Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Доказать, что — Е(р,) ~ = ) Е(р) о <Ы 1ук а залпе. Пусть те(г)=тр . Тогда гл (г) — те(г) = ет,(г), т,(г) <Сг~. ЕслиМ=1, р(г) =2зг ( р(г,з) сЬ,то о ) р(г) Й = т (г), так что тр(г) = р(г ). Для вычисления производной при е = О чпена, вклю иющего у,положимХ =1'з. То~да 1ХРаь(тг)г — ХРЕ(то)г 1 = = 1 ой(ть) г + е ХР(Е(те) — ь(то)) г г1 +1з поскольку т, -+те равномерно, то Гг ')'оЕ(то)г '. Далее, 1з=а ' ) Р(Е(т,) — Итие))г 'г1г= о ь = е ' ),) (р+го) Е(т,(г)) т„(г)йгг 'гтг— о о — е ' ) ) гоЕ'(ть(г)) т„(г)Фг 'Иг=Т, — Тз.
о о Поскольку (р+ го)Т.'(т,) = — 2,(тг), 319 (, = — е-'01. (т,)(ог-з -2т. (г)г-з) -. -+ — Х ой(то)г 'дг+21 та(г)А(то)г з = — Кз +К*, о о где К1=1ипУ! Кг = 2,(о(х) )' й(то)г здгдх, г(х) Наконец, е 1з =е '1,('г 'ог — 2,(т,)с~тдг= оо дг = ) г ' о 1А (те) — е ' ) Ь (т, )аг -+ 0,1 о о 2. Пусть р(х) = р(г, г) = р(г, -г) > О, р имеет компактный носитель. Показать, что (1) объемный потенциал рЬЬ ду л' 1х — у1 й 2. Оценки объемныл нотеицналов Для любой функции ре 1е или р Е фо полояазм ро = зпр р(х). хяль Очевидно, ро < 1, если р Е 6 о.
Лемма 21. Если р Е 1Ь или р Е $о и р(г,г) нееозрастаетлогдля г>О,то впр 1'(х) < с'Мз~з р,',~з хин' (2.1) (с =2 (3(4я)з1з) СМ /' С1х 1 'з /Г(х) < — 1п~! + — ) (х Е Яз), .. ) (2.2) где ао определяется из формулы 4я Роаоз М 3 (2. 3) и С вЂ” достаточно большая пояснительная константа. ие зависит от В, (Н) если р ограничена и убывает по г дпя г о О, то 1' строго убывает по г, г ~ О. 1У к а з а н и е. Для (1) рассмотреть Пт, х), где те (т, г, В) = (г, г, В + зз) .) До к а з а т ел ь с т в о. Для доказательства (2.1) рассмотрим задачу о максимизации функционала Р(У) 1(р) = ) Иу (х фиксировано) и'!х — у! при ограничениях О < Р (У) < Ро ° ), р (у) Ву = М.
Очевидно, решение представляется в виде р = рорл для шара В с центром х и радиусом ао. ВычисляяУ(р) с таким р, получаем л»вво»е» У(р) = 4яро [ — = 2ароаво = с'р Пв Мттз Теперь покажем, что СМ т СЯЛ )т(() < — 1п~1 ао если х (Я,0,2). (2.4) Ыу "(х)<ро У = Сроао, (1 -т1<о,) !х — у! то )т(х) < СМ/ао, что влечет (2.4). Таким образом, остается рассмотреть случай Я >Аао. Пусть|" (у (т, В,т); !т — Я[( Я/2, [2 — т ! < Я) иВ'мЯ~и5.Посколь. ку для у ~Е В имеем ! х — у ! >Я/2, то отсюда немедленно следует, что р (у) СМ 3; — иу< —.
В' !х — у! Я Остается оценить интеграл РЫ ду = [ р(т, 2)Ат~12 Х 8 ! х —,У ! (1»-л1<л!2) (1о-л!<л ) л тв(В Х / [(2 — 2) ото +Я вЂ” 2тЯсовВ! 2 2 1/2 ОбозначаяЛ 2 — т., амЛ2+тв+яв, Ь=2тя,имеем л тг1В ,ЦЛ,т,Я)= )' -л [Лв + г' + Яв — 2тЯ сов В ! П' (2.5) АВ 2К(й) м2т(, =2 (2.6) о (а — Ь сов В) П2 (а + Ь) Пз где хв = 2ЬЦа + Ь) и К(й) — полный зллиптнческнй интеграл первого рода; см. формулу (291 00) в [55]. Так какао =4тЯ(Л2+ (и+ Я)'),тол-»1 при Лв+ (т — Я)2-» - О. Функция К(й), имевшая особенность прп й = 1, обладает следуюшей асимптотн- 21. А.
Фридман Предвюложнм, что Я ~ А ао, где А — положительная константа, которую определим ниже. Так как кой (см. формулу (117.01) в [55]): 4 ,2 К((с)-1и —, ((с' =1 — (сз) при (с- 1, (с Используя формулу (с' =(Лз +(т — /с) )/(Л +(с+Н) ), заключаем теперь нз (2.б), что Ст Л2 + (. + (7) 2 ./(Л,т; Н)< !иС [Лз +(т+(!)2) с(2 Лг +(т (7)2 для некоторой достаточно большой положительной константы С. Наконец, так как ) Л ! < /! и ! т — А ! < Ю/2, то С(! У(Л,т,я)<С!и,, И,. (2.7) [Р 2 2 (т о)2[1(2 Теперь, применяя оценку (2.7) к уравнению (2.5), находим С/с 1<Р(р)ыС О р(т,г)!и, 2 сстссг.
(2В) (!г-Л)<Я(2) [(г — Л) +(т — (С) (1*-г!<и) Кроме того, имеет место соотношение М= 2я / тр(т, г)с(тс/г > С/! // р(т, г)с(тссг, л (!г-Л !<Я(2) (!2-е!<л ) Рассмотрим теперь задачу о максиьшзации и (р) при ограничениях 0 < р (т, г) < ро, /[ р(т, г)с(тс(г < СМ//!. ()г-Я ~ <Н(2) (12-г)<Я) Очевидно, что максимум достигается при р = ро/22, где Р= ((т,г); (г — г)2+ + (т — (с) < 2') н гРоз' = сат/м. подсчитываЯ и'длл атой плотности Р, столУчзем СЮ / см (г= Сро/ 1и — сс(3 <Слог~~) + 1и — ()< о е 3 СМ (' Сро(! Л СМ С(! < — 1'1+!и — ~ < — 1и— Я М Ю ао СМ / СЕ'т и(х) < — 1и(Л1 + — ), Я ао (2.9) если х=(гс,0,2), г >О.
Как н прн доказательстве (2.4), достаточно рассмотреть случай У > Аао. Доказа- Предположим теперь, что константа А выбрана настолько болыиой, что сс > >Ало влечет 2 < Я/2. Оценка для и, приведенная выше, в силу (2В) дает требуемую оценку для /. Это завершает доказательство (2.4). Далее вьведем оценку тельство, приведенное иже, ие зависит от условия осесимметричпости р, позтому можно предположить Я = О. Покажем, что $г(х) мажорируется потенциалом, плотность которого есть перестановка Р, именно и(х)< / ~(у),/,, (2.10) л'1х — у 1 где р=ро/-, С (у = (г,д,г); 0<а<а(г)) на(г) задавав виде трос'(г) =,/ Р(уо,уз,г)г/УАУт.
яо (2.11) Для доказательства выразим К(х) в виде Р(уь,уг г) и(х)= / /г /," ",, „, /у,/уз. я' (( — ~)'+й Ю '/' (2.12) Теперь для фиксированных Х и а рассмотрим задачу о максимизации функционала Р(у,уг) Г(Р)= / — /УФУ я 1Л +у1 +у2) /г при ограничениях О <Р(уо,уг) < Ро / Р (У ~ Уз ) с~у ~ 4уз = тро а 1 1 Очевидно, лтаксимум достигается при р = ро/о, где гу — круг с радиусом а. Это рассуждение, примененное к внутреннему интегралу в (2.12) для каждого г, дает (2.10). Благодаря очевидному неравенству (здесь у = (г, О, г)) Р(у) СМ Ыу < (1о-г~>г1З) ~ Х вЂ” у ! г ' Следовательно, М/ро = пюа б > са~~г. для некоторой положительной константы с.
Таким образом, для ао > О, определенной из формулы СМ ао = (С>0), Ро2 имеем а, < ао. Кроме того, 6 Г1 (г>Я/2) С (0<г<а1) С (04;г<ао). остается только оцепить интеграл Р(у) Иу. (1*-г1<г/з ) ! х — у ! Поскольку р(уы уз, г) — невозрастающая функция по г для г> 0 и Р(уыу„— г) = = р(уы уг, г), то очевидно из (2.11), что а(г) — невозрастающая функция по г для г > 0 и а( — г) = а(г) . Записывая а~ = а(г/2), имеем г 1 / у=(г, В,г); 0<г<а,, ~г1< — ~СС.
2 Таким образом, можно оценить Т следующим образо м: х1г оэ т лт лХ Р П =Ср. ( (си~со,) !х — у ! -гр о (Хг +т~)~~~ (М-г~< г1г] хат дЛ г СМ СЕ Сросо ./ — < Сроаго 1л — = — 1п —, х/г (Х'+пег)'1г+Х ' ' оо Е а, ' здесь использован тот факт, что Е > 2ао, имвюший место ввиду предположения Я > Аао при условии, что константа А выбрана достаточно большой. Это завершает доказательство (2.9). Утвержденна (2.2), очевидно, есть следствие (2.4) и (2,9). Замечание 2.1. Предположение, что р невозрастаюшая по г, х > О, не используется в доказательствах (2.1) и (2.4). Ле м ма 2.2.
Если р — решение задачи (Е) и р имеет компактный носитель. то апр р(х) < р„ (2.13) хоп' где р определяется по формуле О(Р)-О1з1 С ~г1з (2.14) и С вЂ” положительная константа, зааирящая только от К, 15. Д о к а з а т е л ь с т в о. Из леммы 1,1 ~юлучавм Ср~(Р = т'+т+ Х в С. (24 5) Так как р имеет компактный носитель и 1'-+ О, у- 0 при х -ь, то (1.10) и (1.11) дают Л= 1пп и(х)<0. Замечая также, по Г<0, получаем из (2.15) Ср'~а< К Оценивая правую часть с учетом (2.1), приходим к требуемому утверждению. Задачи 1.
Пусть Т вЂ” тор: Т= (у=(т, О,т); (е — Е) +(т — 1?) <з ), где О < з < 1?/2. Доказать, что г Э Сз' 1п — (х = (1?, О, Е)), т~я — у[ а где С- положительная константа, нв зависящая от ~?, Я, а [У к а з а ни е. Использоватьдоказательство (2.4).) 2. Другая общая модель для вращающейся жидкости получается, когда задается угловая скорость Й(т) вместо углового момента т(тл).
В атом случае уравнение равновесия имеет вид р 'рр = [7Р+тйг(т)1„ (2.16) и в функционалах Е, Е, член, соответствующий кинетической знвргии, заменяется 324 на — /р(х)У(г(х))с1х, где г12( ),1 е (2.!7) В несжимаемом случае условие равновесия имеет вид $'+У+Л>0 в жидкости, (2.18) Р+У+ Л < 0 вне жидкости. Если 22(2) = сопят = й„то У(г) = 22~г'г2. Маклорен (1742) открыл семейство реше- Р е-г в гз 22 — + — < 1 (а2 >аз).
а2 а2 Для ннх (г(х) = я(У вЂ” Аггз — А222), У= 2а1А~2 +азА2 и ч/! — е 1 — е' А, = агсаще —— ез е2 2 2ф — е3 А = — — — — атсил е, 2 е' где е = (1 — а22/а22) '12 — зксцентриситет. Показать, что (2.18) удовлетворяется, если Й а' — = 2(А2 — 2 Аа)= е а22 = — 2 (3 — 2 е2) агс аш е — — (1 — ез ), ез е2 (см. график на рис. 20) . Другие семейства решений можно найти в !691 .
3. Вращающиеся сферонды в задаче 2 суть также решения модели (1.3) с р = 1, гдеУзадана посредством (1.8). найти функцииУ(л2). 32$ Рад 20 ннй уравнения равновесия, соответствующих несжимаемым сплющенным сфероидам 3 3. Сушествоваиие решений Т е о р е м а 3.1. Задача (Е) имеет решение р, которое непрерывно и имеет компактный носитель; кроме того, р(г, г) не возрастает по т при т > О. Для доказательства теоремы сначала рассмотрим семейство усеченных задач.
Дпя произвольного Ф > 1 обозначим йп класс функций р Е 5 таких, что зпррр С (х е Я~;1х! < Фа,) 0 <р Мр, лв., где р, определено в (23 4), а а, — в (2З) с р, = р„ае = а„т.е. 4 — раз =М 3 (3. 1) Л е м м а 3.2.Существуетфункиия рн Е 61» такая, что Е(ры) = ппп Е(р); йпбн рн непрерывна в (~х ~ < Фа,), рн(г т) не возрастаетпо т при т м 0 и Е'(Рн) < йп в (Рп > О), (3.2) (ЗЗ) е (рп) м ак в (а„< 1»р,), где Хн — некоторая константа. Д о к а з а т е л ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
