Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 27
Текст из файла (страница 27)
й, О Ввиду единственности находим, что ю = юз. Таким образом, достаточно установить (6.21) для н,. Рассмотрим задачу со штрафом -д!ю+ б,(ю) = — 1 в й„ ю=еь на дй., (6.22) (6.23) и, следовательно, дтч/дхз = 0 на хз = Н. Теперь для получения (й) можно приме- нить теорему 6.2. В оставшейся части параграфа мы сконцентрируем внимание на двумерном случае н получим более полную информацию о свободной границе. Один нэ основ- ных доказываемых здесь результатов состоит в следующем. Т е о р е м а 6.5. Пусть у = р(х) — свободная граница в задаче фильтрации из д 5 гл. 1. Тогда ч! (х) строго монотонно убивающая, (6.18) р'(О) = О, р'(а) = <ю, (6.19) р(а) >й.
(6.20) Последнее неравенство показывает, что линия просачивания ( х = а, Ь < у < < !р(а) ) — непустое множество; этот факт хорошо известен в гидродинамике. Ле м ма 6.6. Решение ш вариационного неравенства (6 5, гл. !) удовлетво- ряетт условиям 0 < тех х < 1, О < ю . < 1. (6.21) Доказательство. ПустьН'>Н, й,=(0(х(а, 0(у(Н'), (я на дй, г! (у<Н), 8~ = ( О на дй, г! (у>Н), К„=(оЕН'(й„), п>0, о=я. на дй,). 142 где яа отличается от я, только в д окрестностях точек (О, 0), (О, Н), (а, 0)„(61, л); и д ха дх — = 0 в (0,0) и (а,О) д 66 дх ! д2 —,«6(о,у) < с, дут дт — яа(а,у) я; С, ду' ! д2 — яа(х,0) < С. дхт Обозначим )с,а решение.
Выбирая !1, так, что !3," .< О, получаем, что ! = д гу,а/дх~ удовлетворяет неравенству ~ди'и~ 'т г -!( )5,'( „К=-б,"( „)! — ~ ~О ~ дх (6.24) в й,. Далее, на (у = О) имеем!~ — С; на(у=Н') — ! = Она(х= 0) и на(х=а)— д2 ! — — 66 — !),(Х6)~ -С. дут е6 ! +)52(гуеа)~. 1 (если )1, <0),то )Р~)у,6 )<С, !2)22у,6 )<С Теперь, устремляя д к нулю, получаем ! 2)х )ее ! < С ! !) 2ее ! ~ С где н, — решение (6.22) при условии н, =я на дй,. (6.25) Полагая е — О, заключаем, что 2у„„, и у „— ограниченные функции. Если сможем доказать, что 2У„„>0, юуу>0 в И)ге()У>0), то будем иметь (6.21), ввиду того, что ц2у = 1 в И'. Достаточно показать, что )с„„> 0 в И).
ПО тЕОрЕМЕ 3.6 2с„„> 0 На СВОбадНОй )раинцЕ. ГарМОННЧЕСКая фуНКция ту„„ непрерывна и положительна на остальной части д!т' за исключением, быть может, множества точек (О, 0), (О, Н), (а, 0)„(е, )2), (ц 22(а)). Обозначим эти точки Х, (! <! ~5). Если мы покажем, что !пп !п(юх (х,у)>0, (6.26) !2, У) Х. то принцип максимума даст в„„> 0 на И'.
Следовательно, по принципу максимума !' > -С в й.. Аналогично д )у,а/ду* > > — С в й.. Так как Поскольку »гхх ограничена в И', (6.26) следует непосредственна из следуюшей леммы типа Фрагмеиа-йинделефа. Л е м м а 6.7. Пусть Р— ограниченная область и (хе,уе) — гочка на дР. Предиолозгим, что суи(ествует отрезок прямой о такой, что и г) Р = ф и (х„уе) принадлежит границе ц Пус)ь а — ограниченная гармоническая функция в Р и у! = 11и! »пГо(х,у), (х,у) (х».у») (х,у)нао 72 !1и1 ено о(х, У). (х,у) - (х»,у») (х,у)нао Тогда 'у! ц: 1пп (н(о(х,у)»; )пп анро(х,у) < у,.
(х,) ) (х» у») (х*)') (х„у») (х,у) е ьо рау)нао До к а зачел ьс г во. Предположимдля простоты, чга (хе,уе) = (О, 0) н о= ((рй); й=н, О<р<р), где (р, д) — полярные координаты. Для любого е > О рассмотрим гармоническую функцяю н» = А р / сна(д/3) — е1н р + (7з + е) — о в Рч = Р Г) ( П < р < ре) . Если А достаточно большое, то ю > О на Рч ( ! ( р = ре ) . Так как, очевидна, н > О на остальной части границы Р„, если т) положительно и достаточно мало, мы получаем н > О в Р„и, следовательно, в Ре.
Полагая е -» О и затем р -»О, имеем 1нп я!р о(х, у) < у! . (х,у) (х»,у,) (х,у) но Точно так же можно доказать неравенство с 1пп йзГ о. Л е м м а 6.8. Лал яроизвольной точки (хе, (е(хе)), где О < хе < а, функция !чуу не геозгет нринимать экстремального значения в (хе, р(хе)) относительно любой й!окрестности (хе, (е(хе)). (Здесь )(» — некоинциденпше множество.) Д о к а з а т е л ь с т в о. Дифференцируя соотношения и»х(х, о(х)) = О, юу (х, ф(х)) = О, получаем Ф »чхх + и~хуч! = О, нху + н»у (е О и, подставляя н»х„= 1 —.н» (6.27) 1 н»у),(х, р(х)) = 1 + (р(х)) (6.28) р'(х) ю„(х, р(х)) =— 1 + (р'(х))з (6.29) 144 Докажем лемму методом от противного: предположим, чп! »чу достигает локаль- ного экстремума в (хо, р(хо)).
Тогда (6ЗО) в х =хо. По теореме 6.3 р (хо) Ф О, следовательно, р"(хо) = О. Из (6.29) тогда получаем — аихи(х, ча(х)) — 0 (6.31) а/х Но на у р(х) 4/ юху аихух 4/Х д + аихии р' = -аииии + аи х р' = А — аи„„, ди есаиу-+О, 0<7<1. Пусть, кроме того, свободная граница нредставляег собой кривую у = р(х) и 1о ~ С' (О, еа ] для некоторого е, > О. Тогда 7 = 1/(1 + (ча(0)) ), (6.32) Д о к а з а т е и ь с т в о. Положим Л = ьо (0). Рассмотрим семейство функций ще(х,у) = (1/еа)и(ех, еу) (О < е < 1). Все они решают то же вариационное неравенство, что и ир, позтому, так как !П ать!<С, !П ю,!<С, существует последовательность и „сходящаяся к и равномерно. Очевидно, Ьи= 1 в (х>0 у>О,у>Хх), 7 д и(О,у) = — у, и(х, Хх) = О, — и(х, Хх) = О.
2 ди Функция ()1х — у)' 2(Х' + 1) гармоническая в ( х > О, у > О, у > Лх ) и обращается в нуль на у = Хх вместе со своей нормальной производной. Следовательно, она равна нулю тождественно. Но равенствой(О,у) м Одает (6.32). Л е м м а 6.10. (1) Если р (0) = !нп р' (х) существует, то р'(О) = О. х о (и) если 1о'(а) = !!гп ьо'(х) существует, то р(а) >/ь р'(а) =— х и 10. А. аариамаи 145 где А оь О.
Таким образом даиз,,/ди = 0 в (хо, р(хо)), что противоречит принципу максимума. Л е м ма 6.9.Предположим, что -Ьаи+1>О, и >О, (-Ьаи+1)аи=О в И = ( х ~ О, у > О, х + у ~ ео), !аихх1 ~ С, !и ! < С ю(0 у) 7 и и(х, 0) О, ь уа 2' Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение (!) следует из предыдущей леммы. Для доказательства (П) предположим, что д(а) = /ь (6.33) Пусть 7 = р (а), и рассмотрим сначала случай 7< . Из (6.28) получаем 'гхх(х Ф(х)) ~ 7 /(1 + 7 ), если х -+ а, Кроме того, ю„„(а, у) = О, если О < у < й.
Вводя гармоническую функцию 7 ! Г У г(х,у) =, — ~ 18 + — /, д = — + агс18 у, 1+7г и а — х 2 2 видим, что г㄄— г — О, если (х, у) = (х, р (х)), х Т а или если (х, у) = (а, у), у 1 /г.' Применяя лемму 6.7, находим ы„„— г - О, если у = /г, х 1 а. Следовательно, 7 в~а„(х, /г) —, если х -+ а, 2и 1+7 Применяя теперь лемму 6.9 для множества ( х < а, у < /г, (а — х) + (/г — у) < ее ) получаем 7 2д 3(1 + 7') 1 + (1/7) что невозможно, так как 7 ) О. Таким образом, р'(а) = — и в силу предыдущих рассуждений ю„„(х, /г)— — 1/2, если х -+а. Применяя опять лемму 6,9, получаем 1 1 2 !+О что невозможно.
Так что предположение (6.33) приводит к противоречию. Доказав неравенство ьг (а) > й, введем гармоническую функцию у — а(а) г(х,у) = А агс 18 + В, а — х где 7 Л агс 18 У + В =, „— — А + В = !. !+уз 2 Тогда В = ~- — з + агс 18 7// ~ — + агс 187 'ь,2 1+ 7з Я~2 Как и в предыдущем доказательстве, находим, что ю„а — г -+ О, если (х, у) = (х, р (х)), х 1 а, или если (х, у) = (а, у), у 1 чг (а), откуда по лемме 6.7 н„„(х, р(а)) — (х, р(а)) О, если х -~ а. Следовательно, ж„„(х, И(а)) -ь В, если х - а, 146 Применяятеперьлеммуб.9для (х < а, у < р(а)», вьшодим,что В = 1/(1 + (1/у)').
Но зто невозможно, если ТФ . Таким образом, либо у =О,либо у = ». Предположим, далее, что у = О. Чтобы прийти к противоречию, рассмотрим функцию У = иь„— еьч в области Ра = (а — Ь < х < а, й + Ь < у < ьо(х) ), где Ь достаточно мало. Напомним, что д (а — Ь) < О.
Тогда (ьо )з + ер У„(х, „(х)) =, > 0 + ( ')2 в некоторой окрестности (а — Ь, ьо (а — Ь)) при условии, что е достаточно мало. Так как У =О на Г то У< О,если х = а — Ь, чг(а — Ь) — и < у < р(а — Ь) для некоторого достаточно малого т1 = 11(Ь) при условии 0 < е < ео(Ь). Поскольку нь„< 0 в остальной части дРа'тГ и вь = 0 на ( х = а, й + Ь < у < < р(а)),то У<0 на дРь, если е достаточно мало. По принципу максимума У<0 в Рь.
(6.34) такая, что 5 можно парамезризовать, х = х (г), у = у(г) ( о < т < ь ), и (х(т), у(г)) -+ Хд если г -ь . (х(г), у(г)) -+ Хн если г -+— (6.36) где Х; Ф Хт. Д о к а з а т е л ь с т в о. Кривые уровня ( г = а) функции г, исходящие из точки (хо, уо) образуют локально т аналитических кривых, и угол между двумя составляющими равен я/ш. Если т > 1, то (хо, уо) — точка ветвления.
Построим Ь' шаг за шагом, продолжая ее из концевых точек. Если концевая точка не является точкой ветвления, то продолжение локально единственно; если же она — точка ветвления порядка т, то мы можем выбрать одну из 2т — 1 дуг. Если у = О, то д/дх — е(д/ду) есть производная по внутреннему направлению к Рь в (х, ьо (х)), где х близко к а„и из (6.34) ю < 0 в Ра в точках, близких к (а, ьт (а)), что невозможно. Таким образом, у Ф 0 откуда у = — . Это завершает доказательство лем- мы 6.10. Л е м м а 6.11. Пусть г — ограниченная гармоническая (не постоянная) функ- ция в ограниченной области Р; Хы..., Ха — граничные точки Р такие, что для каждой Х существует отрезок ом о. Г1 Р = й, Х Е до. Предположим, что г не- прерывнанаЮ (Хм...,Ха) . Если (хо уо) Е Р, а — = г(хо у) Ф г(х,у) для всех (х, у) Е дР, (6.35) (х,у) Ф Ху (1 </' < /с), то существует простая кусочно-аналитическая кривая 5, Я С (г = а», (хо Уо) Е Ь До тех пор пока Я остается в компактной подобласти Р, С Р, мы можем получить на каждом шаге новую дугу длины не меньше с (с зависит от Р~); Я не может иметь точек самопересеченяя, иначе г ю а в области, ограниченной частью Я.
Следовательно, если Ро С Ро С Р, С д, С Р (Р,— ограниченные области), то Я должна покинуть Р, через конечное число шагов (иначе должно быть беско. печно много дуг с длиной не меньшей с > О, пересекающих произвольно малую окрестность некоторой точки из Р~). Л может входить в Ро, но затем опять должна ее покянуть; таких передвижений от дР, вРо — конечное число (иначе опять же будет бесконечно много дуг с длиной не менее с, пересекающих произвольно малую окрестность некоторой точки из дРо) . Параметризуем Я: х = х(г), у = у(г), — < г < . Пусть у'ь — Ь-окрестность Х„..., Ха и Ро — такая, что дРо лежит в Б.окрестности дР, Если 1 г 1 ~- То, То достатошо большое, то 61ат ((х(г), у(г)), дР) < 5, и ввиду (6.35) получаем, что (х(г), у,(г)) Е 1'ь, если д достаточно мало.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
