Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Так как Кп — ограниченное замкнутое выпуклое множество в Еп(х; !х1 <Фа,), 1 <р < „то ть,» компактно в слабой топологии ЕР. Покажем, что в слабой топологии Еп отображение р - Е(р) полунепрерывно снизу на Кп. где Сне зависит от р; получаем ) г з(х))з(т (г(х)))р (х)сГх -+ 1 г '(х)1з(гп (г(х)))р(х)Их, Далее, функции р (у) Г ау /х — у| равномерно ограничены и равиостепеино непрерывны, и, таким образом, сходятся равномерно к функции р(у) 326 Действительно, если рм - р слабо в Еп, то гпр (г) — гпр (г) поточечио (здесь глр (г) — функция гп(г) с плотностью р). Поскольку™кроме того, функции гпр (г), гпр (г) монотонны, непрерывны и равномерно ограничены, то сходимость равномер- ная.
Следовательно, Тз(тр (г(х))) Тз (гп (г(х))) равномерно по х. Заметим, что г з(х)1з(гп (г(х))) ~ С зтр е Цн Поэтому р (х) р (у) р(х) р(у) /)' )х бу 0 " бх бу. !х — у ~ !х — у! Поскольку 1цп ю/ /'р" (х)тих > /рт(х)г)х, ю доказательство (3.4) закончено. Отсюда следует, чта существует решение ртт Е ьТ)ч задачи (3.2) . Так как рж ограничено л имеет компактный носитель, то при доказательстве (3.3) п.в. можно действовать так же, как при доказательстве леммы 1.!. Докажем теперь, что р)ч непрерывно. Положим и7ч )тр + /' + Ли (3.5) где ~ р — объемный потенциал с плотностью р. Тогда Е'(р)ч) — Ли = ср ')Š— и)ч.
(3.6) Покажем, что ргт < /тр. п.в. на множестве (и)ч < с(Фр.) /Р ). Действительно, если р)ч = Фр„то п.в. Е' (р)ч) < Ли в силу (3.3) и тем самым ввиду (3.6) с(Мр,) /Р = ср )Е < иж ( с(Р7р,)ПР; пришли к противоречию. Аналогично, р)ч = /чр, п.в. на множестве ( и)ч > >с(Атр,) /Е ) и р,ч > 0 п.в.на множестве (и)ч > О), ри = 0 п.в.на множестве (и)ч < О).
следовательно, 0 ( ри < А7р„п.в. на множестве (О ( и)ч < с(/)7р,)'/р)и тем самым ввиду (3.3), (3.6) ср')Š— ии = 0 п.в. на этом множестве. Поэтому имеем п.в А'р., если иж > с(Фр,)')Р, ,в — итт), если 0 < и)ч < с(Мр,)')Е, (3.7) О, если и)ч < О. (3.8) Д о к а з а т е л ь с т в а. Из (3.3) имеем )ж < Е(ри) = — У~и — /'+ ср'/Р иа (р7ч ( А7р ) Возьмем хо так, чтобы !хе! < (1/2)А7в., г(ха) > (1/4)!)7а„ рн(хе) = !п7" ри(х). !а! > О/з)тча, т(а) ) О)4)Фа~ (3.9) 327 По теореме 7.2 из гл. 3 функция р,ч монотонно невозрастающая па г при т > О, и потому и)ч строго убывает по т при г > 0 (задача 2 из з 1).
Следовательно. мно- жества уровней ( (г, т); ик(г, т) = о ) имеют меру нуль. Поэтому в правой части (3.6) имеем непрерывного представителя функции рж, Л е м м а З.З, Существует достаточно большое У такое, что Л)ч < О, если А7 > У. Тогда РЯ(хо)(ача,) < Сат, откуда рзч(хо) < СФ р,. Таким образом, так как б< 3, ср УВ(хо) < е(Н)ВУ-ара/В е(уч") -ь О, если /ау -+ (3.1О) Кроме того, Уо,(хо) > М/2/ч'а„, у (т(г)) С -/'(хо) = /' йг г(хв) уч"а аз (3.11) (3.12) Подставляя (3.10)-(3.12) в (3.9), находим, что (ЗЯ) имеет место, если Ф достаточно большое, Л е м м а 3.4.
Если ИЪ У, то (3.13) зпр руч(х) < р,. хи я лри условии, что У достаточно большое, Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р = бр,/в, где  — шар с центром в начале коор- динат, О < д < 1 и / р (х)с~х = М. Тогда радиус у2 шара В находится из формулы .и' (4/З)а/тзВР, = М; у(т(г(х))) л уа(т(г)) р(х)дх < 4еЯОР /' гУг, в га(х) о а щ(г) < 2М аг У2др, = — —. 3 г 2 й" Вспоминая, что уа (т) монотонно неубывающая, и вводя замену переменной щ = = Зг /2Н~ в последнем интеграле, получаем /' — Р(х)с(х < 4аВВР./о < С(УУР.) М уо, у а (т(г(х))) (3.15) в га(х) ! где у,а о / (/а (т)/щ) д щ о Далее, так как р(у) М / ду.- —, в |х — у~ 2Я /'./ Р(х) р(у) М' бх,У > > С(о )аУВМВУз вв !х — у1 М (3.16) 32В Действительно, так как Хуч > О и рн имеет компактный носитель, утверждение (3.13) верно согласно такому же доказательству, как в лемме 2.2.
Л е м м а 3.5. Существует положительная константа С, не зависящая от/ч', такая, что ~узМзуз чу~~, > уп (3.14) для некоторой С ) О. Наконец, кб ('р т(х)б» < с(бр )1/Фм — сд>/рр>(змз(3 в (3,17) где использовано соотношение 7 = 1 + 1/б и (2.14). Комбинируя оценки (3.15) — (3.17), получаем С(б )1/3 .2 Е(р а 1/3 3/3 1 Р ) е Сл>/Р— 1/3 Мч /3 с положительной константой С Выбирая б достаточно малым (зависяшим лишь от М и функции (), можно сделать выражение в скобках больше, чем 1(2. Поскольку, наконец, р е йн, если />> достаточна большое, та Е(р>ч) < Е(р) и получаем (3.14) . Ле м ма 3.6.Пусть рл = М ' ( рп(х)>/х.
(1»1 < Аа,) Тогда существуют положительные константы А (достаточно болен>ая) и Ь (достаточно малая), обе не зависящие от/>/, такие, что дл >Ь, если (>/>У, (3.18) где >1>' достаточно большое. Доказательство. Излеммы 3 5 следует, что — 1/зМ 5/3 ( (/ Ф( )~>ч(у) < х ~( ) >ч(у) Ср, М ( (3' ~( + 1» — у ) (1х1, 1у><лх„) 1» — у ~ 1 + 2 ( )>(Х)Р3>(Х) < СР>(З(Д М)3(З + СО>/3М3/3 1ПА; (1х1 > Аа ) А здесь мы использовали лемму 3.4 и оценку (2.2) . При достаточно большой А получаем (3.18).
Л е м м а 3.7. Существует положительная константа В (достаточно большая) такая, что зирр рп С (х ~ х ~ < Ва ) )Г/Ь > У (3.19) Тогда р, (Аа.) 3 < СМ, следовательно, р, < СА ар. < >>Гр„если Ф > У. Из условий (3.3) имеем ср>(р > и(х,) > и(х,) — и(хз) (и = ин) так что (с )> = )>р, ) р(х,) ~ р(х ) + ср,'(р (' г> (2(П>(т)) т> т (3.20) при условии, что У достаточно большое. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что х, >= ецрр рь> и ~ х> ~ ) Ва,; придем к противоречию. Возьмем х, так, что>х> ! <Аа„,г(х>) > (1/2)Аа., р> = р(х>) = 1п)' рп(х).
1»1 < Аа г(х) > (1 (2)Аа где г; = г(ху). Кроме того, бМ Р(х,) > — (по лемме З.б), 2Аа, СМ ! Г(х ) < — 1и — (ввиду (2.2)) а„В В з у' уз(т(г)) уз Суз — А <— 2гз~ Азат ' где у, = гоах у(т). Тем самым (3.20) влечет актау бм СМ ! СД вЂ” < — !и — + з + С(р.А ')'УР. 2Аа, а„В В А 'аз Если А и В достаточно большие (зависящие лишь от М и У), то, используя (2.14) н (3.!), получаем Ср Уз 4Аа, А что невозможно при достаточно большой А. Д о к а з а т е л ь с т во теоремы 3.1. Выберем р=ру, У»также,как в предыдущих леммах. Достаточно показать, что р — функция, минимизирующая Е(р) при всех р Е ьь,. Пусть р Е ьь.
Определим ! р(х), если !х ! < Ла„р(») < — ~гур. он(х) = 0 в противном случае. Положим туч (х) = Оучр,Ув (х), где  — шар с радиусом а, н центром в начале коор. динат, а Он определяется по формуле ,( туч(х)УУ» = М вЂ” / оуч(х)»У». н' Я* Кроме того, пусть руч = оуч + гк. Так как 0н ~ О, если Ж -ь, то рн Е $н, если уч достаточно большое, скажем У'э у!У(р). Непосредственно проверяется, что Е(рн) -+ Еу,р), если Л'-+ (3.2! ) По леммам 34 и 37 имеем рн е-.й д пля всех У» > У»' н позтому Е(р--) <Е(руч).
Так как рут Е ь»В, то Е(рж) <Е( рн) . Таким образом, Е(РВ) < !!ш Г(Р и) = Е! Р ). Ф Т е о р е м а 3.8. Задача (Ес) инеег рещение р такое, что р = Уо, носитель г' ограничен и П = ((г, з); —,р!г) « = ~р(г), 0 < г < с где р (г) — ~оложигельнач ненрерыенан урункцнч на открытом множестве. Д о к а з а т е л ь с т в о аналогично доказательству теоремы 3.1. Фактически, оно несколько проще, так как оценка р, = 1 тривиальна; относительно последнего утверащения см.
(1.24) . Рассмотрим теперь сжимаемую жидкость с общим баротропным "давление— плотность" соотношением р = Р(а). Положим с Р(з) Ф(г) = г~ 2 о з так что Р (г) ч "(г) = —. г Функционал энергии представим в виде Еч,(р) = —— 1 р(х) р(у) охну + 2 я' л' !х — у1 1 у' (лт(г(х))) + — !' р(х)йх + ( Ф(р(х))г!х, 2 н* г~(х) ив (3.22) а условия равновесия— и= Ф(р) в С=(р>0), Ее~С (3.23) где $(Г) = Ф (Г). Предположим, что Р(Г) положительна, строго возрастающая н гладкая при г > О, н что Р(г) 1пп!пà — =К (0<К <' ), гЧз Р(г) 1йп — = О. гцз (3.24) (3.25) чэ (г) 1пп — = О.
г о гз!3 Пусть Ме = (4К!се)з!э (3.26) где с' — константа, определенная в (2.1) . Рассмотрим задачу: найти функцию р такую, что Еч (р) = ш Еч (р) доц (3.27) 331 Тогда ч'(г) — положительная строго возрастающая гладкая функция при г>0, ЦО) =О,и Иг) 1пп 1пз — = 4К (О < К < ' ), г. г!/3 Т е о р е м а 3.9. Если М < Ме, то существует решение р задачи (3.27); р— непрерывная функция с компактным носителем и р(г, г) не возрастает ло т приз 1 О, Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1, если верна априорная оценка решения р, аналогичная оценке из леммы 2.2. Из (3.25), (3.2б) следует, что сушествует положительное число р. такое, что *Мзуз гуз (3.28) Можно теперь действовать как в лемме 2.2 и установить, что г(г(р(х)) < 4(р.). Начиная с зтого момента, когда мы будем говорить о сжимаемом случае, то будем иметь в виду решение задачи (В), хотя большинство результатов распре.
сграняегся н для решений задачи (3.27), как в теореме 3.9. О п р е д с л е и и е 3.1. Положим у'( ) Ц(т)= — — (О<я «1), та,М (3.29) 1 1.'У =.У гу (т) г(т. о Жидкость называется медленно вращающейся, есин О < С,, ц (1) < С, с некоторой положительной кочстантой Се (3.301 в сжимаемом случае н 0<1, 9(1) <С, с некоторой положительной константой Се (3.3! ) в несжимаемом случае. Физическая интерпретация ь) н д (т) чана в задаче 4. Введем у'0 ) у, =Х вЂ” у«„ е нг (3.32) у, = шах у(т). ак Тогда (3.30) означает, чго уьз <Сьа„М, уз ч:О,а,М. (3.33) тпрр р Г (х;!х1 <У)а, ) . (3.34) Этот результат справедлив как для сжимаемого, так н для несжимаемого случаев.
Так как а, -- радиус нгара с плотогостью р, и массой М, то ьпррр О (х;!х1<а ), (3.35) Доказательство теоремы 3.10 полуиется просто оовторением доказа»ельства . еоремы 3.1 с учетом того, что различные константы Сне завися» от М, у, если (3.33) выпогшяетса, Замечание Зл, Обозначения в доказательстве теоремы 3.1 можно нс. сколько упростить, если не следить за явной зависимостью опенок от М н У.
Одна- 332 Т е о р е м а 3.10. Если жидкость медленно ярагцающаяся, то существует лоложигельния константа УУ такач. что для всех 0 < М< ко мы указываем иа зависимость, имея в виду приложения к асимлтотнческим оценкам, В следующем параграфе мы рассмотрим приложении к быстро вращаю- щимся жидкостям. Задачи !. Доказать (3.21) . 2. Доказать теорему 3.9. 3. Для вырожденного газа ("белые карлики") Р(г) = АР(х), где х = (г/В)дз и Р(х) х(2х — 3)(х' + 1)Пз + Загс тих, н А,  — положительные константы. Проверить (3.24) при К < 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
