Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Обозначим р' сопряженное р отражение. Тео ре ма 813.Если ! 7з! <! 7~ 1, то р'(Рз) С Рз. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим 13' треугольник со сторонами 7з, 7з, 1, где 7з С 7з и 1 С 1, и положим П= р (П'), Так как 1 Уз! < ! 7, 1, Р' (7з) (и следовательно, также Р (Р')) содеРжитсЯ в й. Углы треугольников В', 11 в точке 1 Гз 7з равны, и поэтому они меньше, чем я12. Следовательно, если х С дРз Гз Р, то Й(рх) — а (х) < О.
(8.33) Рассмотрим функцию зч(х) = и(рх) — и (х) в В,. Согласно (8.33), если хз Е дРз й ГЗ 11з, то и (х) = и(рх)) — а(х) < а(рх) — д(х) < О. На остальной части дВ, должны иметь зо (х) < 0 (как в доказательстве теоремы 8.12) . Так как — Ь и < 0 в Р,, по принципу максимума и (х) < 0 в В. Из этого неравенства можно теперь вывести, как в доказательстве теоремы 8.12, что р' (Рз) С р(Рз). Метод доказательств теорем 8.12 и 83 3 основан на принципе отражения.
Этот принцип может быть применен также н в других ситуациях. Рассмотрим случай, когда й — не обязательно многоугольни;. О и р е д ел е ни е 8.2. Пусть х Е дй, х не является угловой точкой,Ло (х ) обозначает нормаль к дй в хо, а и — отражение относительно Фо (хо).
Предположим, что а(ЙГ1Т )СПСТз, (8,34) где Т, Тч — две полуплоскости, на которые 1уо (хо) делит плоскость. Тогда будем гово ритыпо х обладает свойством отражения. Т е о р е м а 8.14. Пусть хо = ~'(яо) не является угловоа точкой, и предпслозаим, что о г(о)+ (о) (о) — точка свободной границы, т,е, Т(яо) + а(яо) р С Р, если 0 < р < ро (яо) Т(яо) + + а (я о ) р С. Е если р = ро (го ) + е для любого мачого е ) 0 Если хо обладает свойством отрахгенил с лолупчоскости Т, содерхшшей точки Т(я), я )яо (я — яо мало), то — ро(я))0 в я=то, (8.35) ая До к а з а т е л ь с т в о.
Рассьютрим функцию ю(х)"- и(о ~х) — и(х) в Е юЕ О о(й й Т ) Она удовлетворяет условию — Ью<р — Ли=О в Еь. 170 На ЭЕ+ имеем зг(х) = О, если х бЛс(хе), сс(х)=0 — и(х)<0, если ХЕо(дзсО Т ), нс(х) = и(а„) — Н(х) ~: с((о„с ) — Ы(х] < О, если х Е дЕ+ О о(с с О Т ) (при выводе поазеднего неравенства использовалось (8.34)). Следовательно, по принципу максимума нс- .0 в Е+, т.е.
и(о„') <и(х), если ХЕЕ+. (8.36) Обозначим сс, сЕ+ функции расстояния от кривых х = Т(з), з <зе, и х = Т(з), з > зс, Положим 7 = ( У(з ) + ри(з ), 0 < Р < р (з ) ) . Тогда 8гас(с( =йтас)с(+ =и(зе) на 7. Вводя ортогональные координаты (р, з) (где х =Т(з) + и (з) р), имеем Э Э вЂ” с(,=0, — с(,=1 на 7. да Эр Кроме того (см. (7.7), (7,8)), Эз Эз дз Э' — с1с - бз-О, с1+ - — б на 7. дрз Следовательно, ! Сс+(Хе) — Сс (Х с)1 0(Е ) если х, лежитна нормали к Лс(х ) в Д(з~)+и(зе)р (ае)и ХсЕТ+ СПЗ!(Хс 7)=Е Х с=и Хс, (8.37) Предположим теперь, что (8.35) неверно, т.е.
предположим, что сс' Ро(з )< О; сй (8.38) С другой стороны, если о, г имеют касательное и нормальное направления к свободной границе в точке у,то в у (и с~)оа (и Йсг = О, (и — с7)гт ~ О. Следовательно, и(х,)<с(+(хс) — Ссз (С>0). Используя (8.37), выводим, что и(хс) < с( (х с) + 0(ез) Сез и(х )+ 0(ез) Сез что противоречит (8.3б), если е достаточно мало. 171 придем к противоречию. Из (8.38) получаем, что х, ~Е, х, бсздлямалогое)0, поэтому и(х,)=сз (х,), Обозначим Е, первый квадрант плоскости.
Предположим, что й удовле~воряет следующему условию: дй класса Сз'", (8,39) й симметрична относительно осн х и осн у. Множество дй ГтЯ, имеет вид у= у'(х), 0<я<а, где у'(х) < О, (8.40) у' (х)<0, (8.41) г (х) неубывающая. (8.42) (1+ ( г (х))з)з~г Условие (8.41) означает, что й вьптукла, а условие (8.42) — что кривизна в точках (хгу(х)) поверхности йй й Н, неубываннцая прн возрастании х. Ле мма 8.15. Если й удовлетворяет условиям (8.39).-(8.42), то свойство отражения выполняется в каждой го ~ке дй. До к а з а т е л ь с т в о этой геометрической леммы см. в 1591 . С л е д с т в и е 8.16. Пусть й — область, удовлетворяющая (8.39) — (8.42). Тогда свободная граница состоит из двух кривых: Г+.' (х, У(х))+Ре(х)и+(х), -п<х<а, Г; (х, -Г(х)) + ре(х) и (х), — о < х < а, где 0 < п < а, ре(-х) = ре(х), и (х) — внутренняя нормаль к д й в (х, +у'(х)); л1уяк.
ция ре(х) монотонноубываетло х лри 0<х<а. Отметим, что если п = О, то нет точек свободной границы, тогда как, если ре(а — 0) ) О, то две кривые образуют одну связную кривую. П р и м е р. Если й — внутренность эллипса .2,2 — + — =1, а)Ь, аэ Ьз то условия (8.39) — (8.42) выполняются. Задачи 1. Доказать теорему 8.11.
1У к а з ан не. Использовать теорему 8,1, чтобы обобщитьлемму 8 8.) 2. Распространить теорему 8.5 на случай когда Л вЂ” дуга окружности ( г = гс, В, <В <В,) ии„заменено наив, отметим,что Еив =0 в Е. 3. Пусть г =. Ь(В) — свободная ~ранила вблизи вершины входящего угла. Оценить число локальных максимумов Ь в терминах дфдВ вдоль Эй (см. задачу 2). 4. Доказать, что если й имеет Тформу с осью в качестве оси симметрии, то нет компонент пластнчнощн, с основаниями на тех сторонах дй, которые параллельны ог н х,, и одна нз концевых точек которых есть вершина входящего угла.
5. Рассмотреть правильный пятиугольник. Обобщить теорему 8.12, доказав, что если Р, — петля пластичности с основанием на стороне 1, н 1 1г ! < 1 Ь ~, то рц(Р,) С С рр где рб — подхо; ящее отражение. 6. 1о же доказать лля правильного шгстиугольника. 7. Доказать, что Е соде1тчнтся в еа-окрестности ребра Е, где е„О, если ив действительности е„= С7д, С > О, см. [58 Л. (Этот рсзультат показьщаст, что теорема 8.5 дает лучшую сценку прн больших р,) 172 8. Если (2 — прямоугольник, то для всех достаточно больших и Е содержит (с/д)-окрестность ребра (с > 0). 9. В обозначениях (8.30), (8З!) доказать, что а) р(х>) имеет в точности одну точку отражения в интервале 0(х> <а; в) р (и — 0) = О. (ук аз ание. Использовать методиз й 7,1 8 9. Свободная граница в задаче Стефана В этом параграфе для оператора теплопроводности будем испольэовать обозначею>е Ни ы «>и — иг.
Функция и. удовлетворяющая уравнению Ни = 0,>называется тепловой; если и удовлетворяет неравенству Ни > 0 (< 0) в смысле распределений, то она называется субгепловой (супергепловой) е). Задачу Стефана мы изучали в гл. 1. Здесь будем считать выполненными условия (9.9) а также условия на область, поставленные в й 2 этой главы. В й 9 из гл. ! было доказано, что Л'(0) С ЛГ(Г), если Г>0, (9.!) где М(г) = ( хе СВ и(х, г)>0) и ди 0< — <С, дг Реп ЕА, (9.3) Напомним„что при доказагельстве (9.2) использовалась задача со штрафом (9.!2) из гл.
1. Дифферащнруя параболическое уравнение по г, получаем урзвнение Г а;ге; -Н вЂ” — + бе>ие) = О, дг дг из которого согласно принципу максимума выводим, по ди, — > О, аг отсюда следует (9.2) при е — О. Заметим также, что -Н вЂ” < 0 и, следовательно, Н("г) ~> О (9.4) т.е. температура и, субтспловая. Покажем здесь, что и, непрерывна, а затем распространим результаты й 3-5 на параболический случай. Введем параболическое расстояние с!((х, г), (хо, го)) = ( ! х — х„> з + ! .' - го !) ит *! В оригю>ало '"са>сп>У "зчьса>о>!с", "заре>са>о>!с". -.
Примеч. пер. 173 и модули непрерывности щ,(г)=С! )пг! '(С>0, е>0), (9.5) от(г) = С2 '"Ы (С> О, 7> 0). (9.6) Т е о р е м а 9.1. (!) Температура ие непрерывна в й Х (О, Т). (!!),Фея любого компактного множества К С й Х (О, Т) температура ие равномерно непрерывна с модулем непрерывности со,(г) нри любых 0 < е < 2((л — 2), если л > 3 и от(г) при любом 0 < 7 < 1/2, если л = 2. В модулях непрерывности г — параболическое расстояние.
Для доказательства теоремы нам понадобятся несколько лемм. Л е м м а 9.2. Пусть тг — ограниченная субтепловая измеримая функцич, определенная в цилиндре Р Х (О, Т). Тогда существует функция и такая, что (!) ю = и п.в. в Р Х (О, Т), (й) и лолунелрерывна сверху в Р Х (О, Т), (т)для любого изара К, К С Р, если г удовлетворяет условиям езг — г,=О в КХ(ее,е,) (0<ее <е, <Т), г = й на параболической границе К Х (Ее, Е, ), г>Й~ в КХ(ге,ге). Доказательство см.в !58с!.
Начиная с этого момента считаем, что Уг — представитель обобщенной функ. цин У, дня которого выполняются свойства (!) — (й!). Продолжим й нулем в й'1С. Ле м ма 9.3. Функция и,нееерерывнав 1=0. До к аз а тел ь ство. Покажем, что Ет(е) содержится в 8(е).окрестности С, где 8(е)- О, если е — О. (9. ) 9.7) Действительно, в противном случае существуют точки (»"', е"') такие, что и(х, Е ) >О, Š— О, д!ат(х, С)>2с>0. Рассмотрим функцию ! оч'(х, Е) = и(х, Е) — — (! х — х"' ! + (Š— Е)) 8п на множествеес точек (х, е), таких,что и(х,е)>Он !х — х !<с, 0<с<с"'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
