Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Изложение, данное в $ 20, новое. Асимметричнью струи с учетом силы тяжести изучались в [7с]. Лдя некоторых специальных геометрий имеются результаты ло существованию и единственности. При их доказательстве используются преобразования типа годографа, для сведения задачи к нелинейному интегральному уравнению; см. Вадден и Норбюри [54], Картер [68 а,Ь! Кедн [118а],Келии Норбюри [119 а] и Лароки Стрит [133]. Результаты в задаче 5, 8 20 доказанм Теллером [171а, Ь]. Соответствующие вариационные задачи, возникающие при оптимизации теплового потока, изучались Акером [1а — с] .
Филлипс [187 а, Ь] изучал задачи минимизации для )' (] ч и ]~ + (и+)") и получил результаты, аналогичные результатам из $2, З..Альт, Каффарелли и Фридман [76, е] рассматривали задачи о струях с двумя жидкостями, используя вариационную технику; здесь условие] чи']з — ] чи ]з = Х поставлено на поверхности, разделяющейй две жидкости. ГЛАВА 4 ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ С ПОТЕНЦИАЛАМИ В атой ~лаве мы изучим вариационные задачи с функционалами вида Р (х) Р(у) 0 — с1х с(у + ) А (р (х)) Ых г оо !х — у1 о + ) Ф(р)(х)с1х (ПСА'), о где А(с), Ф(р) заданы.
Допустимые функции р удовлетворяют условиям р ~ О, 1 р(х) ссх = М (М задано) н, возможно, некоторым другим условиям. Уравнения Эйлера лля таких задач имеют вид сси =.г (х, и), а ( и = О ) есть свободная граница д ( р ) О) . Вариационные задачи указанного типа возникают в различных физических моделях, как классических, так и новых. Здесь мы рассмотрим четыре направления: з 1 — 5 — осесиммстричные вращения тяжелой жидкости; й 6-10 — вихревые кольца; з 11 — 13 — задачи об удержании плазмы; й 14 — 17 — атомная модель Томаса — Ферми. При изучении этих задач мы развиваем общие методы. Так, в й 5, получим ре.
зультатьс о разложении решений дифференциальных неравенств ~ сзи1< С1и1р (11 > > 1) вблизи х = хе при условии и (хч) = О. В й 9 установим оценки емкостей. Эти общие результаты используются при анализе некоторых конкретных моделей. Как и в гл. 3, внимание концентрируется на вопросах существования, един.
ственностн и регулярности решений вариационных задач, на гладкости н форме свободной границы, а также на асимптотических оценках. й 1. Осесимметричные вращения тяжвлой жидкости Рассмотрим невязкую и незакрученную жидкость с плотностью р, вращающуюся относительно оси г. Предположим,что течение осесимметрично,т.е.р(х) = р(г,г), гдех (г,В,г).Позаконувращения ч = г(г) 1е, где г (г) — заданная функция и вектор се = ( — зш В, срз В) касателеи к траектории частиц. Введем единичный вектор 1,= — (соаВ,йпВ), , исходящий из начала координат. По закону сохранения массы Ч (р ч) = О. (13) Далее, уравнение Эйлера имеет вид 1 (ч . 17) ч = — — ~7р + т7)г, Р (1.2) где р — давление и )г — объемный потенциал (г(х) = ) из Нетрудно проверить, что 5 (г] (ч - ч ) ч = — 1, = — т71 (г), г где з (г) 7 (г) = — ) — ~Й, г Таким образом, уравнение Эйлера принимает вид 1 чр = '7()г+У).
Р В случае сжимаемой жидкости прн политропном законе, т.е. при Р=КР, 7=1+1/11, 0(В(3, К вЂ” сонат, уравнение (1.3) приводится к виду ср'15 = )г+ 1 + Х в С (Х вЂ” сопзг), где с = К(ф + 1) и С = ( х; р(х) > О ) . В случае несжимаемой жидкости р = 1, '7Р = 1г()г+У), (1.4) так что уравнение Эйлера будет таким: Р = )г+7 ь Л в С (Х вЂ” сопи). (1.5) Мы предположили, что р = р(г, г) . Далее будем считать, кроме того, что р(г, г) = =р(г, — г),и ) рдх=М (М>0 задано). иг Определим 1 т(г)= — ) р(у)с(у, М (г ( х) < г) где г (у) = г, если у = (г, д, г).
Введем теперь функцию 1(т) (О <т <1), угловой момент на единицу массы, так что 1(0) = О, у(т) монотонно не возрастает, 1'(т) ЕС' [0,1), (1.б) Формально цри 0 < гл <1 /(гл(г)) = гт (г), (1.7) так что 1~(гл(г)) 7 (г) = — 1 3 (1.8) Мы ищем область С, для которой и > 0 в С и и=ар ~а в С= (р>0), и~б в Аз~С (усповня равновесия) (1.10) в сжимаемом слу не. и и>0 в С(р = Ел), и<0 в Еэ, С (Условна РавновесиЯ) (141) в несжимаемом случае. Мы выведем зги уравнения из варнационного принципа. О п р е д е л е н н е 1.1. Функция р(х) принадлежит классу (а, если р(х) р(г,т), р(г, т) = р(г, — т), р> 0 н р(х)бх =М; яз здесь М вЂ” фиксированное положительное число.
О п ре дел е н и е 1.2. Фуикиия р(х) лринаДлахигклассу Юв,еспир~ Ю и 0<р<1. Пусть Е(р) = — — ~ ) р(х) р(у) ах ау +. 2 ил' !х — у~ + — У т Р(х)~1х+лл 1 Р (х)г(х, 1 1'~(гл(г(х))) 2 я' гт(х) л' члены в правой части представляют, соответственно, гравитационную потенциальную энергию, кинетическую знергию вращения н внутреннюю знвргию. Рассмотрим вариационную задачу. 3 ада ча (Е).
Найти функцию ргакую, что Е(р) = т!л Е(р), РЕ К. Рнб Введем формальную производную Е(р) (см. задачу 1): Е(р)= — 1 + ) й +с 1Р(х). ~.т — у ~ г(х) (1.12) (1.13) Соотношение (1.7) очевидно выполняется, если принять интуитивно оправданное првшюложеиив, что вращающаяся жидкость в своей эволюции к состоянию равновесия двигалась таким образом, что общий угловой момент не изменялся дпя частиц массы, лежащих иа расстоянии, меньшем г от оси вращения. Определим функцию и= г +У+ а. (1.9) (1 02) Так как б и о произвольны, получаем (1.15) с Л = 1 Е '(Р) По Из (1.14), (1.9) видим, что (1.15) сводится к следующему: иоср'гр в С, и~О в РзЛС пя., так что условия равновесия (1.10) выполняются пв.
Если для решения р задачи (1.1 3) обьемный потенциал (г непрерывен, то и+ непрерывна. Тогда можно выбран в качестве представителя р функцию =(67 непрерывную в Ез, и тогда условия равновесия выполняются всюду. Рассмотрим далев несжимаемый случай и положим 1 р(х) р(у) Ео(Р) = — — 3' 3, дх ду + 2 я'и' !х — у! 1 1'(т(г(х))) — 1 3 — Р(х)д . 2 л' гз(х) 3 а д а ч а (Ео) . Найти функцию р такую, что Ео(Р) = шш Ео(р), Р Е ~о. й~ йв (1.18) (1.19) Введем производную р(у) ду Е'о(Р) = — 3, и' 1х — у~ 1з (гн(г)) г<я) г (1.20) 317 Ле м ма 1.1.Если р — решение задачи (Е),принадлежащее й, то па.
Е(р)=Л в С=(р>0), Е'(р) э' Л в ЯзЛ С (1.15) где Л вЂ” константа. Если кроме шго, объемный потенциал )г(х) непрерывен, то р непрерывна и (1.15) вьзполняется всюду. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как ( р > 0) имеет положительную меру, можно выбрать по > О, вирр цо ~( р>бо) снекоторымбо >Отак,что цо(х) =По(г,г) = = По(г, — г) и )ле(х)дх =1.
Длялюбыхб >Он ц(х) =п(гг) =о(г,— г) таких,что ц Э 0 в ( р < б ), функция Ре Р + Е(6 ( Х6) Яо) принадлеяагт 1е, если е > О, е достаточно мало. Отсюда следует, что И вЂ” Е(р)! > О, (1.16) 1,=о~ откуда (см. задачу 1) ((Е'(Р) П вЂ” ($Е'(р) По) ПЪ > О. П е м м а 1.2.
Если р — решение задачи (Ео) и р имеет компактный носитель, то Р=гс Ео(р)<Л в С, Е'(р)>Л в (1.21) еде Л вЂ” константа. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим сначала, что множество ( 0 < р< 1 ) имеет положительную меру; придем к противоречию. Выбирая по так, чтобы дпя некоторого малого Бо >0 оорр Чо ь- ( оо <Р < 1 — оо) Хпоггх можем действовать, как раньше, и установить, что п.в. Ео(р) > Л в (0<р<1), Ео(р) <Л в (0<р<1) . (1.22) По теореме 7.'2 гл. 3, решение р должно быть уже переставленным в возрастающем порядке по г для г >О. Но тогда можно показать, что (г строго убывает по г для г > > 0 (см. задачу 2).
Из (1.20) следует, по функция Ео (р) строго монотонно возрастает по г при г >О. Таким образом, множество ((г, г)' Ео(Р) = Л) (1.23) имеет меру нуль. Поскольку ввиду (1.22) множество (1 23) отличается от ( 0 < р< .< 1) на множество нулевой меры, то гпеа(0 < р < 1) = 0; пришли к противоречию. Мы доказали„что р = Уо для некоторого множества С. Отметим (см. задачу 2), что Ео (р) есть функция только от (г, г), скажем й (г, г), н Ь непрерывна н строго убывает по г при г ~- 'О. Следовательно, С = ( (г, г); ~ г ~ < оо(г), 0 < г < ', где Ь(г, ~р(т)) = Л, (1.24) у(т) положительна н непрерывна на открытом множестве ( т; й(т, 0) < Л ) ) .
Выберем (то,го) с го>0, го =д(го)>0, и пусть ге =го — о для любого малого о >О. Для 7> 0 обозначим Вг круг сцентром (то, ге) н радиусом 7; выберем 7 достаточно малым так, чтобы Взо С С. Пусть |о(т, г) = т~о(г, — г) будет определено по формуле Ло=сУв, если г>0, (Лодх=1, Если взять л(г,г) = л(г, — г)>0 с носителем в А'Л С,то функция Р + е(л — ()л) 6о) Ло = Х Ео(Р) По. Отметим, что Ло — н(то го) = 2С Х й(г,г)г(х — Ь(го, го)=й(г,г) — й(го* го) +О, в„ если о, у. О,где (г,г) ЕВ„.
318 будет принадлежать (ьо длялюбого малого е>0 н, каки раньше, находим, что Е'о(р)>Ло пв.в А~ЛС, (1.25) где Аналогично, обозначая Вт круг с радиусом у и центром (ге, ге + Б), мы выбираем тмалыми П, (г,з) = П, (г,— з] так,что и, =С! т, если з>О, (П14х= 1. вт тогда для любой функции п(г, г) = п(г, — г) < О с носителем в 6 функция Р + е Й вЂ” ()п) г), ) принадлежит 5о для любого малого е > О, Находим, что Ее(р)~Л пв. в б, где Л1 = )Ео(Р) П1 -'й(го, зо),.
если Б, у- О. Таким образом, (1.21) имеет место с Л = л(ге, зе). В следующем параграфе мы установим оценки объемного потенциала г для функции р либо в ьТ, либо в 5с. Зти оценки будут использованы в доказательстве существования дяя вариационных задач (Е) и (Ее) (в Б 3). Задачи 1. Пусть р, о — ограниченные с компактными носителями и р„р, = р+ е о принадлежат 5 ллявсех малых е >О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
