Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Пусть хе Е Г(из) О К. В силу (10.2), если ез = ее досгаэзчно мало, то условие МЖЛ(и2) О В,(хе)) > о(2) Распространим полученные результаты на задачу Стефана. Напомним, что — Ли+и,> — 1 и>0 ~1 пв. в й', (10.15 ! ( — Ли+и,+1)и О! где й ' — некоторая окрестность свободной границы и и,>0, и„Рг и прнналле;кат Е, (10.16) (10.17) Отсюда следует, что дая каждою: > 0 ьи =7; 7''= 1+и, >1 в й' гадж. (10.18) Определяя Оч г = ( х; ! %'„и(х, г) ! < е ), Ф, = (х; (х, г) Е)ч' ) если и! — два решения задачи Стефана такие, что 1 иг — иг 1ь 2 а й" — область, й*'С й', й," = ( х;(х, г) е й" ) . Кроме того, (Лг(иг))(-с~) С Л,(и,) с некоторым С > О.
В итоге получаем следующий результат. Т е о р е м а 10.7. Пусть и,, иг — решения задачи Стефана, Предположим, что свободная граница для и, представимо в некотором цилиндре Р (в ( ! > 0) ) по формуле 1 х» бг(х~ х» — г г). Кг ~ С Пусть б — произвольная мааая положительная константа. Если и')с "(о ! <ее (6) где еь достаточно мало (зависяи)ее от б), то свободная граница для иг в:О( а! представима в виде Х» =тг(Хг,...,Х» 1, Г). тг ЕС и аналогично Л,, Г„согласно доказательству леммы 10.1 можем вывести и(О, г Г1 К) <,Се(и(К) +А(Я)), (10.19) где К вЂ” любая область в В", содержащаяся в малой окрестности точки х; х Е Г.
Аналогично д((х; 0<и(х, г)<ег) гтк)» се(и(к)+А(ю)), и((() Ос, ) д(В,(х)) Н.,(Г, и К) < С(и(к)+ А(К)). Далее, и ((Л, (и ~ ) Ь Л, (из )) Г1 й г ') < Се, здесь Р(а> = ((х, г); спет((х, г), Р) <ь ), аР( ь> о»редеаено аналогичным образом. Доказательство аналогично доказательству теоремы 10.6 Задачи 1.
Если — Ьи +у)~0, и,>0, ( — Ьи>+Д~)иг=Опв.в й,и; =О надй,где дй~с"а, У,.~Т,"(й), то для любого е ) 0 !и1 — иа! ( <е, если !у, — уз! (и достаточно мало. 2. Если свободная граница дпя и, в теореме ! 0 6 локально (скажем, в К) пред- ставима в виде х» у,(х... х„1), ХЕ С, то свободная граница для и, задается [в произвольном подмножестве К'СК, се =йзт(К',дК)) 01 ввиде «» тз(«1, -,«» — г), где> з б С' и 1Х, — гз1 < Сее1>з; С зависит от тех же констант, что и ее. 3. Теорема 10.6 и полученные результаты неверны, если условие невырожден- ности Г" > Х не выполняется.
Проверить зто утверждение в случае л = 1 при — и» ~ О, и ~ р, и" (и — р) = 0 в — 1 < х < 1, и( — 1) = и(1) = О, р(х) = ех', — 1 < е < 1. 4. Обобщить теоремы 10.6 и все предыдущие результаты на случай эллиптического оператора дзи ди Аи = — Хад(х) + Х Ьг(х) —, дх, дх. дх> 1У казан не.
Для леммы 10.1 надо проинтегрировать по частям ) И',РгУ.[ З 11. Свободные границы с особенностями Пусть й — выпуклая область в Я" с границей класса С, симметричная относительно х„= О, Отождествим Я" с гиперплоскостью ((х, 0); х Е и» '), где х' = (хы, .., х„,). Пусть Š— открьпое множество в В" ' г> й и Š— замкнутое множество в Е» ' г> й такие, что Е С Е Запишем зги множества как непересекающиеся объединения их открытых и замкнутых компонент, соответственно, Е»!.>Еь Г=!.>Еь (1 1.1 ) и предположим, что Е> С Гг 'Фб Пусть р — функция класса Сз в й, !а < 0 на дй и и — решение задачи с препятствием ,>" 7и ° т (о — и)йх > О Ь'о ЕК; и Е К; (11.2) 199 ь где К = ( о Е Не (й), о > р п.в.
) . Обозначим Л коинцидентное множество, а Л вЂ” его внутренность. В следующей теореме установим разложения Л = О Л, Л; — замкнутые компоненты, (1 1.3) Л = О Ло;, Ле; — открытые компоненты такие, что Е =Л пл, с'.=Л пл" (11.4) Те о ре ма 11.1. Пусть Е, Е такие, как указано выше, Существует строго сулергармоническая функция р класса С (те. Ьр < 0) в й, р < 0 на дй такая, что для решения и имеетмесю разложение (11.3) с соотношениями (11.4).
Отсюда следует, что когда (х, О) — точка сгущения компонент ры свободная граница имеет бесконечно много компонент в любой окрестности (хе, 0). Интересно сравнить эту ситуацию с положительным результатом, полученным в [138а! (см. также задачу 6 из й 2) в случае, когда з~ — строго вогнутая функция; Ф гомеоморфна кольцу и, если с аналитическая, à — кривая Жордана, допускающая аналитическую параметризапию. До к а вате льет в о. Для любого открытого множества 0 СА"' существует неотрицательная функция а(х) Е С такая, что 0 = (х Е А; и(х) > 0) .
Действительно, если В = В„(хг) образуют покрытие О шарами, содержащимися в 0 с т. < 1/2 и Г Е С, ((х) > О, если ! х ! < 1, ( (х) = О„если ! х [ > 1, то можно взять /х — х! т (х)= Хо1Г[ ) (аг =((7) ). 1 Пусть 0 =ЕС ЯЯ ' и построим а(х ), каки выше. Положим Г+ = ( (х, а (х )); х' е й О В" ' ), Г = ((х',— а(х')); х'Еййй" ') н разобьем й на три множества йь: х„>а(х), й: х„< — и(х), Л: — и(х )<хя <а(х ).
Отметим, что Ес !п((Л) ОА" Рассмотрим задачу Коши Ьо=1ья в й„ до о=О, — =0 на Гь. дхя Лемма 11.2. Существуют функции ц Ь из С (й+), место (11.5), (11.6) и Ь обращается в нуль на Г+ вместе со водными; кроме того, о>0, Ьо>0 в й+. Д о к а з а т е л ь с т в о. Используем соотношение Ьо=! в йь (11.5) (11.6) длл которых имеют всеми своими лроиз- (11.7) и (1 1.6) для того, чтобы подсчитать формально производные д' из(х)= — и на Г+ дхз (предполагая,что иЕС ) и затемопределим и(х', х„) = (х„— а(х ))з Х из (» ) ( (сз (» — а (» ))) а=7 /с! (11.8) здесь 3 — срезающая функция одной переменной класса Се, ! = 1 (в окрестности начала координат.
Если выберем, например, с„=2+ Х 1РЕиь! -, !в!ся то ряды в (11.8) сходятся равномерно в йь вместе с каждой своей производной и согласно определению и„ Ди(х) — ! и все ее производные (! 1.9) сходятся к нулю при дйзт (х, Г ) — О. Возьмем сз = О и рассмотрим первый член в (11.8) Т= из(х)(хо — а(» )) . 2 Легко подсчитать, что и =(1+!тта(з)-~ и тем самым Т положительна в йт. Увеличивая с„, если необходимо, можно остаток ряда сделать произвольно малым, скажем 1 о — Т1( Т/2, Следовательно, и> О в й+.
Записывая 1 х„' ! ~7 а ! з + 2х„а — а* Т= — х,т 2 2(1+ 1 оа ~т видим, что ДТ вЂ” 1 можно сделать произвольно малым, если а(х ) заменить предварительно на еа(х ) с достаточно малым е. Тем самым ДТ > 1/2 в й+. Увеличивая с„, если необходимо, получим Ди > О в й+. Определяя Ь = 1 — До и вспоминая (11.9), завершаем доказательство леммы.
Теперь определим и в й по формуле и(х', — х„), если »Ей и(х) = О, если »ЕЛ, и положим Т= ди в йь !.! й Т=1 в Л. ТогдаТЕС" (й), Т>О в й. Пусты/г — решение задачи Дф = — Т в й, ф = — о на дй. Тогда и = с + Ф удовлетворяет условиям ли=о в й~Л, «=0 на дй, и=4, 9и=Ччэ на дЛ, «> д в й~Л. Таким образом, и есть решение вариационного неравенства с препятствием й, и первое соотношение в (! 1.4) верно. Чтобы удовлетворить второму соотношению в (11.4) заменим ф на р(х) = = Ф (х) — 8(х ), где б Е С, б > 0 и Е= ( х'; б(х')=О) (б построено таким же образом, как и а, но с заменой Е на (Я" ~ П й)~Е). Множества (и = Ф ), ( и = Р) могут отличаться лишь на множество меры нуль.
Следовательно, и — решение задачи с препятствием, соответствующее препятствию р. Так как Ф = — с иа дй, 18 < 0 на дй за исключением, возможно, иа дй и Е" ' и (так как ЕС й Г1 Я" ') 8(х') < 0 на этом множестве; таким образом, у<0 на дй. Далее, Л$ < — е < 0 дпя некоторого е и, эаменяи ф(х') на бб(х ) с достаточно малым б, приходим к неравенству ьс < О. наконец, так как Р < ф на (й г1 Г1 Е" ')~Е, второе условие в (11.4) также выполняется; доказательство закончено.
Далее дадим примеры аналитических супергармонических препятствий, для которых свободная граница имеет особенности. Рис. 8 Возьмем аналитическую кривую Г, самопсресекающуюся в одной точке А вида " " как на рис. 8 (такая кривая дана в задаче 2), н пусть Л обозначает замк. нутое множество, охватыв ае мое Г, а )г — некоторую окрестность Г. Рассмотрим зацачу Коши Ьй = 1 в 1т', дй й =О, — =0 вдоль Г.' ди 11о теореме Коши — Ковалевской зта задача имеет единственное аналитическое решение й в Лг 11 Г при условии, что окрестность Р достаточно мала.
Так как дэй — =1>0 на Г, диз й >О в тт'. Продолжая й в Л нулем и полагая и=й — !х !з/2, Ф= — !х !г/2, заключаем, что имеет место Т е о р е м а 11.3. чоункция и имеет решение в й задачи с препятствием — Ьи > О, и > р, Ьи (и — р) = О в й со строго вогнутым аналитическим препятствием р, и свободная гранича Г имеет точку самопересечения в А. Можно также простроить примеры, в которых область Лг не сужается до малой окрестности Г; такие примеры даны в следующих задачах. Задачи 1. Пусть й — область в Я~, Л вЂ” замкнутое подмножество, ограниченное кривой Г кусочно класса С', Л/ = йтЛ. Пусть Дг) — голоморфная функция в Лг, непрерывная в Ф О Г и такая, что)'= р„— ьрт на Г, где ре С' (Г).
Тогда функция и(г) = = КеТЯг)с/г есть однозначная гармоническая функция в Ф и и = чт, 7и = '7 р на Г. 2. Пусть о(г) = — ~л + -) + — 1чг — — )Р(г), 2 г) 2~, Р(г)=гз +2+г '. Тогда о(ее) = соаВ+ е/! с™ + 1 !з и образует кривую Г формы " " при 0 <В < 2я с точкой самопересечения, соответствующей В = я/2. Показать, что дпя малых е > 0 кольцо А = ( 1 < ! г ! < 2) отображается посредством 6 взаимно однозначно на множество Ф; внутренняя граница Феста Г и внешняя граница — о ( ! г ! = 2 ) . Пусть Л вЂ” множество, охватываемое Г, й = Л/ и Л, Это обозначение будет использовано в двух следующих задачах. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
