Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Ввиду непрерывности существует среднее значение Д, при котором дпя иь 0 и имеет место непрерыв. ная стьпсовка, а согласно Э 11 также и гладкая стыковка. . Лемма 19.7. Пусть 2я/3 Сае (Зя/2. Тогда для любого Д> О существует Л> 0 такое, что для из, о „имеет место гладкая стыковка в А. Л о к а з а т е л ь с т в о. По лемме 192, если Л достаточно мало, то ах о „(а) < (О, а по лемме 19.4, если Л достаточно большое, то юь 0 „(а) < О. Теперь дейст- вуем так же, как в предыдущем доказательстве. Ле мма 193. Пусть я/2 С ае ( 2я/3. Тогда существует Д > 0 такое, что если Д < Д, то нет Л ) О, ри котором для их, Ст а имеет место гладкая стьсков- кавА.
Утверждение непосредственно следует из лемм 18.10 и 19.3. Лемма 19.9. ПУсть их С2 „и и... — дваРешенил,длл котоРых имеет место гладкая стыковка в А. Тогда: (1) если Л ) Л ) О, то Д > Д, (й) если Л" Л > О,' то Д= Д', (ш) если Д Д, то Л=Л. Утверждение легко вытекает из леммы 18.10. Определение 19.1. Дяя каждого Л > 0 обозначим через сс,„(Л) значе- ние Д, при котором для иь с2~ я имеет место гладкая стыковка в А. Функция Д = = йа(Л) называется кривой решения для ьса. Из предыдущих лемм вытекает Т е о р е м а 19.10.
сйункиия й,(Л) непрерывна и строго монотонно возрастает но Л, Л>0, кроме того, Зя /си(0) ы/си(0+) = О, если — ( ае (— 3 2 я 2я /с„(0)>0, если — ( ае (— 2 3 счД < йн(Л) < Сл/Х, если Л > 1, (19.18) где с, С вЂ” положительные константы, зависящие только от а.
Легко видеть, что для любой последовательности ит —, последовательности ф, с, < Д; < сз, где с, — положительные константы, существуют подпослеловательности такие, что Дт — Д и ил. 01 н "л. а (19.19) слабо в Нт'з(Е'Г1Вл) длЯлюбого Я>0, ил О „,. - ил 0 п.в. Пусть Й вЂ” область, ограниченная ЛгОМи осью у; КО-"(о; иЕН'(Е'ЛВл) длявсех Я >О; 0<с<Див; о (г на гч"чг'М и на Е'Лй; с=О наосн у), 11 1з Ул,й,н(о)= Х ~ что — ч/Л-уг( <гт) олле~ хахг1у. гг г~ (т < н) х Тогда ил Π— минимизирующая функция в следующем смысле: Ул, д, н(ил,й) < Хл, О, н(о) (19.20) длялюбыхд>Л, оЕКО таких,что о=ил 0 на (у=и). Все свойства, установленные выше для ил п,„,справедливы также для ил д (либо прн тех же доказательствах, либо после предельного перехода по д), в частности верны леммы 19.2 н 19.3.
Бели возьмем Дт = йи (Л), то для ил 0 имеет место гладкая стыковка в А. Аналогично мы можем взять Лт =/са'Я) (Д достаточно большое) и получим (прн и; — ), что для решения ил О имеет место гладкая стыковка в А . Функция ил, В с гладкой стыковкой в А, построенная таким образом, является тогда решением задачи о струе. Отметим, что если Л, > Л,, то решения ил,, о,, ил О, для которых имеет место гладкая стыковка в А, можно построить исполь.
а а' зуя те же последовательности фи Отсюда заключаем, что 1г, > йз. Ле м'ма 19.11. Если ил и и ил д — два решения задачи о струе,то Л, = =Лзи ил~ о ил д ° В доказательстве используются принпипы сравнения, так же как и в случае без учета снл тяжести. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть иг = и л, д. Дпя любого малого б > 0 существует уа < 0 такое, что свободная граница Гг для иг имеет вид х т(У) зм (1 + бт(У)) ч/20 (19.21) 1у 1иа ~ 8,(у)~ <б лля у<у . Предположим для определенностн, что Лз <Лы Возьмем О <В< 1 и о> 0 и рассмот- рим функцию /х у — у' — а1 и~(х,у) =и~~-, у'+ й Свободная граница для этой функции дается формулой у — у — а1 х = гс.11 У + 1 при у < я( уь — у*) + у' + а х йЛ у" + йюч /~Д(1 + б ( )) ( — у + а + у'(1 — х))и» (19.22) если 1 — 6 й = — < 1 (й Т 1, если Ь 4 О). 1+5 Таким образом, свободная граница Г~ для и1 лежит выше свободной границы Гз лля и, в области(у <уь) (уь не зависит ото). Из (19.22) мы также заключаем, что у — у* — а'з гсЛ у + ) -+ О.
если а. и равномерно для у ь, уе при произвольном уе. Отсюда следует, что Га1 и Ф~ лежит выше Г, гз У всюду, если а достаточно большое, где ЛГа — преобразованное сопла, отвечающее и~. (19.23) Пусть аь — наименьшее неотрицательное значение а, для которого выполняется (19.23) .
По принципу максимума имеем и, >и,. (19.24) (Действительно, для любого большого М > 0 и любого малого е > 0 функция 2 а» Сг У=и, — из+ + е(у+М) (С=Я(1+а)) (хз + („+М)2)э)2 удовлетворяет условиям: 5Г>0 на у = -М и на свободной границе для и, аь в (у > — М); У~', если у+ . ПосколькуЕУ<Ов(0<и," <ф,топо принципу максимума У(х, у) > О, если у > -М.
Теперь возьмем е ~ 0 и получим М~ аа еа Кроме того, если аа > О, то Г " г.г Лг касается Гз в некоторой конечной точке Х = (х, у), иначе (так как (19.22) верно для всех а > 0) можно уменьшить аю сохраняя условие (19.23) . Если мы предположим, что а„> сопз1 > 0 для всех х, близких к 1, то точка Х аа не может принадлежать Лг " дпя 1с, близких к 1, и Гз, гладко выходящей из А. Поэта- муХ ЕГ; гг Гг,низ (19.24) следует ! у — у' — оь — Л, -у*- /с /с 1 ~ди,"(Х) ~ 1 ) ди,(Х) = ч/Лг — у ° х ды ~ х~ ды Отсюда Л, < Лг, если у* выбрано достаточно большим так, чтобы Г, лежало в (у < у'); приходим к противоречию с предположением Лг < Л,, (Отметим, что Аг звездна относительно любой точки (О,у), где у >у'.) Следовательно, ое -~ 0 для последовательности /с 1 1, и мы получаем из (19.24), что и,(х, у) > иг(х, у).
Тейерь если и, ф и,, то легко вывести, что для некоторых малых Я>0 н е>0 (1 + е)((е иг) <)е иг на границе множества П = — Вн(А) гг (и, < (9) и поэтому, также в О. Используя гладкую стыковку для иг в А, имеем ~ д 1д (1+с)ч/Лг =(1+с) — Я вЂ” иг)(А)~ < ~ — Я вЂ” и,)(А) = ~/Лг, 1ды ~д. что невозможно, так как Л, > Лг . Это завершает доказательство. Аналогично можно доказать следующую лемму.
Ле м ма 1932, Если иг 12 и иь 12 — деа решения задачи о струе, го !21 =(2г и ил,!2, =ил,о,. Из лемм 19.11 н 19.12 следует, что функция /с(Л) непрерывно и строго монотонно возрастает. Это завершает доказательство теоремы 18.1. Задачи 1. Показать, что (19.2) влечет (19.1). [У к а з а н и е. Предположим, что т г — положительная ось х, тг — положительная ось у. Если Хо = (хо уо), 0 <уо < хо/3, г= 2уо В = В„(Хо) Гг (у>0)и гы(Хо) > Мг, то (по неравенству Харнака) гч > сМг в В,/о(Хо), Изменяя масштаб, получаем н (хо, О) > сг М и, применяя (19.2), выводим оценку на М.
Используйте неравенство Харнака в случае, когда Хо находится не близко к осям. ) 2. Доказать лемму 19.9. 3. Доказать (19.19) . 4. Доказать, что с,/Л < х(Л) < Сч/Л прн Л ~ (с > О, С > О) . 5. Обобщить теорему 18.1 на случай плоской симметричной струи с учетом снл тяжести, см. 3 18, задачу 3. б. Рассмотрим плоскую симметричную струю с учетом сил тяжести и предположим, по в (18.1) х(г), у(г) — возрастающие по г функции. Показать, что свободная граница задается при помощи непрерывной строго монотонно возрастающей функцией х=е(у), — <у<0. !Указание.
См. 4 14,задачу 2.] 5 20. Осесимметричные конечные полости В этом параграфе мы рассмотрим модель Рябушинского в случае осесиммет. ричной полости; результаты будут использованы в следующем параграфе при иэуче. нии осесимметричных бесконечных полостей. В обеих моделях имеется препятствие Аг', лежащее в идеальной осесимметричной жидкости; обозначим/У кривую в ( х < О, у <О), полученную из% вращением вокруг оси симметрии (оси х) .
Предположим, что закусочно класса С~ кривая вида Х = Х(Г) = (Х(Г), у(Г)), 0 4 1 < Г, ттХ(Г а 0) чЬ 0; х(г) и у(г) монотоннонеубывающиеи у(г)>0, если г>0; Х(0) =( — Ь,О), Х(г )=( — а, у(г)), 0<а<Ь. (20.1) для простоты возьмему(г) = 1 и пололсим А юХ(г ) ( — а,1). Вмоделиря. бушинского мы введем другое препятствие Т, которое есть отражение ДГ относи- тельно оси у; Ф называется косом, а Т вЂ” хвостом. Соединим ( — а, 1) с (а, 1) отрезком 1 и введем множества (рис. 17) Ер =((х,у); -Е <к<Я, 0<у<И, Е Яз Г1 (у>0), Рл =((х,у); — а<х<а, 1<у<Я), 1т' — область, ограниченная ДГ, Т, 1 и отрезком ((х, 0); -Ь <х < Ь), йл = Ер '~ 1г', й =Е~ 1т'.
Г класса С'; Г симметрична относительно осн у; Г ю Г Л (х < 0) задана в виде х = Ь(у), где Ь вЂ” строго монотонно убывающая и непрерывная прн 1 <у <у', Ь(у') = О, (20.2) — а < Ь(у) <а (1 <у <у'); ГОДГкласса С' в окрестности А и симметрична относительно оси у; и б С(Е); и(х,О)=0, если — <х<Ь; и(х,у) = О, если (х,у)Я 1ь' или если ! х 1< Ь(у), 1 <у <у", и(х,у) > 0 всюду в Е; Ел=О в (и>0), (20.3) где 1 1.и = и„„+ и „вЂ” — иг ,.
у О ц р е д е л е н и е 20.1. Задачей о конечной полости (осесимметричной) называется задача о нахождении функции и(х, у) (функцни тока), кривой Г (свободной границы) и положительного числа й таких, что выполнены следующие условия: кроме того, 1 аи и=О, — — =ЛнаГ; у дг (20.4) ч и равномерно непрерывно дифференцнруема в ЙГ1(и>0)-окрестностиА; и — у~~2- 0 при (х,у)-+ (20.5) (20.6) Множество К= )Р1З((х,у); ~х !(Ь(у), 1<у<у*) о=О в й~, 0 <о<Ф в Ол) где Ф = уз 2.
т)усть (20.7) (1что 1з чл,н(с) .' ~~ ~ + Лг(ч > с) о ол уахау г)н (20.8) Рассмотрим следуаицую задачу. Задача Ул л. Найтифункцию и =ил и ЕКи такую,что 1л, я(и) = пцп 1л, н(о) н н кн (209) называется полостью. Т е о р е м а 20.1. Существует единственное решение задачи о конечной полости Доказательство проводится в несколько этапов. Сначала используем вариационный подход.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
