2. Поскольку, наконец, р е йн, если />> достаточна большое, та Е(р>ч) < Е(р) и получаем (3.14) . Ле м ма 3.6.Пусть рл = М ' ( рп(х)>/х.

(1»1 < Аа,) Тогда существуют положительные константы А (достаточно болен>ая) и Ь (достаточно малая), обе не зависящие от/>/, такие, что дл >Ь, если (>/>У, (3.18) где >1>' достаточно большое. Доказательство. Излеммы 3 5 следует, что — 1/зМ 5/3 ( (/ Ф( )~>ч(у) < х ~( ) >ч(у) Ср, М ( (3' ~( + 1» — у ) (1х1, 1у><лх„) 1» — у ~ 1 + 2 ( )>(Х)Р3>(Х) < СР>(З(Д М)3(З + СО>/3М3/3 1ПА; (1х1 > Аа ) А здесь мы использовали лемму 3.4 и оценку (2.2) . При достаточно большой А получаем (3.18).

Л е м м а 3.7. Существует положительная константа В (достаточно большая) такая, что зирр рп С (х ~ х ~ < Ва ) )Г/Ь > У (3.19) Тогда р, (Аа.) 3 < СМ, следовательно, р, < СА ар. < >>Гр„если Ф > У. Из условий (3.3) имеем ср>(р > и(х,) > и(х,) — и(хз) (и = ин) так что (с )> = )>р, ) р(х,) ~ р(х ) + ср,'(р (' г> (2(П>(т)) т> т (3.20) при условии, что У достаточно большое. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что х, >= ецрр рь> и ~ х> ~ ) Ва,; придем к противоречию. Возьмем х, так, что>х> ! <Аа„,г(х>) > (1/2)Аа., р> = р(х>) = 1п)' рп(х).

1»1 < Аа г(х) > (1 (2)Аа где г; = г(ху). Кроме того, бМ Р(х,) > — (по лемме З.б), 2Аа, СМ ! Г(х ) < — 1и — (ввиду (2.2)) а„В В з у' уз(т(г)) уз Суз — А <— 2гз~ Азат ' где у, = гоах у(т). Тем самым (3.20) влечет актау бм СМ ! СД вЂ” < — !и — + з + С(р.А ')'УР. 2Аа, а„В В А 'аз Если А и В достаточно большие (зависящие лишь от М и У), то, используя (2.14) н (3.!), получаем Ср Уз 4Аа, А что невозможно при достаточно большой А. Д о к а з а т е л ь с т во теоремы 3.1. Выберем р=ру, У»также,как в предыдущих леммах. Достаточно показать, что р — функция, минимизирующая Е(р) при всех р Е ьь,. Пусть р Е ьь.

Определим ! р(х), если !х ! < Ла„р(») < — ~гур. он(х) = 0 в противном случае. Положим туч (х) = Оучр,Ув (х), где  — шар с радиусом а, н центром в начале коор. динат, а Он определяется по формуле ,( туч(х)УУ» = М вЂ” / оуч(х)»У». н' Я* Кроме того, пусть руч = оуч + гк. Так как 0н ~ О, если Ж -ь, то рн Е $н, если уч достаточно большое, скажем У'э у!У(р). Непосредственно проверяется, что Е(рн) -+ Еу,р), если Л'-+ (3.2! ) По леммам 34 и 37 имеем рн е-.й д пля всех У» > У»' н позтому Е(р--) <Е(руч).

Так как рут Е ь»В, то Е(рж) <Е( рн) . Таким образом, Е(РВ) < !!ш Г(Р и) = Е! Р ). Ф Т е о р е м а 3.8. Задача (Ес) инеег рещение р такое, что р = Уо, носитель г' ограничен и П = ((г, з); —,р!г) « = ~р(г), 0 < г < с где р (г) — ~оложигельнач ненрерыенан урункцнч на открытом множестве. Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству теоремы 3.1. Фактически, оно несколько проще, так как оценка р, = 1 тривиальна; относительно последнего утверащения см.

(1.24) . Рассмотрим теперь сжимаемую жидкость с общим баротропным "давление— плотность" соотношением р = Р(а). Положим с Р(з) Ф(г) = г~ 2 о з так что Р (г) ч "(г) = —. г Функционал энергии представим в виде Еч,(р) = —— 1 р(х) р(у) охну + 2 я' л' !х — у1 1 у' (лт(г(х))) + — !' р(х)йх + ( Ф(р(х))г!х, 2 н* г~(х) ив (3.22) а условия равновесия— и= Ф(р) в С=(р>0), Ее~С (3.23) где $(Г) = Ф (Г). Предположим, что Р(Г) положительна, строго возрастающая н гладкая при г > О, н что Р(г) 1пп!пà — =К (0<К <' ), гЧз Р(г) 1йп — = О. гцз (3.24) (3.25) чэ (г) 1пп — = О.

г о гз!3 Пусть Ме = (4К!се)з!э (3.26) где с' — константа, определенная в (2.1) . Рассмотрим задачу: найти функцию р такую, что Еч (р) = ш Еч (р) доц (3.27) 331 Тогда ч'(г) — положительная строго возрастающая гладкая функция при г>0, ЦО) =О,и Иг) 1пп 1пз — = 4К (О < К < ' ), г. г!/3 Т е о р е м а 3.9. Если М < Ме, то существует решение р задачи (3.27); р— непрерывная функция с компактным носителем и р(г, г) не возрастает ло т приз 1 О, Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1, если верна априорная оценка решения р, аналогичная оценке из леммы 2.2. Из (3.25), (3.2б) следует, что сушествует положительное число р. такое, что *Мзуз гуз (3.28) Можно теперь действовать как в лемме 2.2 и установить, что г(г(р(х)) < 4(р.). Начиная с зтого момента, когда мы будем говорить о сжимаемом случае, то будем иметь в виду решение задачи (В), хотя большинство результатов распре.

сграняегся н для решений задачи (3.27), как в теореме 3.9. О п р е д с л е и и е 3.1. Положим у'( ) Ц(т)= — — (О<я «1), та,М (3.29) 1 1.'У =.У гу (т) г(т. о Жидкость называется медленно вращающейся, есин О < С,, ц (1) < С, с некоторой положительной кочстантой Се (3.301 в сжимаемом случае н 0<1, 9(1) <С, с некоторой положительной константой Се (3.3! ) в несжимаемом случае. Физическая интерпретация ь) н д (т) чана в задаче 4. Введем у'0 ) у, =Х вЂ” у«„ е нг (3.32) у, = шах у(т). ак Тогда (3.30) означает, чго уьз <Сьа„М, уз ч:О,а,М. (3.33) тпрр р Г (х;!х1 <У)а, ) . (3.34) Этот результат справедлив как для сжимаемого, так н для несжимаемого случаев.

Так как а, -- радиус нгара с плотогостью р, и массой М, то ьпррр О (х;!х1<а ), (3.35) Доказательство теоремы 3.10 полуиется просто оовторением доказа»ельства . еоремы 3.1 с учетом того, что различные константы Сне завися» от М, у, если (3.33) выпогшяетса, Замечание Зл, Обозначения в доказательстве теоремы 3.1 можно нс. сколько упростить, если не следить за явной зависимостью опенок от М н У.

Одна- 332 Т е о р е м а 3.10. Если жидкость медленно ярагцающаяся, то существует лоложигельния константа УУ такач. что для всех 0 < М< ко мы указываем иа зависимость, имея в виду приложения к асимлтотнческим оценкам, В следующем параграфе мы рассмотрим приложении к быстро вращаю- щимся жидкостям. Задачи !. Доказать (3.21) . 2. Доказать теорему 3.9. 3. Для вырожденного газа ("белые карлики") Р(г) = АР(х), где х = (г/В)дз и Р(х) х(2х — 3)(х' + 1)Пз + Загс тих, н А,  — положительные константы. Проверить (3.24) при К < 4.

Характеристики

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее