Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(4.17) Поскольку Л (и) з 1пп Л(и™),то бг(Л(и))> е. Но тогда выпуклое множество Л(и) имеет непустую внутренность. Из доказательства леммы 4З следует, что в подходящей системе координат конус Л(и) будет лолупространством (х„~ О». С другой стороны, так как (4.15) не выполняется, можно найти в каждом выпуклом конусе раствора меньше, чем а/2 — б, единичный вектор е, содержащийся в Ль(и (ю 1) и, таким образом, е = Вш е(ю1 Е У(и) (по лемме 4.1) .
Это противоречит предыдущему выводу о том, что Л(и) — полупространство. Л е м м а 4.5. Если и С Р; (М), б ь те (Л(и) ) ) е ) О, то существует система координат, положительное число д и функция е (хю..., х„) класса С' такие, что по отрезку, лежашему в (г ( ге ) (рис. 4). Еелн х = 2хге т' 1, то можно представить х +г е, по формуле х, = а/я(х ) (х = (хг,...,хя)) (4.20) н Л(и) — неравенством х„<у/я (х ). Важно отметить, что если мы исг/ользуем координатную систему с началом в нуле, в которой направление е„близко к направлению е(я 1, то замечание относительно хе ь ге1' 1 остается справедливым также для хе + ге„при условии, что ! хе ! достаточно мало (рнс. 4). е/« и / / / а////1 / ее / / / ! / / / / /х / ге// / / / / /х ь Ге,« / е / Рис. 4 Так как (4.14) верно для (е<ю в Вх (Х,„зависит от б ° 11/я и е; Х„, -«0), то при подходящем выборе е(е/1 (1 < 1 ~ и — 1) дня последовательности е(е/ -+ -+ееимеем 1 ее) ю 7/п(е(т) ) где Т"' — ортогональная матрица и Т -+Г, (4.21) где 1 — единичная матрица.
Из (4.14) получаем !у~(х') — а/я(О) ~ С вЂ” 1х'~ ( Л ~х' ! т а нз (4.21) легко выводится, что ~ ~е (х') «е (0) ~ < А„ ~1х ( 1 (4.22) если ~ х' ~ < Х~, где й/„-«О; здесь х„= уе (х) — представление Г(и), которое существует в координатной системе (ее) (при х Ехге,'.') согласно сделанному выше замечанию после (4.20), и из (4.21). Из (4.22) мы видим, что яе (х') цифференцируема в 0 и градиент равен нулю. Ввиду (4.19) можно провести такие же рассуждения относительно любой точки у Е Л(и) такой, что ! у ( мало.
Таким образом, существуют системы координат 132 (е'"' «) и предельная система (при т-ь ) (ее У) такие, что Л(и) можно представить в ра-окрестности у (ре не зависит от у) в виде х„<5 (х) х„<у (х» гдех = Хх,е~""" или х= Ехзео'у соответственно. Кроме того, !ас,У(» ) ае(О) ! < ут 1х'! (4.23) если 1х' ! < Л,„, б,л -ь О.
Система координат е '," у связана с е~ у по формуле Задача 1. Доказать (4.1 7) . 1У к а з а н и е. Пусть А = 1нл Ал = Г1 О А,„, л= ~ т=л Р„= 0 Аю. Тогда Рл 1 А и любая е окрестность А содержит Б„', и > пе (е) ] б 5. Регулярность свободной границы в случае положительного МР (А) Лемма 4.4 имеет смысл для любой и Е Р, (Ч) . Лем ма5.1. При заданных е > О, 6 > О существуег ре = ре(е, 6) пткое, что если и Е Рз (М) и бр (Л(и)) в е для некоторого О < р < ре, то в подходящей системе координат Л (и) Э Ваь/з Л ( х' хл > 2рЛб) Ф (и) Э Вр ь1з Г1 ( хт хл > 2 Р Л 6 ), Л .
Л(е, б) определена в лемме 4.4. (5.1) е, ° =т (е где Тльу -~ неравномерно относительно у. Отмезим также, что (ее'у) связана с (ее); (ее,У ) Тс,У(ее) (4.24) Тс,у 7 у О (4.25) (при подходящем выборе его'у, 1 < 1 < и — 1) зто следует так же, как (4.21), из утверждения (4.14) для у л О и для у, близких к О. Можно переписать неравенство (4.23) в терминах (ее), принимая во внимание (4.24) н (4.25), "нз (423) получим б~(у + й) -б~ (у) = йс(у) + йо (!), где о(1) -ь О лри ! Ь ! -ь О равномерно относительно у, н ! с (у) ! < С.
Зто означает леЯС1 Заметим, что правые части в (4.14) представляют собой пересечения конусов с шаром, а (5.1) — пересечения полос с шаром. До к азат ел ьот в о. Если утверждение неверно, то найдутся последова- тельности и(~> т Р,(М), р,„> О, р„, 1 О, такие, что в некоторой системе координат хотя бы одно из соотношений Л (иггн ) Э Вр 1(г Г> ( х; — хн > 2Рт Лб), Лг(игрг ) Э Вр х(з Г>(х;хн > 2ртЛб) не выполняется. Подпоследовательность и!т > сходится к функции и т Р', (М).Используя Рт соотношения Л(и) Р!пп Л(и(т>), гЧ(и) Р 1пп У(и(т>), Рт Рт приходим к противоречив с леммой 4.4. Выберем теперь е < 1/8, б < 1(8.
Тогда (5.1 ) влечет бра(з (Л(и))> 1 — 4б > 1/2, и поэтому можно опять применить лемму к рЛ/2. Действуя по индукции, получаем следуюшее утверждение. Ле м ма 5.2. Пусть е < 1/8, б < 1/8; определим Л = Л(е, б) так же, как в лемме 4.4, и ре = ре (е, б). как в лемме 5.1. Если и т Р, (М), и р < ре, то сушествуетсисгема координат (е(г~>) (! <( <гг) такая, что Л(и) Э Вр(х(з>е Г> ( — хн~ > р(Л(2) 48), (5.2) Пгги > — Ми ' в (Ч(и) Г> Вр!х!а>.
(5.4) Дока за тел ь от в о. Пусть >г — гармоническая функция в В, Г>(х„< 1/2) такая, что >г=О на х„=!/2, >г = — ! на дВг г> (х„< !(2). Тогда -д ж !пг" (г > — 1. лг(э Предположим (по индукции), что гггги т — Мд в (Ч(и) г > Вр(х(з>.
(5.5) гЧ(и) З Вр(хгз>Р т> ( х1~> > р (Л/2)" 4б ) . (5.3) Зцесь (х~ >,...., х(н>) — координаты точки в системе координат (е( >). Мы хотим показать, что системы (е( >) сходятся к системе (е( >), и затем повг ! торить доказательство леммы 45. Дпя этого потребуется оценка Ргги, Л е м м а 5 .3. При условиях леммы 5.2 сушествует д т (О, 1) такое, что Выбирая е(„" + '1 так, чтобы он был вертикальным, рассмотрим функцию х н (х) = Мд» '/ч Ъ,,р Я2)" / вУ(и) с1Вр<х/з).
Функции н и Оии гармонические вэтом множестве ин <Оии на р/(и) <1 ВВр<х/т)» (в силу (55)) и на д/у(и)(1 Вр<х/з)» (в силу (ЗЛО)). Применяя принцип максимума, получаем 27г(и > — Мд в Вр <л/т)»+ < . Л е м м а 5.4. Если и б С' ' (Вл), и ~ О, и (0) = 0 и Они > — т на интервале Охо (1хо! <Я)„т> О,тодля 0<( < 1 и (Гхо) < !хо ~т т + и (хо). (5.6) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Предположим, что и (тоха) = глох и (гх), окгп1 Если(о = 1,то (5 6) очевидно. Еслисдругойстороны го < 1,то О< и(тоха) =0 где / имеет направление такое же, как хо/1 хо! . Из соотчюшения 0 = и (0) = и (тоха) + ОВг<и > и (г,хо) — т<хо! получаем и(тхо) ~ и(тоха) < т )хо ) < т<хо < + и(хо). Л е м м а 5.5. Пусть вьаполнены предположения леммы 5.2 и О» = (ЗМп)'/тд(" тЛтр(/</2)" (5.7) б (У(и) < (Вр(»/т)» \Вр<»/з1» + 1 ) Тогда суи<ествует точка у такая, чти ! х — у < < 0», и точки ту содержатся в (ч(и) для всех т: <ту «д(Ц2)»-'.
(5.8) Л о к а з а т е л ь с т в о. По лемме 3.1 существует точка у такая, что 1 х — у! < <0 н и(у) > Оз/2п, (5.9) Пусть т такое же, как в (53). Полагая в предыдущей лемме хо = ту, т = 1/т н замечая в силу леммы 5.3, что 2)пи > — Мд" на Ох„ имеем и(у) <! ту! Мд +и(г'). Подставляя (5.9) и учитывая (5.8) и определение О» в (5.7), отсюда выводим, что и(ту) > О. Заметим, что в предыдущей лемме о(х,у)<С, С=С(п,М), д (» — 2)/2 (5ЛО) так что о(х, у) -~ 0 при /о- 1(и)~В «», Г) х;а(х,— е„)< — — Сб, [ я Ф(и)~В», г) х'„а(х,е„)< — — Сб . я (5.11) (5,12) Эта лемма является важным усилением леммы 5.2, где вместо конусов (в (5.11), (5.12)) мы имели лишь полосы (в (5.1) ) .
Доказательство. Возьмем е„как е„с й = йс — 1 (см. лемму 5.2 «») относительно определения е«)). Предположим, что (5.11) неверно. Тогда существует точка х) такая, что х) ЕЖ(и) Г) В )ЛВ )1+ г. / > /се, «») я а(х, -е ' ) < — — СБ. 1' и (5.13) По лемме 5.5 существуют точка у; и отрезок ту) в Ф(и), где т>1, [ту) [<р(М2)' Положим х; « = т)х), [Вх [=р(Л/2)1 '.Тогда х) |ЕФ(и)Г) (В )-«ЛВ )г') С а(хрх;,)< — д«г Ла (в силу (5.10)). Повторяя этот процесс шаг за шагом, найдем последовательность точек хп йе <1<!', такую, что хг ей(и) г) дВ «л ) р«л)з) а(хпхг,) < —,и«) )~ .
Лз Таким образом, х = х» удовлепюряет условию Х Е М(и) Г) д В р«»«з) о и а(х,хг) < Ср«»' т))з [С = С(Л,д)]. Если С (в (5.1!) и (5.13)) берется нс меньше пяти и йг достаточно большое, то а(х,— е„)<я/2 — йб и мы приходим к противоречию с леммой 5.2. Для доказательства (5.12) отметим сначала, что доказательство (5.11) применимо не только относительно О, но и любой точки х Е Г(и), ! х [ достаточно мало, 136 Л е м м а 5.6. Пусть выполнены условия леммы 5.2. Тогда существуют положительное число йе = йе(е, б) и константа С = С(е, б) > О таки, что в подходящей системе координат скажем, х'"=Г, хЕВ р(л)г) йс, С можно взять не зависящими от х.
Если (5.12) неверно для всех положительных констант С и целых й„> О, то для любой достаточно большой константы С' найдется точка хе '. хе еГ(и) (7В ь г) х;а(х,ех) < — — С'6!. я (Пг)р(л(г) ' /1 Ввиду предыдущего замечания Л(и) содержит' (внутри ~ — р(Х/2) ~(чгкрест- 2 ности хе) конус с вершиной хе и углом раствора я/2 — С6.
В силу (5.2) ось этого конуса должна образовывать с — е„угол не больше, чем СО 6 (СΠ— константа). Сле- довательно, если С' достаточно большая, то конус содержит О внутри; приходим к противоречию. Доказательство теоремы 3.10. Рассмотрим сначала случай Аи = = — Ли, )' ж 1. Лемма 5.6 для и Е Р,(М) дает то же утверждение, что и лемма 4.4 для и ~ Р*(М). Поскольку доказательство леммы 4.5 основано только лишь на заключении леммы 4.4, то же доказательство годится и в случае и Е Р,(М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
