Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Чтобы применить результаты З 1 — 5, надо установить неравенство à — Ьр > 0 на Г. Приведем полезные достаточные условия выполнения этого неравенства. Л е м м а 7.3. Пусть выполнено (7.5); предположим, что Т- ~лф. 57(У- дф) (7.6) не обращаются в нуль одновременно. Тогда à — Ьчр > О на свободной границе для и. До к аз а тельство. Пусть ф = à — Ьф. Предположим, что ф(хе) = 0 в некоторой точке хе Я Г и придем к противоречию.
так как 17 ф(хе) чь О, то длялюбого малого е > 0 и Я > 0 имеем ф< 0 в К, Г1 Вл (хе ), где К, — конус: Кч =( — (х — хе,[7ф(хе) >с /х — хе 1). Функция ц = и — д тогда удовлетворяет неравенству — Ьц>0 в К,гэВл(хь), и, так как ц > О, цо строгому принципу максимума ц > 0 в Кч С1ВН(хе). Немного увеличивая е, можно предположить, что ц>0 на Кч с1дВл(хе).
Поскольку раствор конуса К, можно сделать сколь угодно близким к я/2, сушест- вует (согласно задаче 6) гармоническая функция вида й(х) = !х — хе) Яб) в Кч, где 1 < Л < 2; б — угол между хех и осью К,; й(х) > 0 в К„ /г(х) = 0 на дК,. По принципу максимума ц(х) > сЦх) в К, О Вл (хе) для некоторой малой константы с > О. Следовательно, ц(х) > сух(0)! х — хе ! ь вдольоси К,. Так как,однако ц(хе) =О, 5~ц(хе) =О, то ц(х) < М ) х — хе !~, что противоречит предыдушему неравенству. 152 Теперь можно перейти к рассмотрению свободной границы в задаче упруго- пластичности. Для большей ясности изложения сначала рассмотрим случай с одно- связной областью й, при этом ограничимся двумерным случаем.
Предположим, что дй состоит из конечного числа непересекаюшихся дуг Я„..., Я,„И КОНцЕВая тОЧКа Гь дуГИ Яь ЕСТЬ НаЧалЬНая тОЧКа дуГИ 51+ Ь (Е,„ь, = = 5,, 1' = ео); предположим также, что каждая 51 принадлежит Со+о вплоть дэ концевой точки. О и р е д е л е н и е 7.1. Обозначим а, угол, образованный Ьь и Яь, ь в Гп обрашенный в й.
Если а; > я, то будем говорить, что Г; — вершина входящего угла; если иь < я, то будем называть гг верщиной выходящего угла. Для упрошения изложения в дальнейшем всегда считаем что ей Ф я. О п р е д е л е н и е 7.2. Ребром й будем называть множество всех точек хо е й таких, что И(х) не принадлежит С" (г') [ь любой окрестности г" точки хо; здесь д(х) = д)з1(х, дй) . На рис. 5 указаны ребра различных областей. Рис 5 Чтобы охарактеризовать ребра с геометрической точки зрения, нам понадобятся несколько лемм. Л е м м а 7 4. Если а (хо) = ! х„— у ! = ! хо — т !, где у, г — различные точки дй, го о((х) не дифференцируема в хо. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Вдоль отрезков х,у и хог функция д(х) линейна и ее производная равна — 1; направления хоуо, хот различны. Если с((х) дифференцируема в хо, то ! 5гд(хо)! = 1 и должно быть лишь одно направление Е вдоль которого дд(хо)/д1= — 1; приходим к противоречию. 3 а м е ч а ни е.
Обозначим Ео множество всех точек хоЕ й таких, что д(хо) = = ! хо — у ! = ! хо — т ! по крайней мере для двух различных точек у, е Е дй. Л е м м а 7 5. Пусть хо б й Мо , 'обозначим уо =у (хо) точку на Эй, ближайщую к хо, а го — центр соприкасающейся окружности в уо (предположим, что уев не угловая.
Тогда Н б Сьд в некоторой окрестности хо если и только если хо ььг,. Д о к а з а т е л ь с т в о. Точка ео не может лежать между хо и уо, иначе ус не будет ближайшей к хо. Если хо Ф то, то согласно [109, с. 382! б Е Сз+" в окрестности хо и Ьо((х) =— (7.7) 1 — Ы где к = к(х) — кривизна Эй в точке у = у(х), ближайшей на дй к х. Если гав концевая точка и хо лежит в интервале уого, то к(хо) > 0 и ььй(х) становится не.
153 ограниченной при х = хо ~ го. Таким образом, ь( не принадлежит С ни в какой 1,1 окрестности г о. Л е м м а 7.6. Пусть в предыдущей лемме уо угловая гочка (гогда ока— вершила входящего угла). Тогда д прськадлежиг С'' в пекогорои окрестности хо, если и только ссли хо ьс г ю хо чс ею где зс — центры соприкасающихся окружностей, соответствующих двум дугам дй, пересекающимся в уо.
Действительно, если 1с — отрезок, соединявший уо с г;, то регулярььость с1 с одной стороны от 1; такая же, как выше, тогла как в секторе между 1, и1, имеем аь(х) = = 1х — уо 8 Таким образом, остается проверить, по производные с( с обеих сторон от1ь совпадают. Но так как гроизводная д по напрзвлснию 1с равна 1. то производная с1 по направлению, нормальному к 1с, должна стремиться к нулю при подходе с каждои стороны 1с (так как ~ ь5а ~ = 1) . 3 а м е ч а н и е. Будем говорить, что точка хо принадлежит множеству Ль, если сушествует в точности одна точка уо Е дП такая, что с((хо) =- ~ хо — уо ! н хо— пентр соприкасаюшейся окружности уо (или пснтр одной из двух соприкасавшихся окружностей, сслиуо — угловая точка).
Из предыдуших трех лемм получаем следующий результат. Т е о р е м а 7П. Справедливо следующее соотношение: 1 )оьь1 ь' Бели нет входЯших Углов, то К ь с Ко, так что К =Ко. Т ео р ем а 7.8. Ребро ьс лежит в множестве упругостиЕ. До к аз ател ь ство. Пусть хо Ейо. Тогда с1(хо) =! хо — уо! = ! хо — уь 1* где уо Е дй у1 Е дй, уо о-'уь. Согласно задаче 2 из 5 7 гл. 1, если хо Е Р (множество пластичности), то и =аь на прямолинейных отрезках 1р хоуп Следовательно (см. доказательство леммы 7.4), и не дифференпируема в хо, что невозможно.
Предположим, далее, что хо Е Аь, хо Е Р, и обозначим уо ближайшую на дй к хо точку. Предположим сначала что ус — не утловая точка. Тогда и = с1 на 1: хоуо.' ««(и .с1)=0 на 1 (так как и — с1 ~ 0 в й), (7.8) д'с1(х) 1с дп~ 1 — (сс1 если х = (О, т1) — «хо = (О, 0), где (8, и) — координаты, и нормально к 1 и 8 направлена вдоль 1; (7.8) следует из доказательства (7.7). Поскодьку и <ь(, необходимо, чтобы д и 8ьт где производная второго порядка понимается как предел конечно-разностных отношений второго порядка и.
Таким образом, ди1'дл не липшилева в любой окрестносзи хо, что невозможно. Бшьи уо — угловая точка, то она необходимо является вершиной входяшего дз 1(,) угла, и легко найти, что (в смысле предела конечно-разностных отношедп 154 По теореме 7.8 д1атЩз) + б(з)и(т), дй) = б(з), Х, — = (Г(з) + б(е) (и(т) + е)) Е Е ЧО < е < е„ где Х, р Я, если 0 < е < е, иХсе Е т1; е, равномерно положительно в любомзамкнутом интервале е, не содержащем параметры зт угловых точек.
Таким образом, можно воспользоваться доказательством теоремы 7.2, если сможем доказать, что д+г1Н<0 на Г (7.9) (напомним, что по теореме 7.8 с~ Е Сз'е в окрестности Г) . Пусть ха Е Г. Определим й 1Ь юд+ ЬИ = и — (ввиду (7.7)). (7.10) 1 — И Обозначим! направление уахе, где у, — ближайшая на дй точка к хе. Нам хотелось бы применить лемму 73 для вывода (7.9). Предположим, что й(хе) = О. Тогда по (7.10) й> О в хе и, так как дй/д1= 0 в хе, то дФ а~ Ы йз ,>О. а1 (1 — и)' а( (1 -и)' Таким образом, лемма 7.3 дает утверждение (7.9).
Теперь, находясь в условиях применимости теоремы ва теоремы 7.2), получим непрерывность функции б(т)", принимать значение "нуль". О предел ение. Если б(е) > 0 ирна< з < < Ь и б (а) = б(Ь) = О, то множество пластичности 7.2 (точнее, доказательстотметим, что б(з) может ааг 1 1 1ю Р,ь = (Лз)+ти(з); 0<г<б(т), а<з<Ь] назовем компонентой пластичности или петлей пластичности.
Г Если доказано, что свободная граница любой компоненты пластичности, т.е. Г„ь =.(У'(з)+б(е)и(з); а < з<Ь), д0 есть непрерывная кривая, то по теоремам 2.4 и 2.5 Г, ь обладает невырожценной параметрнзацией класса Сз ~. Но Г, ь может иметь острие. Сле. дуюшая теорема исключает такую возможность. 1 ! 1 1 Рис.
б 155 ний второго порядка) стремится к — ' при х = (О, и) -+хе. Палее можно рассуждать так, как и выше. Теперь параметризуем дй: х~ = 7';(з) (О <а <А) и запишем х = (х„хз), У(з) = (У1(з), уз(а)). Обозначим и(з), е Ф зт, где ет — параметр, соответствующий й";, внутреннюю нормаль к дй в 7(а). Предположим сначала, что нет входяших углов. Тогда, согласно задаче 2 из з 7 гл. 1, сУшествует неотрицательная функция б(з) такая,что Л=(х; х=Яз)+ти(е), 0 г<б(а), 0<а<И. Т е о р е м а 7.9. Коинцидентное множес~во имеет лоложительную плотность в каждой точке хь свободной границы нри условии„что Н Е Сз "~ в некоторой окрестности хе. Д о к а з а тел ь с т в о.
Пусть хе Е Гнус — ближайшая к х„точка на ЭЙ. уе не угловая (рнс. 6). Для простоты возьмем ур = (О, 0), хь = (О„н), й > О. Пусть х, = !с,(г), хт = аз(г) — локальная С +".параметрнзапня Г в окрестности хе такая, что !с,(0) = О, ч~т(0) = Л. Достаточно рассмотреть только случай !ь,(0) = ьзт(0) = О, а",(0) = О, ььт(0) Ф О, так как по теоремам 2.5 н 3.4 зто — единственно возможный случай, при котором может быть неверно утверждение теоремы; Г имеет острие как на рис.
6. Для г Ф 0 вблизи 0 имеем ут(г) ть О, и поэтому свободная граница есть по- верхность класса С и и принадлежит С вплоть до границы. функция ьт= и„, — 1 отрицательная в Е, ю(хь) = О. Так как в хе выполняется условие внутреннего шара, то по строгому принципу максимума ю < 0 в х,, т.е. и„ „ < 0 в хь; (7.11) производная понимается как 1лп анр разностных отношение и„,, Дифференцируя равенство (и -д)„,(ч,(г), рт(т)) =О по г, получаем (и — а)»» ИФ(т) + (и — б)»2»2тт(Г) О. Поделив на ььт(т) и устремляя т к нулю, имеем (так как и и И принадлежат С") (и - а) » " ('с~ Я ч'з (г)) О. Поскольку с( линейна вдоль уехь, то О, если (хо х,)- хе, следовательно, и» » -» 0 при (хо хт) -+ хь вдоль Г. Применяя лемму 6,7, получаем и„,„,(х). О, если хЕЕ, х- хь, что противоречит (7.11): Рассмотрим, наконец, часть границы, для которой ближайшая точка на Эй— вершина входяшего угла.
Предыдущие рассуждения распространяются на этот случай с незначительными изменениями (здесь так же нужен вариант теоремы 7.2). Отметим, что препятствие в этом случае аналитическое. О и р е д е л е н и е 7.4. Если Га — связная компонента Г и лля некоторой хь Е Гь ближайшая на Эй точка — вершина входяшего угла $'и то соответствуюшее множество пластичности (огряниченное Гь и Эй) назовем входящей компонентой пластичности или входящей петлей пластичности Применяя теорему 7.9 и следствие 3.11, можно теперь установить следуюший фундаментальный результат. Т е о р е м а 7.10.
Свободная граница является локально поверхностью класса С +" (и! > 3, 0 < и < 1) или аналитической, если часть дй имеет нараметриэацию класса С ' или аналитическую соответственно. Любая от~рыгая часть Г, чьи ближайшие на Эй точки совпадают с вершиной входящего угла, аналитическая. Задачи 1. Пусть й — многосвязная двумерная область и и — решение вариационного неравенства (1.6.4). Для 1е, ф вида (1.6.6), (1.6.7) определим: верхнее ребро /!"— множество точек хе Е й такие, что ф не принадлежит Сгд ни в какой окрестности хе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
