Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 42
Текст из файла (страница 42)
С другой стороны, если В„(у) Л д(и» > 0) Ф, то и» гармоническиевВ,(у),и то же верно для ио. Леммы 3.1 и 3.3 остаются справедливы для ио, что следует из предельного перехода для и». .следовательно, доказательство теоремы 3.5 также верно для ио, так что Для доказательства е) выберем ограниченную область Р, Р Е й. Для любых функций о,и — ие ЕНе' (Р), и цЕСе(Р), 0<ц< 1,положим иь = и+(1 — п)(иь — иь), й,(х)= Д(ха + рьх). Поскольку и локально минимизирующая (если 1с достаточно большое), то )(~'7иь ~'+7( >о) Ы)» )(~'7пь ['+7(„>е)0ь). о сь>0 Полагая 7с -ь и используя 4), получаем Л[~..~' 7(„„)а'(..И- о (ч >о » / [[ч и!а + 1(,)7( )Д'(хе)[+ 1 1( „,) 12~(хо) о о Выбирая итак, чтобы и= 1 в Р;, Р 1Р, имеем Х[! "7ие ~ +~(„> )0~(хе)[» 1[1~'о[~ ~(„> )О (хе)[ О (и~ > е) для любой функции п такой, что о — ие ЕНе (12); это завершает доказательство.
1,3 Задачи 1. Доказать утверждение из замечания 3.1. 2. Обобщить теорему 3.2 на случай и Е Се'(й С1 Я,) на любом открытом подмножествеЯь С дй при условии,что Я, класса С~+~ и ие ЕСз' (Я~). [У к а з а н и е. Сравнить с доказательством теоремы 8.5.) 3. Доказать утверждение из замечания 3.2. 4. Рассмотрим Мо) = Х 07 о !' + Л((„) ) и, с и' — = 1„Л > О. Согласно принципу симметризации (см. Э 7) любая абсолютно минимизирующая функция и должна быль вида и = и(г), г = [х й и ввиду Э 4 для и(г) существует не более, чем конечное число точек свободной границы. Доказать, что: а) миниыизирующая функция иь единственна; б) если 0 < Л < Ле, то иь - =1; в) когда Л>Ле, то иь(г)= О,если и только еслиО<г<Ал и Ал>0, Ал 1 при Л1. 5.
Предположим, что ЭП~Я ограничено. Если и' имеет ограниченный носитель, то любая локально минимизирующая функция имеет ограниченный носитель. [Указание. Пусть ЭПЛВ„С Я, ие = 0 в ЭПЛВл, Р = ВзлЛВл, (след и) чь 0 на ЭР П й. Продолжим и нулем в А" т(Вл О й) (тогда и субгармоническая) и положим Ьо=О в Р, о=и на ЭР.~ Функция (е > 0) [ и + е ппп(и — и, 0) в й О Р, [и,в ПЛР принадлежит К и ( и, > 0) = (и > 0).
Показать, что Х [С ш)п(и —, О)[' = — — 3(и,и, <О, аоо ~Й 218 так что и<и в Р; следовательно, С— = ьпр и< автя и по принципу максимума и < С в Вп'1Втя. Далее а)едует действовать как в лсм. ме 3.3 (см. замечание 3.2) .) й 4. Регулярность свободной границы Введем понятие пологости в начале координат О (ОЕ д(и > 0)) по направлению еи положительной оси х„; определение зависитот параметров о,, о, т. 0 предел ение 41. ПустьО<о+,о . < 1, т> О. Будем говорить, что и принадлехгит классу пологости Е(о«, о, т) в Вр, если ОЕд(и>0); и(х) = 0 при х„Р- о,р; и(х)> — Ц(0)(х„+о р) при х„< — о р; 17и!<12(0)(1+т) в Вр, ото 0< О(0)т.
вл Если в определении 4.1 начало координат заменить точкой хр и направление е„— единичным вектором т, то и принадлежит классу уплощения*) Е(о„о, т) в Вр(хр) по направлению т. Т е о р е м а 4.1. Пусть функция 1г непрерывна по Гельдеру и и локааько минимизирующая. Тогда для любой ограниченной области Р, Р С й, стществуют полозгитваьные константы а, й, ое, те такие, что справедливо следующее: если и ЕЕ(о, 1, ) в Вр(хе)С Р по направлению т, (4.1) где о<о, и р <тест)С, то Вр)4(хе) Г) о(и > 0) — поверхность класса С~ ~~, она задается уравнением х„= чр(х,,..., хч )), р Е С, если направление оси хч берется в направлении р. Условие (4.1) называетсяусловием пологости.
Т е о р е м а 4.2. Если п = 2 и 1г непрерывна по Гальдеру, то для любой локально минимизирующей и свободная гранича О(и > 0) есть локально класса С"" кривая. Эти две фундаментальные теоремы принадлежат Альту и Каффарелли [оа); доказательство длинное и здесь не приводится. Комбинируя теоремы 4.! и 4.2 с теоремой 1.4 из гл. 2, можно получить дальнейшую регулярность свободной границы.
В частности, верно С л е д с т в и е 4.3. Впредполозгеииях теоремы 4.1 или 4.2, еслифункция й аналитическая, то свободная граница аналитическая. й 5. Некоторые леммы В доказательстве теоремы 3.2 оценка 1Ри ~ может зависеть от и; действительно, из (3.5), (3.6) имеем !Ри(х)!<С(1+ ьор и). (5.1) В„(х) «) В оригинале "т)а)пете" — ))риме«. пел В некоторых приложениях важно иметь оценку Ри, которая не зависела бы от шри.
Такая оценка дается в следующей ленм е об ограниченности градиента Л е м м а 5.1. Пусть Р— ограниченная область, Р Е й. Суичеетвует константа С > О, зависящая от Р, й, 0„, „такая, что для любой минимизирующей и, если Р содержит точку хе свободной границы, для и, то 1Чи(х)1»<С нри хЕРГ1(и>0). (5.2) Л о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р, = дМ(Р, дй).
Для каждой хЕРт1(и >О) найДУтсЯ точки х,,..., хь = х в Р (К зависит от Ре) такие, что хт Е В,, (хт, ) Пля ) = 1,..., х, т„= ра)4. Выберем йа Е ( 1, 2,..., й] наибольшим среди таких, что В,„, (ха) содержит ~очку уе Е д(и > 0); такое йа существует, поскольку В,„, (т, ) содержит х,. Тогда и гармоническая в В,„(хт,) для у> не + 2 и по неравенству Харнака и(х;)<С 1 и = Си(х;. ~). эвз С 1 Так как и субгармоническая. имеем, кроме того, и(хх,,) (» С ( и < 4СС*то апат„(т,1 по лемме 3.1. Следовательно, и(х) < С для каждой х Е Р т.е. анри ~ С, где С зависит о только от й, Р, Д „.
Используя эту оценку в (5.1). завершаем доказательство леммы. 3 а м е ч а н и е 5.! . Если и лишь локально минимизирующая, то проведенное выше доказательство остается верным при условии, что т, выбрано достаточно малым (зависяшимот е в определении 2.1); Стогда зависит также от е. 3 а м е ч а н и е 5.2. Если мы используем замечания 3.1 н 3.2, то найдем, что лемма 5.1 распространяется на случай, когда Рпересекает дй лри условии, что дР т1 дй содержится в открьыом подмножестве ТС дй класса Сз' и и = 0 на Т.
Следующий результат, су:цественно опирающийся на предыдущую лемму, связан с поведением свободной границы вблизи фиксированной границы области и устанавливается в случае, когда й — двумерная область. Обозначим Х = (х, у) точку из й. Пусть С вЂ” область в й, ограниченная четырьмя кривыми: .У =.У ~ ~,У = У1 + й (Ь > 0); 71' ХаХ'(Г); 7т. 'Х=Х (Г), где О < т < Т, Предположим, если Х'(т) = (хг(т), ут(т)), то у1<у(т)<у)+й при 0<т <.
Т; У'(0) У,, У'(Т)= У, +й; хе <хт(т)»<хе +д. Кроме того,7, лежит справаот 7,; более точно, х'(0) <хг(0) и 7,,7, не пересекаются. Предположим. наконец, что принадлежат д(и > 0), (5 .3) и >0 в некоторой Счзкрестности 71 чг7т. Я, — открытое подмножество дй класса Сз'", (5.4) и=О на Я,, С=41аг(С, дй~Я,)>0. Л е м м а 5.2. При указанных выше условиям имеем Ь<С6, (5.5) где константаСзависит только от С,, дй, Д«ао«, Д«о;о, зпРио. Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу задачи 2 из 6 3 получаем (5.1) с й вместо В,(х); ввиду леммы 2.3 заключаем, что 1(Эи(Х) 1 < С в С«, (5.6) где С занисит от тех же констант, что и в утверждении леммы. Пусть Со (ХЕ С; и(Х)> 0), а =у,, Ь =у, +Ь; применим формулу Грина ку — а и и в Со.
ду ди и — 'сЬ вЂ” 1 — (у — а)«й = О. ас, ди аи„д" Так как и=О на ЭСо гэ(а<у <Ь) иу — а=О на (у =а), а также — ди/Эи > 0 на дбо С«(а <У <Ь), то ди Д(у — а)й< )' иг1х+Ь 1" — а«х т, «э г, ьо, гэ(«=ь) ав, г«(т=ь) ди (5.7) Используя (5.б), находим, что второй член в правой части ограничен величиной СЬ 6, а первый член ограничен С6' (поскольку и < С6) . Замечая, что ( д( ) ««д Ьэ т««э 7« получаем из (5.7) Д Ьа <СЬ6+С62 ди — — « О на 7«. ди (5.8) Заме чан не 5.4. Хорошо известно [108),что если Ли=О в й, и ~ Со(й) и =о«на дй и если Яо = Вл(хо) гэ Эй — поверхность класса С ~ и ч«Е С '~(Яо), то и Е С' ' (Яо). То же верно также дпя общих зг«пиитических операторов с гладкими коэффициентами, Используя этот факт, можно заменить требование принадлежности классу С ' в задаче 2 из 62 и в замечании 5,2, а также в (5.4) на требование принадлежности классу С' '~.
Ь б. Сходимость свобошнах границ В этом параграфе мы установим для случая и = 2 обшую теорему о сходимости свободных границ, соответствуюших локально минимизирующим функциям им. Эта теорема может быть также использована, когда свободные границы, соответствующие и, сходятся к фиксированной границе. 221 откуда утверждение (5.5) следует, 3 а м е ч а н и е 5.3, Предыдушее доказательство остается верным, если 7«лежит на дй н Пусть ь1 — открытое множество в 11' такое, что НП й чь 4, У не обязательно содеРжитсЯ в й. ПРодолжим им иУлем в У~йи пРедположим, что и ЕСе(Н), Я„ сутьконстанты Лю; такимобразом, и,„>Ои Ьи,„=О В УГ1 (иы>0), Н т1 д(и >0) класса С'+и(0<а<1), (6,1 ) ди — = Л на УЛд(и,„>0) (Лю >0), ди где и — внешняя нормаль.
Предположим, что при и Л (Л>0), ию -+и равномернов У„иЕН'(Н), Чи,„- Чи слабо в А'(У), 0т1(и >0) -~ Нт1 (и >0) по мере, Н Г1 д (и > 0) Е С'+", (6.2) ди — — = Л на Ут1 д(и>0), ди Д о к а з а те л ь с т в о. Для любой неотрицательной функции 1 Е Се (Н) имеем (6.4) У (и — У Ч( Чи — -3' Ч( Чи д(иы>о) (ию>О) (и>О) (6.5) ввиду предположения Уп(и >0)- Утз(и>0). Используя последнее свойство, можем также вывести, что ь" < йт 1п(,( д(и>0) м д(ищ >Е) Действительно, для любого вектора у' Л +т'ез <1,имеем ьт'и= Г Ч (У- д(и>Е) (и>О) ( >Е) Взявши"=У1 такой,что у=и на ьт(/~ д(и>0), ( ( < 1ппш( и1дд(и>О) т д(и >Е) (6.6) = (Ты )з) такого, что уд Е Сео(У), (у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
