Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Аналогично опрецеляем нижнее ребро /! относительно р, Множество Я = = Я' 1.! /! называется ребро.и. (Определение зависит от решения и, т.е. от констант ср) Доказатьо /! Е Е. 2. Распространить теорему 7.10 иа случай, когда Р' гз Р = ф (Рт определены в задаче 1 из Э 7 гл. 1) . 3. Пусть о Е Не(й*), ф, < о < ф„где р„ф, определены так же, как р, ф, но с с~ + е вместо с/. Показать, что ,Г [то!э — 2д / о) / [!Уи!' — 2и /и. ть» тт» и Я 4.
Предположим, что й имеет только одну "дыру" й~ и и = С„в йы Пусть С = В!зт(дй,, дй"). Показать, что если Ся < С и и > ! й~ [/! дй~ ~, то Р ЛР ' = й Гз ( и» 1з, и < ф ) Ф ф. [Указание. Предположим, что и ) ф п.в., так что Ьи ) — и. Дпя малых е > О, если 1 = шах(0, р+ е — и ), то и + ь Е Не (й'), ье» <и ь Т < ф». Используй- те задачу 3.) 5. Предположим, что д й ~ имеет угловую точку И~ такую, что ! 1т' — Е, ! = ! 1г' — с ) = С,,Е Е дй', лучи у; — Й~2 формируют угол В, 0 < В < я, и сектор, получающийся вращением Й~~~ на В в положение ьтсг, содержится в й, Обозначим Х область, ограниченную И~~, Йсг и дй'. Доказать, что если Си = С, то для любой окрестности С точки И~ пересечение (С Г! Е) Г! (Р ЛР') имеет положительную меру.
[Указание, Если зто не так, то гьи Э вЂ” и в С Г1 Е. Пусть до= — и в СО Х, о = и в д(С О Х); 1 — линейнаяфункцня такая,что!=и на ЬМ, 1З Ь'~, ([71 ! >1); ьог = о — 1 + ига/4, где г = г (х) = ! х — И~ !. Тогда Ьо = О, получаем й Е С' " в С О ГЗ Е, так что до/ду < — 1 в И', у — биссектриса Х.[ 6.
Рассмотрим конус КЕ (х хе)0 соз (хе/[х!)<ф) Доказать, что если ф < я/2 и я/2 — ф мапо, то существуют 1 < Л < 2 н функция о = [ х [~/х (В) (где В = соз ' (х„/! х !) такие, что функция о = 1 х ! /х (В) гармони. ческая н положительная в Кф и о = 0 иа дКе . [У к а з а и н е. Если /~ (В) = В(г), г = соз В, то ( '-1)В" +(и-1)гВ'-Л(л-2+Л)В»О, и тогда г(г) = С1" г!1г(г), где Са — функции Джегебауэра [84, с. 178[.Если Ль 1, то Са(г) -» сонат г н/~(В) — сопя!сот В.
Первый нуль функции/ь(В) (при Л > 1), есть В = фх < я/2 (иначе ! х ! х~х (В) > сх„(с > 0) в (х„> О, ! х ! < 1 ) по принципу максимума и в силу непрерывности фь — я/2, если Л 1 1.[ з 8. Форма свободной границы в задаче упруго-пластнчяости В этом параграфе й — односвязная двумерная область, дй состоит из дуг Вы..., Ю„, класса Сз'е, и угловые точки обозначены !г! (!'! = К! ГЗ Ю~»~). Углы дй в )ь обозначаются а; и предполагается, что о, чь я (см.
4 7). Начнем исследование свободной границы в окрестности вершины входящего угла 1;. Положим о = о;/2 (так что о > л/2), 0 =о — л/2 и введем полярные коорди. наты (г, В) с началом в У, так что касательные к Я., Я/ т в Ут. будут лучи 0 = — а и В = о соответственно. Т е о р е м а 8.1. Существует непрерывнал положительная функция р(В), определенная для — 0 < 0 < О, татсая, что ( (г, 0); О < г < р (В), — 0 < 0 < 0 ) С Р.
(8.1) Таким образом, окрестность вершины входящего угла всегда содержит сектор пластичности с раствором о/ — л. Сначала установим лемму, представляющую собой слабый вариант теоремы в случае, когда й — сектор Р. Л е м м а 8.2. Лусть Р = ( (г, В), 0 < г < го, ~ О! < у ), у > тт/2. Обозначим соответственно Е и Р множества упругости и пластичности в Р. Тогда существует отрезок а = ((г, В), 0 < г < г,, В = 0), содержащийся в Р.
Ло к аз а тел ь ст в о. Рассмотрим функцию ие = хи — ух„в области Е' = = Е т1 ( 0 > 0 ) . Она гармоническая (так как Ьие = (т5и)е = (- и) е = 0) и обраша. ется в нуль на части дЕ', где г = г, (так как и = О, если г = го), и на В = 0 (по симметрии).
На отрезке В = у имеем ие < 0 (так как и = 0 на В = у, и йь 0 везде). На части свободной границы дЕ' будет ие = с/а < О, так как д убывает по В вдоль любой дуги окружности из Е'. По принципу максимума ив < 0 в Е'. В меньшем множестве Ео =Ет| (0<0 < у — тт/2, т'<т'о/2) Тогда 6 содержится в Е н поэтому Ьи = — и в Р. С другой стороны, если х Е Вт,С, то либо х Е Е и тогда Ьи = — р < О, либо х Е Р и тогца поч~и всюду Ьи < Отд 0 (так как т/линейна в ВМ'). Таким образом, т1и<0 пв.вВ, Рассмотрим гармоническую функцию о = сг /~ т соа лВ/2 у (с > 0) в В. Предположим, что ди — чьО в (го/2, *у) дл (8 2) где г — нормаль.
Тогда, если с достаточно мало, то о < и на дВ. Поскольку тзо > тзи п.в. в В, то принцип максимума дает и > о в В. В частности, и(г.О) > о(г,О)= сг"/зт. Так как, однако, и(г, 0) < д(т, 0) = г и л/21 < 1 приходим к противоречию, если г -г О. Зто завершает доказательство теоремы при условии, что (8.2) верно. 158 Р— подграфик 1 г < /(0) 1; Т(0) может априори быть равной нулю дпя некоторых значений В.
Так как ио < 0 в Е' и т/(г, В) = г в Ео', то (и — И)в <О в Ео . Следовательно,/"(0) монотонно убывает по В, 0 < В < у — л/2. Палее, ештн утвержцение леммы неверно, то /(О) = 0 и из монотонности т" вытекает, что /'(0) = О, если 0 < В < т — л/2. Ввиду симметричности имеем также т'(0) = О. если — у+ (тт/2) <О < О. Пусть Р = ((г, 0); ~ В 1 < у — тт/2, 0 < г < го/2 ) В = Ртт 10<г <го/2 ). Утверждение (8.2) справедливо (по строгому принципу максимума), если существует Р.окрестность (го/2, а у), являнацаяся зоной упругости. С другой стороны, есин такой окрестности нет, то имеется отрезок пластичности, исходящий из точки (г;/2, с У) н оРтогональный (О = ат ), где го' пРоизвольио близко к и,.
Имеем ди !го д.;2 ' Заменяя при необходимости область В на В* = (0<г<го/2, — у<0 <у), н рассуждая, как и выше, получим, что и > о в В" и, следовательно, придем к противоречию. Доказательство тео ре мы 8.1. Возьмем произвольное направление О = О, в ( — О, В) и сконструируем область Р так же, как в предыдущей лемме, чтобы Р содержалось в й, ее ось сииметрии была ( В = Оо ) н выполнялось соотношение т = и/2+ (Π— ! Оо !)/2. Обозначим ио решение и, соответствующее области Р. Получаем в Р, что ио < и.
Кроме того, и <д=гвдоль луча В =Во, если г достаточно мало. По лемме 8.2 ир (г, Во) = г, если г достаточно мало, скажем, г < г . Следовательно, и (г, Во) = г, если г < г, т.е. (г, Оо) ~ Р. Поскольку и можно взять не зависящим от Оо при условии, что Во сужается на замкнутый интервал из ( — О, О), доказательство закончено. Далее изучим свободную границу вблизи У» — вершины выходящего угла; здесь а„< и.
Т е о р е м а 8.3. Если 1'» — веригина выходящего угла, то существует окрестность Вя (У») точки Р» такая, что й ГЗ Вя (У») — эона упругости. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала случай, когда Ю», Я»+, — прямолинейные отрезки, и введем полярные координаты с на илом в У» так, чтобы некоторая й-окрестность точки У» имела вид Р= ((г,В); 0<с<го — а<В<а), а»=2а. Напомним, что Ли = — и в Е и Ьи = г!о/ п.в.
в Р. Так как Р с! В = 0 и Ьд — ограниченная функция в Р М (в действительности с ограниченной производной), то Ьи ограничена в Р. (8.3) Предположим теперь, что а > и/4 и рассмотрим функцию иО, 1 о = г то соз — ' о — (у' — х 2а 2 в С. Оиа удовлетворяет неравенству Ьо= ! — !8эа<0 е С, Кроме того, и = 0 на О = + а н в > О, если г = го при условии, что го достаточно мало и нормальная производная о отлична от нуля в (го, аа). В силу (8.3) заключаем по принципу максимума, что и<Сов 6 при некоторой положительной константе С.
Следовательно, и(г, В) < Сдг" < а!/2 (и = и/2а — ! > О), если г достаточно мало, скажем г < б. Таким образом, С О (»<6) СЕ, Рассмотрим сначала случай а < я/4. Достаточно доказать, что ((ОВ)ЕС; — а<В<0, г<б )СЕ, при условии, по б достаточно мало; доказательство для 0 < В < а аналогично. Пусть й ~ — область, содержащая й, такая„что дй1 содержит точки И» и й, О гт ( г < ге ) — сектор раствора у > я/2 и у < я; кроме того, две дуги д й ы которые встречаются в И», — прямолинейные отрезки и один из них лежит на В = — а. Если обозначить ж упруго-пластическое решение, 'соответствующее йы то по принципу сравнения и < ю в й.
Согласно проведенному выше доказательству н ч, г/,/2 в некоторой й,-окрестности И», где т/1 — функция расстояния до й ~ . Так как Ы, = с/, если — а < В < О, г достаточно мало, то и < т/ в этом множестве„и получаем (8.4) . Доказательство теоремы для случая, когда Я», Я»+, — прямолинейные отрезки, закончено. В общем случае преобразуем й окрестность И» в сектор С такой, как выше, прн помощи конформного преобразования У. Обозначим г = я(г ) функцию, обратную к г =Яг). Тогда можем записать 8 (г ) = (й (г " )) /т 'у = л/а > 1, где и = л (() отображает область йы ограниченную частично двумя гладкими кривыми Ты Тт, образующими угол я в их общей точке (начале координат), в 1т и > > 0; Т1 и Т, переходят в ( 1ш и = О, и > О ) и ( 1ш и = О, и < 0 ) соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
