Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 47
Текст из файла (страница 47)
24б 1 11. Теоремы о гладкой стыковке Тео рема 11.1. Если хх „= О, то М1? Гх н непрерывно дифференнируема в окрестности А. До к а за тел ь ство состоит из нескольких этапов. Сначала мы изучим блоуап-предел последовательности 1 и?(Х) = — Я вЂ” и(А+'?Х)), и =их и, (11.1) 7 Отметим, что ив <О. Если касательная к Ж в А дается формулой ах+ Ру — )) = О, аз + ))з >О, (11.3) то дпя а Ф 0 граница йе есть у-график, состоящий из луча Уе: ах+ ду=О, у>О, (11.4) и свободной граннды Ге = д(ие > 0)~Ус. Л е м ма 11.2. Если а за О, то Ге ес?ъ луч Ге: ах + (1у = О, у < О, и Tие =— сопзп До каза тел ь ство. По теореме 4.2 Г аналитическая.
Имеем также Дне=О в йе не=О на ?ЧоОГе дие на Го дн Рассмотрим сначала случай, когда Ге — связная кривая, исходящая из О. (11.5) Покажем, что ) тие ) (7~ в йе. (11.6) Дпя доказательства этого рассмотрим отображение йн Х Х = т?ие(Х), ХЕ йе Так как и' аналитическая, и есть открытое отображение и, следовательно, ??(й~) 24? при ? = ?„- О. По лемме ! 0.6 ~ [?ит(Х)~ <С в каждом компактном подмножестве С С Аз, которое содержится в йт = — (Х; ит(Х) > 0) при условии, что ?достаточно мало (С не зависит от С). Из доказательства леммы 3.6 для подпоследовательности имеем: и - ие тн равномерно в компактных подмножествах, где ие ф О.
Кроме того, ие — функция, доставляющая абсолютный минимум функционалу у(о)= )(~ ро~'+?''?(.> о)) (11.2) в любой ограниченной области. Положим йе =(Х; ие(Х)>0). есть область, граница которой дй(й" ) состоит из всех точек вида 1!ад(Х"). где Х" Ейо, б!а!(Х", дйо) О.
Заметим, что чио(Х) Е Ф', если ХЕК, где !У' — прямая: — ах'+ !)у' = 0 (11.7) и 1%'ио(Х)1= Х, если ХЕ Го. (11.В) Используем эти факты для того, чтобы показать, что дл(йо) содержитсн в круге 1Х ! < а. (11.9) Действительно, если (119) неверно, то, так как ) чпо ! < С, имеется замкнутый круг В' (~Х' — Х' !<Ьо) такой,что В' Г! й(йо) = ф, В г1л(йо) непусто, непересекает !У и (!Х 1< Ч.
Введем обозначение г = х + !у, если Х = (х, у), г" =х*+!у', если Х' =(х', у'), и рассмотрим аналитическую функцию до В(г)=, в Йо. ио Фгио Далее, введем конформное отображение а единичного круга Е на йо, отабражаюшее комплексные чиаза Š— ! в 0 и ~ соответственно. Ток как Го гг;ч'о — кривая Жордана то а непрерывно и взаимно однозначно отображает Е на й (ввиду извест- 248 Тогда существует последовательность точек г" такая, что га Е Йо )д(гл)! (11.1 0) С другой стороны,! 0(г) ~ есть ограниченная субгармоническая функция и ! 0(г) ~ < < до < 1 на (Л!о О Го) тО. Так как Л1о 11 Го есть у-график, то существует прямолинейный отрезок с концом в нуле, который лежит вне Йо.
Следовательно, можно прн. менить лемму 6.7 из гл. 2, для вывода того, что 1лп ацр! 0(г)! <до при г- 0+0!'. Таким обРазом, !пл ацР ~ 6(г) ! < Оо пРи д!а!(г, дйо) — О, если только ! д(г)! < сала! в Ло. По теореме Фрагмена — Пинделефа отсюда следует, что ~д(г)! < д, в йо, чта противоречит (11.10) . Установив (11.9), мы имеем из (11.8), что субгормолнчсская функция 1 Чио(Х)! в й" достигает своего максимума в йо на Г'. Вспомнив соотношение д9 — + !са = 0 вдоль линии тока, где д = ~ Чио й !г — кривизна (см. задачу 3 из 8 1), ди выводим, что Г выпукла в сторону жидкости. (1 1.1! ) е а !!! ир(Х)- БЛ + ~), если Х- А, /аз+82 / т+бт/ а !8 ие(Х)-+-БЛ + ~, если !Х1-» ,/ б Я+Вз / (11.12) (!!АЗ) где Ь=! или Б= — 1, Поскольку и„е < О, мы должны иметь а = О, что противоречит предположению ачьО.
Таким образом, мы установим, что !7ие гя сольц Остается доказать (11.! 5) . Сначала покажем, что Иш ! к(у) ! (11.!4) »т~ 1 — у конечен Действительно, предположим для начала, что х(уа) -+ +со 1 — Ул для последовательности у„) 1. (11.15) Пусть Х„= (х(у„), у„), г„= !Х„1, возьмем блоуап-последовательность и, для Д вЂ” и относительно В„„(А); для подпоследовательности имеем: и„„-+ (/.
По теореме 6.1 (/» (х, О, — 0) = — Л, если 0 < х < 1, и, следовательно, о(х, у) = — Лу, если у < О. Кроме того, (7(х,у) — = О, если у > 0 (так как (7 гармоническая в области справа от сопла и обращается в нуль на самом сопле и на множестве (у = О)). Заменяя (/ в В„( — 1, О) (г мало) на гармоническую функ. цию !/ ((/ = (/ на дВ„( — 1, О)), мы уменьшим значение функционала /((7), вследст- 249 ной теоремы о конформных отображениях„см., (27, гл.
4, д 8) ). Можно выбрать о так, что оно отображает часть Э, Е границы ЭЕ (по часовой стрелке от — ! до !) на Ге и даЕаз ЭЕЛ д, Š— в Фо Предположим теперь, что»и ф сопя!, Тогда х = и,е о о — конформное отображение Е в множество В, равное пересечению (! Х' ! < Л) с одной нз двух полуплоскостей, определяемых прямой — бх + ау = О. Так как й! = !ипх(т) при г - +1, г Е д;Е, существует, множество предельных точек й(г) при г -» +г, т Е Е, состоит нз интервала у*, соединяющего х,* с й,*. (Зто следует из применения леммы 6.7 из гл.
2 к функциям Й7 х с агс!8(х/(+! — У)), с ) О, где й = х, + Йт ). Следовательно, если 7' не лежит на дВ, то х(Е) есть собственное подмножество В. Но тогда доказательство (11.98 можно применить (с подходящим кругом В' в ВЛ х(Е)) н прийти к противоречию. Таким образом, мы доказали, что дй(Е) С ЭВ и, следовательно, й отображает Е на В. Так как дЕ н Э — кривые Жордана, то согласно свойствам конформных отображений (см. !27, гл. 4, $ 81) й непрерывна в Е. Но тогда вие чего придем к противоречию с тем фактом, по сс' — локальный минимум. Если 1с(у ) -ь — для последовательности у„1 1, ! — У» то мы используем теорему 6.1 и выводим, что лля блоуап.предела бс (Г=ХУ, если у >О, что невозможно, так как (с= 0 на ст'е.
Из (11.14) и невырожденности следует, что лля любого малого г > 0 граница 6В„(А) пересекает свободную границу для и в точке (й(у„),у„) так, что (/с(у), у„) С ( с !х ! (1 — у) (11.1 б) дпя некоторого с>0- Поскольку и„е < О, то и (х, у) > 0 если и только если х ( !се(у) для некоторой функции «е( у) .
Из (1 1.! 6) мы видим, что для последовательности т„т О !се(т») конечно, !се(а»)-+О. (11.17) ПРедположим, что ( 7 < У < Я вЂ” максимальный интеРвал, на котоРом Яе( У) имеет конечные значения. Покажем, по (11 А 8) Действительно, если 6 ( О, то либо яе(6 — 0) = —, либо !се (б — 0) = +».
Рассмотрим первый случай и положим Г: х = 1се(у), 7 (у(6. Ниже Г' есть связная компонента Р множества (и» > 0). Функция ! Чие ! субгармоническая в Р, равна Х на дР и ограничена в Р. По теореме Фрагмента — Линделефа отсюда следует, что ! т и~ ! < Л в Р. Но тогда (см. (11А1)) Г выпукла в сторону жидкости, что противоречит условию /се(6 — О) =— Если хе(д — 0) =, то имеем противоречие с леммой 5.2.
Таким образом, (11.18) доказано. Из (11,16) и (11.18) следуе~, что свободная граница Ге состоит из Г' (с 8 = О, !се(0) = 0) и,возможно, одной горизонтальной прямой та =(у = 6) си = Он(у > Ц- окрестности ть. Если такая та есть часть свободной границы, то хе(7 + 0) =— (Если !се(7 + 0) = +, то должны быть точки свободной границы между Г' и ть.) Однако, доказательство (11.11) показывает, что, если Г' выпукла в сторону жидкости, то возникает противоречие с условием !се(7+ 0) = — .
Следовательно, Г совпадает с Г и (11.5) установлено. Лемма 11.2 распространяется на случай о = О; см. задачу 3. Завершение доказательства теоремы 11.1. Рассмотримсначала случай, когда наклон с!С в А конечен, т.е. т = — — б/а конечно. (1 1.19) Мы докажем, что сс(у) — "(1) -+ т, если у 11. у — 1 Если (11.20) неверно, то существует последовательность У„11 такая, что й(у.) — й(1) ! 1пп — т~ > О. У» — ! (11.20) (11.21) Полагая г = у„= 1 — у„, можем предположить, что и (Х)=й (Х)-ьи (Х), где и" такая же, как в (11,1) . Свободная граница лля и' дается формулой 1 « = я (у) = (сс(1 + 7у) — сс(1)) 7 так что 1 — Уч Таким образом, (11.21) влечет 1(щ ! ят"( — 1)+т ( >О.
а По лемме 11.2 /с~ ( — 1) = — т, где я~ — свободная граница для и . Следовательно, Ьп 17с""(.— 1) — Ус~( — 1) ! > О, что невозможно согласно доказательству леммы 3.6 а) . Наконец, если г = -+, то согласно задаче 3 1с( у) — 1 -~+, если у Т 1, у — 1 Для завершения доказательства теоремы 11.1 рассмотрим сначала случай г = О. (11.22) Из (11.20) получаем 1 — ! Рс(1 + 7У) — ус(1)! е(7У), 7У е(г) 4 О, если е с О. Отсюда следует, что если — 2 < у„уз < О, то 1 !аист(ус) — (ст(уз)! < — 1/с(1+ 7ус) — я(1)1+ 1 + — 1гс(1 + 7ут) — гс(1)1< 4е(27). Следовательно, для любого Ь > О существует те (б) > О такое, что ! ат(у,) — 1с~(уэ)1< 5,если — 2<у,,ут < О, 7<7,(Ь). Таким образом, условие пологости из а 4 выполняется.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
