Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 51
Текст из файла (страница 51)
то, полагая г„ = 2! Х " — Хе! и применяя леммы 15.3, получаем (1+и) < сг при г„<г<ге. ав,!х') Следовательно, (1+и) - О, если г -+ О, в,!х'> так что ! + и(Хе) = О. Таким образом. ( и = — 1) замкнуто в й„и доказательство для ( и = 1) аналогично. С л е д с т в и е 15.4. н Е Со'(й„) . Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.2. Так как Эиь, „/ду Р~ > О, то — 1 < и1, „(х, у) < 1, если и только если>'т(х) < у < Л (х) .
Оп р е деление 152. Множество Г, =(ХЕК~; ХЕЭ(!и! = 1), и(Х)=1) называется верхней свободной границей, а множество Гт =(ХЕК~ гХЕд (1и1 = 1), и(Х) = — 1) — нижней свободной границей. Как ив й 9, имеем 1)(х) непрерывна, везде, где она вещественна, Гь = ((х, 7;(х); Ях) вещественнозначная); заметим также, что Г1 лежит выше Гз. Лемма 3.3 (о невырожденности) справедлива для 1 + и в произвольном множестве, где и < 1.
Это означает следующее. Л е м м а 15.5. Если Хр Е Г' и рЛзт (Хр, АВ) > Я для некоторого В > С/Х (С вЂ” положительнаЯ константа, не завислщаЯ от А,Д), то Вн(ХР) пеРесекает Г, О((О,у); — <у < ..1). Действительно, если и < 1 в Вя(Хр), то ввиду леммы о невырожденности зцр (1+и) > сЛВ (с>О). авдх'1 Так как левая часть не больше двух, то Л < 2)сХ. Предположим, что условия и = +1 на Г~ заменены на и = хМ и у, Ф заменены соответственно на Мчр, МФ. Пусть и~ар „— соответствующие минимизирующие функции.
Л е м м а 15.6. Пусть ХР— точка свободной границы в й~ В и С = В„(Х') С В„(Х') С а„~п (О<с<В). Тогда 1г'иьеа1<С в С, где С вЂ” положительнач константа, не зависящая от М. Это лемма об ограниченности градиента; доказательство см. в задаче 2. Л е м м а 15.7.
Если свободные границы Г; — связные неограниченные криеыес начальными точками Х; = (О,у;) и с =1Х~ — Хз 1 >О, то 1'7и(Х) 1 < Са, если Х, +Ха Х вЂ” > 26, х>0, 2 полуокружностью 7, лежащей в полуплоскостн х > О, то 2 = и(У') — и(ут) < ) 1~7и1 < СХ1У' — Уз 1. Таким образом, справедлива где С вЂ” константа. До к а з а т е л если Х' =Х', то 1~7и возможно, так как и Х' Фхт.
Кроме того, Х' У' =Х' ь с т в о см. в задаче 3. Из доказательства также следует, что 1 сй Са в области, ограниченной Г,, Гт и двл(хр) . Но зто не. = 1 на Г, и и = — 1 на Г,. Таким образом, мы должны иметь если мы соединим 2 с 2 Л е м м а 15.8. В предположениях леммы 15.6 ~Х' — Х'1 > с/Л, (15.18) где с — положительная константа. Задачи 1. Доказать (15.13) . (Указание. Для любого шара Вв/) имеем пцп ) 17о 1~ = (! 57и1', р В в если о = и на дВ, у<о <Ф, и ввиду И'г'"-регулярности гЛи = Т тЛр + х( . гЛФ =0 в В 1 (и 5 и) (и = Р) 2. Доказать лемму 15.6. [У к а з а ни е. См.
доказательство леммы 5.1. Возьмите В,(Хь „) с наимень- шим г(т > гр) так, чтобы дВВ(Хь ь,) содержала точку ур свободной границы, скажем, с и = — 1. Тогда (! + и) < сг. ~ ав,1хь „1 3. Доказать лемму 15.7 методом доказательства леммы 10,6, используя вариант леммы 15.3. 8 16. Свободная граница в асимметричном случае О л р е дел е н не 16.1. Постоянным потоком в направлении есо скоростью Л мы называем функцию и такую, что Лх, если 0 < ~ х! < 1/Л, т вешесхвенно, ир(те+тех)= — 1,солих < — 1/л, х вещественно, 1, если х ) 1/Л, т вещественно, Л е м м а 16.1.
Пусть Х„= (х„,у„) принадлежит Гг их„. Тогда для подпоследовательности имеем; ип(Х) ж и(Х„+ Х)- гр(Х вЂ” е) равномерно на компактных подмножествах йг, где ю — постоянный поток в направлении е со скоростью Л; кроме того, свободные границы для и„сходятся к свободной границе для постоянного потока в С'. То же верно если Х„Е Г, . Д о к а з а х е л ь с т и о. Так как ~ Уи(Х) — Лет!(Ш Х1,) '1г < Ср < гга то для произвольной С)0 /„: — /' ! Тг и„(Х) — Ле~/( ) /~ О, (1х1< с) если и - .
Без потери общности можем предположить, что и„ир слабо в Н~рр. цг Следовательно, Г 1~7ир(Х)1 — Лет/... Г 1г <1пп1„= О. 11х ~ ч с) Оио ~ ~ О 267 Таким образом, чие(Х) = Ле~У(, „,,)п.в. (16.1) Поскольку ~ 1ти(Хн + Х) ! <сы если !Х! < С для подходящего с,, не зависящего от С (при условии, что п цостаточно большое), то лля подпоследовательности имеем: ип -~ иь равномерно в компактных подмножествах и и(Х + Х„) < 1, если ! Х ! < 1/с,.
Поэхому ввиду леммы З.З (напомним, что и (Х„) = — 1) ! — (1+ил) л сЛ. если г < 1/с,. ав„ Следовательно, ие Ф вЂ ! в В, и ие(0) = — 1. Введем ортогональные координаты (х, у ) такие, что е имеет направление положнхельной оси х, а е~ .— направление положительной оспу. Пусть Х' = (х',у'). ю'(Х') = иь(Х). Из (16.!) имеем дю' ди ' — =О. —, =Лг', п.в.
дх' ду' (16.2) Таким образом, ю'(Х') есть функция юа (у') только от у', монотонно неубывающая по у', Так как хте Ф вЂ” ! в любой окрестности О, зте (0) = --1 н — 1 < юь < 1, то — 1+ Лу, если 0<у' < 2/Л, ю'(Х') = - 1, если у' < О, если у ) 2/Л, гт Т,'(х+х„,) —, если 1х ! < Я, и' е1 Аналогичный анализ применим к !, и к случаю, когда е вертикален. Л е м м а ! 6.2. Пусть Х„= (х„, у„) принадлежит Гз и хп -з 3, й — конечное неотрицательное число, ! у„! -++ . Тогда для подпоследовательносги имеелх: и„(Х) ю и(Х„+ Х) — и(х — е) равномерно в компактных подмножествах ( х ) — $), где ю — постоянный поток со скоростью Л в направлении е -" (О, — 1). Такое же утверждение верно для Х Е Г,. Д о к а з а г е л ь с т в о. В данном случае иь(Х) определяется в полосе Яг = = ((х, у); х Э .
$). Кроме того. иа р! -1 в любой Вт-окреспюсти (О, О), как и 26а откуда следует первое утверждение леммы. Обозначим ( п') подпослсдовательность, для которой и„- ие. Для доказательсиаа С'-сходимости свободнхях границ рассмотрим сначала случай, когда е не вертикален. Ввиду невырожценности отсюда следует, чхо верхние свободные границы дня и„в Вн и верхняя свободная граница для и лежат каждая внутри Ь-окрестности, одна в другой, при условии.
что и достаточно большое; здесь Я вЂ” произвольно большое число, а Ь вЂ” произвольно малое. Эхо дает условие пологости яз Ь 4 и, таким образом, означает, что верхние свободные границы для и„в Вл сходятся к верхней свободной границе для иь в С'.норме. Таким образом, выше. Далее. ио(-й у) гг 1, если у„+ ', (16.3) ио(-й,у) = -1 если у (16.4) Поскольку ие(0, 0) = — 1, (16.3) не может иметь места.
Должно быть е = (О, — 1), иначе ввиду (16 4) и Э ге(ох = 0 (ср. (162) ) будем иметь, что иа = — ! в Я!. Теперь можно закончить доказательство леммы, как и выше. Л е м м а 16.3, Не существует прямой 1:у=ох+В, — ° <а<0, касательной к нижней свободной границе и находящейся выше ее и такой, что она пересекает(х = О) в В> 1 (т.е. вышеА). Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим! что такая прямая! существует.
Обозначим гч постоянный поток со скоростью Х в направлении е! = (1, а)/~/1 + пз и определим ю'(х,») = н(х,у- о), о>о,, где нижняя свободная граница для ю" есть 1. Ввиду леммы 15.5 Г, должна лежать целиком на некотором расстоянии Я от 1; поэтому существует наименьшее значение о, 0«т — оь <В ~/г1 го' такое,что и~а(Х) < и(Х) всюду в Я$, и можно предположить, что равенство выполняется в некоторой точке Х замыкания множества ( ! и! < 1) (если это не так, то будем рассматривать прямую у = о,х + + 11 — е.
обладающую такими же свойствами, что и 1). Предположим сначала, что и (Х) > — 1. В силу строгого принципа максимума Х нс может принадлежать множеству ( ! и ! < 1) . Таким образом, она должна лежать на границе полосы Вл (соответствующей в') и одновременно на Г, . По теореме 11.1 (которую здесь можно применять), если Г, Г! (х = О, у > 1) Ф ф, то Г, класса С' в х = 0 и касательная имеет направление положительной оси у. Следовательно, Х не может в действительности лежать в множестве (х = 0) и, таким образом, ХЕ Г,. Согласно строгому принципу максимума теперь имеем а аи ь= — > — =Л в Х, дт да что невозможно. Если и(Х) = -1, то последнее соотношение выполняется в точке Х С 1 Г! Гт, что опять же невозможно.
Л е м м а 16.4. Существует константа Й > О такая, что каждый шар Вл(Хе) С С ьг~В,где!и(Хе) ! < 1 содержит точку свободной границы. Это означает, что Г, !.! Гт ~ ф. До к аз а т е льет в о. Если Г, 1.! Г, не пересекаетВл(Ха),то ввидулеммы о невырожденности 5пр (! +И) > сан аллгх'1 для любого достаточно большого Я. Это невозможно, так как левая часть не больше, чем два. Л е м м а 165. Если е Ф (О, 1), то Г, Ф ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
