Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Пусть й — область в Я, ограниченная босые х и 1,, а Э- подобласть Й, ограниченная Уи!о (рнс. 13) . О п р е д е л е н н е 8.1.л1 называется сонном. О и р еде л е н ие 8.2. Пусть Я~ = Н~ О( у > О] . Задачей обосесимметритной струе называется задача о нахоящении функции и(х у) Я Со()г +), кривой класса С' Г: Х=Хо(г) = (хо(г),уо(г)) (0<1 < ) в Я~ и положительных параметров Л, О таких, что (8.2) (8.3) где (8. 10) (8.1 1) (8.12) О яр с де л е н не 8.3. Функция и называется функцией тока, Г (или Го)— свободной границей', Л вЂ” скоростью на свободной границе и 2лД вЂ” истоком. Поток, протекающий через плоский участок Т в Я~, определяется по формуле Е= ( !та ° удЯ (у — нормальк Т), т где у — потенциал скорости.
В осесимметричном случае (см. й 1), если Т = ( и < Ц ) О Г! ( х = хо), то )с= ( р,.2луду =(2ли бу = 2лД. 228 Хо(0) =А, Го = Г ! (Ай .не пересекаетУ, хо(г). », уо(г)- й (й)0й, хо(г) '1, Уо(г)' О,если т .+ кривая У о Г класса С' в окрестности А, О<и<0 в )т„ и(х, 0) = О, если — < х < о, и=Я на 1У, 2и=О в В~О (и<(е], дои даи 1 ди т,и= — +— дх' ду' у ду (д(и <ЩЛФ] ОЯ+ совпадает с Го, так что и = Д на Г, иЕС' в (и<Я) .оцрестностилкбойточкиГ, и 1 ди — — =Л на Го, у ду где у — внешняя нормаль к Го и и е с'(Вн (А) г1 ( и < Д) ) для некоторого 11 ) О. Заметим, что, так как и = Д на Юо Г, то М~ Г есть линия тока.
(8А) (8.5] (8.8) (8.1) (8.8) (8.8) Из условий (8.2) — (8.12) можно вывести (см. задачу 1), что 1 иа ч О, — и -~ Л, если х -~ ~, у (8.13) равномерно в! и <Д) П (у>Ь!2). Следовательно, й = (2(2(Л)цз. (8.14) и вертикальный тн ((-д,у);0<у<у(Т„)); Т„выбирается так, что х(г) > — и, если 0 < г < Т„и Тп -ч, если и -ч, Пусть йн— область,ограниченная1У„, ею г„,1, ипрямой (у =О,— и <х<") (рис.
14). '1 В оригинале "сопч!ппочаа*', "чюообвта". Примеч. пер. газ Если' (и, Г, Л, Д) — решение задачи о струе, то (би, Г, 8Л, Щ) — также решение этой задачи при любом й> О. (Отметим, что й не изменится при таком изменении масштаба.) Поэтому начиная с этого момента считаем параметр Д фиксированным, Мы ищем решение (и, Г, Л), соответствующее данному (г. Предположение 8.1 гарантирует, что свободная граница Г лежите(0<у < 1), т.е, и = Д в Я.чЛ й. Поэтому далее заменяем Я+ на й.
Оп ре де л е н ие 8.4. Условие (8.2) будем называть условием непрерывной стыковки*), а (8.5), (8.12) — условием гладкой сгыковкио). Т е о р е м а 8.1. Если свило Ф удовлетворяет (8.1), то существует рещение задачи об осесиааи егричной струе. Способ доказательства теоремы 8.1 связан с вариационным подходом (см. предыдущие параграфы) . Нам потребуются области й„, усеченные слева и сверху.
Рассмотрим сначала случай, когда либо у(г) ч, если г -ч, либо у(г) ч -чу„< их(г)-ч —, если !- ". Пусть Фн (для произвольно большого и, иР'а) — часть Ф, соответствующая Х(г), 0 < г < Т„. Рассмотрим горизонтальный отрезок вн ( (х, у (Тп))! — Н < х < х (Т„) ) Рос, г4 Предположим, далее, что у(г) ~у < ~, х(г) ~+, если г ~ . Затем опре- делим Тя, как выше, и положим о„' ((х(Т„),у) у(Т ) <у <у(Т„)+и), оя = ((х,у(Т„)+и); — и <х <х(Тя)), т„( ( — и,у);0 <у <у(Т„) + и ). Теперь определим й„как область, ограниченную Уя, о„, т„, 1,, где Л'„— объедине- ние ( Х(г), 0 <г < Т„) с о„'. Определим класс допустимых функций К„= (о;оеН'з(йя г1Вл) лтй >О, О < о < (е, о = 11 на Уо 11 1,, о = 0 на тя и на ( — и < х «, у = О ), х+и = 14 на о„) (8.15) х(Т„)+и и функционал 12 Ул „(о)= 1' ~ — 7о — Х1(„кО) лре~ уИхИу, йя ~у (8.16) где е — единичный вектор (О, 1) .
Задача 1л „.Найти и =ил я бКя такую, что 1л,я(и)= тш 1л,я(о). ичко ™ Член 1(„< О)л р в 1л,„требует некоторого объяснения, Так как свободная граница есть д ( и < (1), то ( о < (2 ) можно заменить на ( о > 0) в функционале в (2.1) . Левее, наша цель состоит в нахождении свободной границы, которая не уходит "бесконечно глубоко" влево в й, т.е.
которая не входит в некоторую область Р с достаточно большим а; по атой причине мы включили компоненту Р в 1. Конечно, мы должны доказать позже, что свободная граница не касается ЪР. функционал / 1 1л „(о)= ) ~ — (го +Лз1(г<О)~р уИхс(у (8.18) ггя обращается в бесконечность для каждой допустимой функции. Позтому мы будем работать с функционалом 1л „(и); последний (как увидим) остается конечным дая потоков, почти горизонтальных при х -ь Так как по предположению й <1, в дальнейшем всегда будем считать, что Л> 2!г.
(8.19) Доказательство теоремы 8.! начинается здесь и кончается в 6 !2. Схема доказательства следующая. Мы решаем задачу1л „,с произвольными Л, и, а затем показываем, что для некоторого Л = Л(и) это решение является также решением задачи о струе в усеченной области й„. Полагая затем и, получим требуемое решение.
Мы не можем рассматривать непосредственно функционал 1 !2 1л(о) = / — ~то — Л1(, < р) ре ~ у дхЫу, и у (8.20) так как, вообще говоря,1л (и) =' для допустимыХ функций. Установим для 1л „результаты, аналогичные результатам, полученным в 8 2, 3. Ле м м а 8.2. Задача1л я имеет решение. До к а за тел ь от в о. Так как Л> 2!1, функцию не = ппл ( Лу /2, Д ) лллх > 1 МОжно пРОдолжить как фУнкцию в Кя н 1л,я(ие) < Теперь возьмем минимизирующую последовательность иа такую, что иа -~и слабо в Н '~(й» Г!Вл) ЧВ >О, иа -+и п.в.
в й„, 1(ьа <!2)Лр -~у ь-слабо в А (й Г1Вл) Чттс >О. Тогда 1 т7и» л/у ~ — Л/(на<!2Лр е)-ь /' слабо в А (Йя Г! Вл) ь/В >О, у / тги где/'=л/у ~ — — Луе . Так как у = 1 пв. в (и < Я Л Р,у= О в1Лто у 1л и(и) < / ! /! <!пп !п(1л и(иа), йя а где и = ил я — яроизвольное решение задачи lл я.
Док а затея ь ство. Пусть 1.о= 0 в В,(Хе), и=и на дВ„(Хе). Л е м м а 8.3. Существует нолояштеаьная константа С, не зависящая от и, Л, такая, что для любого шара В„(Х ) С йя,гдеХе = (хе,уе), т <ус/2, 1 — (Π— и)<з СЛу влечет и < !г в В„(Х ), ав,(х') Определимо =и в Й„ЛВ„(Х ). Тогляул я(и) <7Л я(о),так что 1 0 Э / — т7(и-.
и). T(и+и)— в„(х'> у д — 2Л / — (и — о) — Л' / УТ(н-О)>р, в,(х' > ду в„(х' > Первый интеграл равен величине 1 / — ( т(и — )! в„(х > у Вводя (2 — и(Х +гХ) й(Х) = Д о(Хо +гХ) й(Х) имеем Эо Т.йг— е (Лй — — = 0 В,(0), у +уо/г Т.й но в В,(0) / 1>7(й — д)~ <ЗЛ (у ) / 7(й=о) . в, (о> в, (о> (8.22) 3.1, заметив, что Х рав- Теперь можем действовать, как при доказательстве леммы номерно эллиптнческий в В> (0) незавнснмо от г .
Л е м м а 8.4.Для и = их я справедливо неравенство и(х,у)<(2у'/ЭЛ, где»4=(2(с/Л)'4 . (8.23) формуле (8.21). Тогда Д о к а з а т е л ь с т в о. Определим ие в ьтя по гпш ( и, ие) — допустимая функция. Следовательно, Ое7х „(и) — ух „(и>!п(и, и,)) = 1 / р(и — т1п(и, ио)) 17(и + т(п(и, ие))— г>44 У д — 2Л / — (и — ппп(и, ие)) + Оя(Р Э>' +Л,~ у(т(я<(2) — 7(твп(я,и4><(2) (4 +ге +4з ° а„~р Имеем 1 14 = / — 17(п>ах(и — ие,О)) 17(и+по). 44я У 232 (см. доказательство леммы 33 ) . Второй интеграл равен нулю. Следовательно, / 1 т(и — о]~' < ЗЛ'( уо)' / /( = (2) в,(х4> в (хь> Поскольку можно интегрировать только по ( и > ио», то 1 Т, = ) — » йотах(и — ис,О)~з + йи У 1 + 2 » — Ч(птах(и — ие, 0)) иие. йи У Последний интеграл равен б » Л вЂ” гпах(и — ие, 0) = йио(, <а) бу ) Л гпах(и — ие, О) = О, йито(у>о»то а(и, <о» так как и, = (2 > и в последнем подынтегральном вЬ|ражении.
Таким образом, 1 Тт = )' — ~ й(поах(и — ие, 0)) )т йи У Палее, а Тз = — 2Л ( — тпах(и — ио, 0) = (йиЛтт)о [и, < ст» дУ = — 2Л ) очах(и — ие, 0) = О, (йиттт»то (у >о»о а(и, < о» Наконец, Тз = Л' )' у(Е(и<Я) — 1(и<о»ы(и, <О»)= йиЛт' = — Л 1 У~(и = й) т1(ио < й» ' й»Лр Комбинируя зти оценки, получаем 1 0 Р." )' — ~ Тт птах(и — ио, 0) ~~— ,у ут(. = а) (. < 0» > йиЛО (~ уио 1' > 1йи~,д) о(и = Д» о(ио < О) " » У 1 2 + ( — ~ 7(и — иа)»з = Х вЂ” ! %'(и — иа)»з.
йи о(и, < и < д) у йод(ио <и < д» у следовательно,и <ие в йи г1(ие <Д)гч(и <(г». Теперь можно применить доказательство теоремы 3.2 (с очевидными изменениями) в компактных подмножествах й„. Таким образом, и непрерывна в й„и, очевидно, также на ти. Тем самым и(х, у) < Д, если у > О, у мало и х близко к — и. учитывая непрерывность и, выводим, что и < ие в (ги, где ио < (е. Те о рема е.5. Функция и = их и непрерывна по,Липшииу в каждом компактном подмножестве йи, которое не содержит А или точки, где дйи ф С'+ Доказательство. Непрерывность по Липшицу в компактных подмножествах й следует так же, как в теореме 3.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
