Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Поэтому ! с( — 1ст(у) <и в у= — 1, сгу где г1 можно выбрать произвольно малым при условии, что б <бе(гс) и у <7е(б). Заключаем, что !Ус(1 — 7)1 <Ч если 7<7о(ео(я)), т.е.й (у) .+О,если у Г 1. 251 О случае т Ф 0 мы сначала выполним ортогональное преобразование (х, у) -+ (х', у') в окрестности А так, что в новых координатах наклон Жв А будет равен нулю. Применяя предыдущее доказательство н затем возвращаясь к исходным каор.
пилатам, получим соотношение 7с ( у) -+ т, если у 1 1. Это завершает доказательство теоремы 11.1. Т е о р е м а 113. Если хл, н = О, то ил, и непрерывно дифференцируемо в замыкании мнохсества ( ил и < (г ) О Вс (А ) дая некоторого д > О. Д о к а з а т е л ь с т в о. Положим с1(х) = д)ат(Х, Ф) . ПУсть стс — гладкаЯ кривая, исходящая из А и лежащая в (и < 1С),которая образует угол д скасатель. ной кст'вА, 0<4 < а/2. Покажем следующее:если и =Д вЂ” и, то и — Лс!(Х) = о(т) (11.23) (т н ! Х .4 (, Х Е ЛГ1 ), Действительно в противном случае существует последовательность Х» Е Фс г» = 1Մ— А ! -»0 такая, что ! и(Х„) — Лс((Х»)! >от„, с>0.
(1! .24) Придем к противоречию, используя блоуап-последовательность 1 и„(Х) = (Π— и(А + г'» Х)). Отметим, что 1 — и(Х») = и„(У'„), т» (! 1.25) Մ— А где У„=, ! У»1= 1. Как и в доказательстве теоремы 11.1, имеем и„(Х) -+ ие (Х) равномерно на компактных подмножествах сс~ и и'(Х) = Лс7(Х), где а (Х) = гПат (У~ с-1 Г ) . Таким образом, если У„.+ У, то и (У ) Лсс(У), ! У!=1.
Из (11.25) тогда получаем и(Х») = Лт. с!(1)(1+о(1)) Кроме того, так как Х» Е Ф,, то Ы(Х„) а(у)- " -.0 т» и, следовательно, и(Х„) = Лс1(Х„) (1 + о(1)); получили противоречие с (11.24). Доказав (11.23), теперь продолжим Юнак кривую Ф= — ЛсОМкласса Сз и обозначим 23л (В положительно и мало) область, ограниченную Фи дВп (А), которая содержит часть Фрзслодящую из А. Пусть ю — решещте задачи Ем 0 в Вл, и=Она Ю, дт« — =Л вА, дя где я — внутренняя нормаль. Тогда (см.
замечание 5А) ю Е С"е и, следовательно, и (Х) = Л«((Х) + о (г) (11.26) л л где г = ! Х- А 1, А(Х) = йзг(Х, У), Обозначим сл подобласть пя, ограниченную Ф, дг, и дВл (А), и пусть и' опре- дел яется сиедуялци ми успо в и я ми: .г Иг 0 в Ср~ Ь'= 0 иа (Лг О !У, ) «1 дС„, С на дВр(А)й дСр дпя некоторого р< Я.
По задаче 1 Р Ь'(Х) -+ О, если Х -+ А. (11.27) Рассмотрим функцию Я = о — (1 + «) ю — Иг (дпя любого «) О) в Ср. Из (11.23), (11,26) мы видим, что Е < О на дСр й Фм если р достаточно мало. Очевидно также, что Е = О на дСр й Ф н Я < 0 на дСя й дВр(А), если С достаточно большое.
Следовательно, по принципу максимума Е < 0 в Ср. Ввиду (!1.26), (11.27) «ю) 1« в С«Г|Вя(А), если д достаточно мало, скажем, если Ь <бе («) . Поэтому о — (1 + 2 «) ю < 0 в Сь. Так как о — (1 + 2«) и' = О на Лг й дСь, то до д — <(1+ 2«) — на дГйВ«(А), ди ди Аналогично до дж — в (1 — 2«)— дя ди и ввиду условия м~ Е С'+" заключаем,что ди 1пл — существует н равен — Л. хил ди х л То же, конечно, верно дпя Х Е Гь я, Х -+А. Поскольку дг!.! Гь „— кривая класса С, то отсюда следует, что производные и„, ит вдоль Ф О Гь я суть непрерывнме функции. так как эти производные также ограничены в Ва(А) г! ( и < Д) дпя некоторого д > О, мы можем применить теорему Фрагмена — Пинделефа (см. за- 253 ' и, > из(1 + е) на (иг >0) Г!Ва(Хо) (иг иль,), где Хо = (хо, 1) и е — некоторое малое положительное число.
Фактически, (11.28) следует из принципа максимума, ввиду того, что и1 > ит на замыкании множества (и, >0) Г78Ва(Хо) для некоторого 5 >О. Из (11.28) получаем ди~ ] ] диг — 1>~ — (1+е) в Хо, (11.29) да! )д где каждая производная существует в силу следствия 11.4 и равна 1; пришли к про- тиворечию. (1128) Задачи 1. Доказать (1127) .
1У к а з а н и е. Сделайте конформноецреобразованиеииспользуйте замечание 5.4,] 2. Обобщить лемму 6.7 гл. 2, на случай зллилтических операторов Е = Е аби„г„г+ Х Ь~и„г 3. Доказать теорему 11.1 в случае о = О. [Ук а за ние. Еслибы~ = (хЭ О,у =0),то надо показать,что й(у) —, если у(1. 1 — У Если (11.15) выполнено, то по теореме 6.1 получаем Сг = — лу (у < 0) дпя блоуаппредела и У(У) можно уменьшить заменой У в В,( — хо, 0) на гармоническую функцию О(!7= У на дВ„( — хо, 0)). Если к(ул) 7, ~<7<~, (о) 1 — Уп следует взять блоуал-предел Сг дпя 1 „(Х) = — (а — (А, Х)), г„ го = ! Хп — А ], где Х„= (й(у„), у„).
Так как (11.15) было исключено, дВ„пересекает свободную границу для (7 при любом г < 1. Теперь можно действовать так же, как в доказа- тельстве (11,15),и доказать, что )то 1!Го линейно; пришаи к противоречию. 254 дачу 2) к функциям и„и и /у (обе удовлетворяют однородным эллиптическим уравнениям без чпенов младших порядков) и вывести, что и„, и„непрерывны в А. С л е д с т в и е 11.4. Если хл, а чь О, то кривая АХл „гт Гл, „непрерывно дмрфереклируема в окрестности Хл „и !7ил а равномерно непрерывно дифференпи. руема в (ил „< (2) "~ Ва (Хл.а) дая некоторого Ь >О.
До к а за тел ь с та о тааизеже,как доказательство теорем11Л н11З; см. задачу 3. Следствие 1!.5. Вусловиях следствия !03 "л,, а(1) > кл„а(!). До к а за тел ь с т в о. Если хо = кл „(1) =йл „(1), то для некоторого малого Ь >0 Есин /Уе = ( х < о„у = О ) и /с(ун) -+ — ьо 1 — ун то применяем доказательство леммы 5.2 в области С, ограниченной Лс х = й(у), ( х = 0) и х = (/с (у„) ), ввиду того, что ди/да = Лу на свободной границе и Эи/да > Э 0 на дС ГЗ Л/; соотношение (ь) опять приводит к противоречию.! 4 12.
Существование и единственность для осесимметричных струйных течений Пусть Л вЂ” такое же, как в определении 10.1; положим и„= иь н, Ä— сво- Р н н,н н бодная граница для и„. Л е м м а 12.1 Свободная граница Гн начинает!ся в А. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем Л„т Л„. Тогда /сл„.
н(1) 6 неотрицательно ввиду непрерывности (лемма 10.4) . Если Ь > О, то к„„(1) > 0 лля Л > Л„, Л вЂ” Л„достаточно мало (см. опять лемму 10.4) и мы приходим к противоречию с определением Л„. Ввиду леммы !05, теорем о гладкой стыковке (теоремы ! !.1 и 11.3) (и„, Г„, Л„) удовлетворяет всем свойствам решения задачи о струе с йн вместо !1. Теперь возьмем последовательность д = и„такую, что и„-~и слабое Н,',з н п.в.вГс. на Так как 0 <и„< Д, эллиптические оценки имеют место для и„в ограниченных подмножествах ЙЛ11 равномерно относительно д.
Так как и„> О, свободная граница дяя и есть у-график. Теорема 9.3 остается справедливой с тем же самым доказательством для и; таким образом, свободная граница имеет вид Г: х=Цу), ба<у<1. Лемма 105 означает, что Г не пересекает 311 (за исключением начальной точки А) . Далее мы покажем, что й(1) =О. (12.1) Действительно, доказательство аналогично доказательству (10.14) для у = 1.
Если имеет место условие непрерывной стыковки (12.1) лля и, Г можем применить теоремы 11.1 и 11.3, чтобы получить гладкую стыковку. Эти теоремы локальны и применимы к и так зке, как и к иь Таким образом, мы установили, что (и, Г, Л) образует решение задачи о струе; это завершает доказательство теоремы 8.1. С л е д с та и е 12.2.Для решения (и, Г, Л) задачи о струе, построенного выше, свободная граница имеет вид х = й(у), Ьь < у < 1. Для единственности мы требуем, дойолнительно к (8.1) следующее; существует точка О'=( — Ь, 0) (Ь Э 0) такая, (12.2) что Л! звездна относительно О .
Т е о р е м а ! 23. Если Л/удовлетворяет (8.1), (12.2), то решение задачи о струе единственно. (1г.з) В силу (8.4), (8.14) Г лежит ниже Г лля достаточно больших х. Полагая йс(Х) = й(рХ) (р > 0), имеем: сушествуют числа р < 1, такие, что (п<Д) С (Йь<Д), (12.4) Пусть р — наибольшее число с таким свойством. Если р < 1, то сутцествует точка Хе, котораа принадлежит границе кажцого иэ множеств в (12.4) (так как йр <ив ( и < Я попринципу максимума). Кроме того, Хе должна принадлежать свободным границам для обеих функ!шй; здесь н в предыдущем предложении мы использовали свойства (!) и (П).
Таким образом, из принципа максимума Эи„ Ьи (12.5) т.е. рЛ > Л, что противоречит (12.3). Если р=1, то мы опятьдействуем, как раньше сХ" =А, и получаем Л>Л; пришли к противоречию. Рассмотрим далее случай Л = Л. (12.8) Если Г и Г заданы для больных х уравнениями у = т(х) и у = т(х) соответственно, то !!ш эл(х) = 1пп (эл) (х), Следовательно, существует р < 1 такое, что (!2.4) имеет место.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
