Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Очевидно, По™ > 0 в )4 н о (х, Е~) > О. По принципу максимума о должна принимать положительный максимум иа параболической границе Я, скажем, в (х~~, еме). Таким образом, 1 и(»,'", Е',") > — (! х'" — х'," !з + (Е'" — Е,'")). (9.8) 8л Так как е, = О, зто невозможно, а поскольку (хме, е, ) не можетлежатьна свобод. ной границе, должно выполняться равенство !х'" — х, ! = с. Следовательно, (9.8) дает сз и(х~,г, )> —, Е, — О, о!а1(х,,С)>с, 8п 174 что опять же невозможно, так как й(х) = О, если х ф бй Поскольку и,,пО, и(х, г)>0, если »Е6. Из (9.7), (9.9) и ограниченности и, вьшодим, что / !и,(х, г) — й(х)!дх- О, если г- 0; (9.9) (9.10) здесь использован тот факт, что Г, класса С'.
Докажем теперь непрерывность и, в точке (у, 0); достаточно взять у в Г,, Пусть К вЂ” малый шар с центром у, и пусть гв' (е > 0) — решение задачи Ьгв' — зв', = 0 в К Х (е, 1), гв' = и, на параболической границе К Х (е, 1) . Ввиду (9.10) гв'(х,г)- гв~(х,г), если е — О. (9.11) Из леммы 9.2 для любого е > 0 имеем и,(х, г) < гв'(х, г), Следовательно, и,(х, г) < зв (х.
г), Поскольку зве(х, г) = й(х) непрерывна в у, юв(х, г)- й(у) = О, если х-~у, г. О. (9.12) Вспоминая, что и, > 0 и используя (9.12), находим и,(х, г)- О, если х -+ у, г — О. рассмотрим теперь случай и > 3. П е м м а 9.4. Пусть О < В < 1/2 и Тв(х, г) — непрерывная и неотрицательная функция, определенная длл 1х ~ < 1, 0 < 7 <Л, такая, что гв > О, если !х! = 1, 0<г<Л, Ув > О, если !х! =- 1, 1=0, ув > 1, если !х! < В, 0 < 7<Ле/2, где С вЂ” положительная константа,зависяшая только от б, Лв, Л. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть я — решение задачи гЛ — я,=О, если!»1<1, 0<Г«, В=О, если ~х ~ = 1, 0<1~,' я(х, 0) = ~х ~з " — 1, если ! х !.= 1.
Тогда В > О и в х ( < (1»~з — и 1) 2 2 (9.14) ~х~< Вв, Вв <1, при условии, что Лв достаточно большое. 175 Нгв < О в смысле распределений в ( ! х ! < 1, 0 < г < Л), где 0 < Лв < Л. Тогда для любого 0 <В < 1, если Ле достаточно большое (независяигее от В, Л), (в (» г) > СВ (9.13) для !х! <В, Ле <г<Л, Применяя принпип максимума к функции у !х !2 —" 1 Г(хг) »1 1»2 — л 1 »2 — л 1/ в области д <!х ! <1, 0 <г<Л»/2, находим,что г>0 в этой области. Используя (9.14), заключаем, что Ув х, ) =- — л > Сбл 2 (С>О), Л»Л 1 )х)2 "— 1 (л) 2 ) 2 !)2 — л если !х ! <Ро где Р <Ре < 1.
ТепеРь пРедставимДе(х, с) в (!х ! < !)е, (Ле/2)<г < < Л ) через функцию Грина. Используя неравенство (*), получаем (9.13) (с другой константой С) . Доказательство теоремы 91 для и > 3. Пусть (хе, ге) — точка в й Х (О, Т) такая, что и(хе, ге) = О. докажем непрерывность и, в этой точке.
Произ. ведем преобразование координат так, что хс = О, ге = О, тем самым и будет решением вариационного неравенства в окрестности И начала координат. Дпялюбого положительного К, К>Ке, положим Га =((х, г); ! х ! <4 ", — 2Ле4 "< )<О), где Ле — дэстаточно большая константа, которую определим ниже, а Ке достаточно большое так, что Га С !с. В дальнейшем С, С, будут обозначать различные константы, не зависящие от К. Пусть та = апр и„МХ = гпах(пса, СК '), г„ где е — положительная константа, которую определим ниже. Справедлива Л е м м а 95 Длн любого Ь > е)2 справедливо неравепггво С т„+, <М„,, 1 —,< 1) длн всех К> Ке. К6(» — 2) г (9.15) Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть 1 е ю" (х,с) = „) и,(х,г+й)с7й. 4 -л гь Следовательно, С 1 иг'(х, г) < — , если ! х ! = , Б > О. К26 ' 46К6 (9.16) Введем координаты х = 4ах, г = 42"г (9.17) 176 Так как са' — свертка субтепловой функции и, с положительным ядром, она также субтепловая. Поскольку и(0, г) = О, 2)„и(0, г) = О, если 1 <0, и так как 2)лги — ограниченная функция, то о 1 1 ) ис(х, с+ в)с(~~7 < га и(х~ с) < — 2„С! х ! 4 л-2ь и функцию н (х', г') = и (х, г); Га отображается на (х' ! <1, -2Ло <:г<0 н 66(и — и, > О, если )х'! < 1, — 2Ло+1<г'<О, И~ < л2„, если (х ! < 1, — 2Ло+ 1<!'<О, С вЂ” 6 ю(х,() < —, если )х 1 = /с К26 ' Пусть и= — (и — СК ) Мо — 26 Ма — СК в ! х' ! < 1 — 2 Ло + ! < г < О.
(9. 18) Тогда можно применить лемму 9.4 к функции 1 -. и/Ма с й = К и получить — >СК <о ) (С >О) .(.', т') М(, если !»' ! < )3, — Л„< г' < 0 при условии что Ло достаточно большое. Таким об. разом, и(х' т') <М„(! — С, К <" 2)). Следовательно, из (9.18) имеем , «(М СК вЂ” 26 (! < К-6(о — 2)) + СК вЂ” 26 М (1 С К-6(о — 2))+СС / — 6).,— 6(п — 2) Выбирая е < 2б, заключаем,что !о(х, г ) <Мг(1 — СК ( )), если ! х' ! < /), — Ло < !' < О, Положим г(х', г ) = и„(х, !) и рассмотрим функцию Ь(х, г ) =М(, — г(х, т ) для !» 1<0 Ло + ! <г <О (9.19) Выбирая /)о = 1/4, получаем (9.15) .
! 2. А. Фралмоо В силу (9.19) / Цх', г) 6(г > Мр, — / г(х', 6) 6/г =— ! — ! ю Ма — ю(х, ! ) > СМа К Кроме того, /2>0, Ьл — /(, < О. Пусть И вЂ” тепловая функция, определенная в ( ! х' ! 4: '/), — Ло' + 1 < г': 0), имеющая те же граничные значения как и л на параболической границе. По лемме 9.2 й > й. Выражая /( через функцию Грина в (! х' ! < </), — Ло + 1 < !'<0), находим, что й(х',т')>С,СМ„К-6<"-2) (С, >О) в меньшем множестве((х' ! </)о, — (Ло/2)<! <0),где /)о <(5.
Поэтому г (х', (') < ̄— С, СМг К Теперь пусть Ь таково, что Ь(л — 2) < 1 (и тогда е < 2/(л — 2)). Докажем по индукции, что лс» <С')с ", если )сЭсс,. Зто неравенство, конечно, имеет место для любого данного сс, > )се, если С' доста- точно большое (зависящее от /с,). Предполагая, что это неравенство верно для сс, получим, согласно определению М„, М» = С')с ~, если С' > С. Далее, по лемме 9.5 так как С у )с+ 1'т — — — если /с > /с,; »6 (ч — 2) сс, определяется так, что это неравенство вергю при )с > )сс, )сс не зависит от С'.
Завершив доказательство по инцукции, можем теперь записать. и,(х, с)< С*)с ', если )х)< 4 ", — 2Ле4 2» < с< О. Зто означает, что и„(х, с) < С!!сп(! х ! ' + ! с ! ) ! (9.20) при условии, что (х, с) лежит в малой окрестности (О, 0) и с < О. Неравенство (9.20) показывает, что и, непрерывна снизу в точке (хе, се) = (О, 0) свободной границы и и,(0,0 — 0) =О,т.е.если х-+хе, с) се, то и,(х„с)- и„(хе, се — 0) =О.
Для доказательства непрерывности сверху в произвольной точке свободной границы (х, се) возьмем для простоты (х „се) = (О, 0). Пусть ! — решение задачи з) — (', =- О, если !х ! < д, О < с < д, Т(х, С)=и»(х, с — 0) на )х1=д, 0< с< д, и на !х ~ < Сс с = О. Так как и, (х, 0 — 0) удовлетворяет (9.20) с г = О, функция 1 непрерывна в (О, 0) и фактически 1(х, С) < С)!п()х !2 1 С)! (как видно из представления !' через фундаментальное решение). Поскольку и, субтепловая, имеем (по лемме 92) и, < 1. Следовательно, (9.20) верно для с > О. Зто завершает доказательство (!) теоремы 9.1. Дчя доказательства утверждения (1!) положим, Р - "(х, с), Р = (х, с ) — две точки в К Х (б, Т). Обозначим й(Р, Р) параболическое расстояние от Р до Р, ас)г— параболическое расстояние от Р до параболической свободной границы, т.е. до той части свободной границы, точки которой (у, з) таковы, что з < г.
Определим с)р. аналогичным образ >м и положим Ы,—, = ш!п(Н„, с1р). 178 вне свободной Так как и, — ограниченное решение уравнения теплопроводности границы, согласно внутренним оценкам Шаудера имеем 1н,(Р) — н,(Р)1 < С(й(Р, г))'1', если й(Р, Р) < (й р)з.
Предположим, далее, что (йяр)' < й(Р,Р). В силу (9.20) и„(Р) < С1!пй-„! «„(Р) < С~ 1пйр! Предположим, для определенности, что й — = ар. Тогда й- < й(Р РУ!з в силу (9.22) и йр < й(Р, Р)+ йр < С(й(Р, Р)) (9.21) (9.22) (9.23) (9.24) 1 я(х, О) = 1и — ° !х! Вместо (9.13) теперь получим 1 г' (х, г) > С1п— е Заменим (9.16) следующим условием: С 1 ю'(х, г) < —, если 1х1< —,. 22е 4" 2 Зто позволяет доказать неравенство яче„< Ме 1 при условии, что з~ е Ме =шах(ш„,2 з" ), е'< е, где те определены так же, как выше.
Можно теперь показать по индукции, что для любого 0 < 5 < е имеем -ее те< С2 при условии, что е < 1 — б. Тем самым показано, что ет и,(х, г)< Се ", Используя зто в (9.23), (9.24), находим, по 1и,(Р) — и,(Р)! < С1!пй(Р, Р)~ Вспоминая (9.21), завершаем доказательство теоремы. (Отметим, что е можно взять как произвольное положительное число, меньшее чем 2/ (л — 2) .) Доказательство теоремы 91 для л = 2. Модифицируем лемму 9.4, взяв если !х! < 4 е, — 2йе4 з < Г < О,где 7 может быть пРоизвольным положительным числом, строго меньшим 1/2. Остальная часть доказательства такая же, как в случае и > 3.
Займемся научением свободной границы. Будут использоваться следуюшие обозначения: /у — некоинцидентное множество, Н„= У(г) = (х; (х, т) ЕУ), Л вЂ” коинцидентное множество, Ла= (х; (х, г)ЕЛ), à — свободная граница, Гт = ( х; (х, г) С Г ). Функция и удовлетворяет уравнению Ни = б в окрестности любой точки (хе, гр) (ге > 0) свободной границы; для простоты положим й — 1. Так как Ьи = 1 + и, Р О, то по лемме 3.1 ссиш (х, т)ч!Лт!и Г, то ьор и(х', г) >— х'нн,г ьв,!»1 2» (9.25) Т е о р е м а 9.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
