Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Мера Лебега множества Гт равна нулю. Доказательство аналогично доказательству в эллиптическом случае (теорема 3.5); здесь используется условие (9 5). Дам потребуется следующее неравенство Харнака. Л е м м а 9 7. Иусть и — юзлолительная тепловая сбункция в цилиндре Уэ = = ( !»1 < !. 0 < г < у), и пусть (у, т) Е Ят, 1у ! =. 1 — б, г = б', где 0 < б < < ппп(1/2, у/2). Тогда и(0,7)>об"чаи(у,г) (с>О).
(берем (О, О) С Г) н заметным шар /т (х) в доказательстве теоремы 3,6 на цилиндр е '.,(х, т) = В,(х) Х (г — Сеа, т); цилиндр содерязпса в Л', и его параболическая граница содержит точку (уе, ге) свободной границы. Теперь определим у, как и выше; т.е. у, получается сдвигом на расстояние бэ по направлеьшю к центру х 1аара В,(») (отметим, что и/у,, ге) < < С(ба) ) . Далее, выберем г, рх ге так, го т, >(бт)' н г, < ~ч ч(бз) (тогда и(у,, 1,)< С(ба)'). где с — константа, зависяцая только от и, 7. Относительно доказательства см.
задачу 1. Вернемся к вариационному неравенству для задачи Стефана. Л е м м а 9.8. Для любой производной второго порядка ии по пространстве»- та й первичен»ой справедливо неравенство 1 ин(», г) > -С!!пд(х, т)! (9.26) 2(п — !)l где (х, т) е Л1, д(х, т) — параболические расстолние до параболической части свободной границы.
До к а з а тел ь с т в о аналогично показательству теоремы 3.6. Обозначим— Мь ннфимум ии в цилиндре Уе - (1х1< 2 ", 0< г< С2 з") Действуя так же„как в доказательстве теоремы 3.6, выводим ии(У, «) > — Сб'«з лля некоторого у, лежащего внутри В,««ь)(х). Теперь применим неравенство Харнака (лемма 9.7) и псодолжим доказательство так же, как в теореме 3.6. Пусть (хе, «ь) — точка свободной границы.
Определим МР(Л,, «) В,(х,)) 6„(Л) = г Тогда справеднив аналог теоремы 33 0: Те о ре м а 9.9. Пусть (хе, «е) — точка свободной грани««ы; !е > О. Тогда суи«ествует положительная неубывающая функция о(г) (О < г < гд) с а(0+) = 0 такая, чгоеслидля некоторого 0 < г < ге ) б„(Л) > о(г), (9.27) то существует окрестность 1' точки (хе, «е) такая, что»г О Г может быть прсдспю- лена в виде х« = «с(х1 ° ° °, х« — ы х«+«, ° ° °, хп.
«) где й Е С', и все вторые производные и (Рки, Р Р,и, Р,'и» непрерывны е (Л«О Г) О Р. Из результатов 8 1 тогда следует, что к Е С" и и принадлежит С" ((Л«)з Г» Г) «)»г). С л е д с т в и е 9.10. Если » Л, ОВ„(хе)1 1»п«ьпр — — — > О, (9.28) о В„ то утверждение теоремы 9.9 справедливо. Оставшаяся часть параграфа посвящена доказательству теореь.ы 99. Мы начнем с простого замечав«я, касавшегося скорости роста Л«,: если Вр(х,)СЛО, то Вр он С Л, +ьь при условии, (9.29) что С вЂ” достаточно большая положительная константа. Действительно,если уе бВр сь(х,) Г)Л7, „,, то согласно (9.25) ьпр и(х, «, +««з) >сСз««з (с>0).
Вр(к, ) ' Используя ограниченность и„имеем апр и (х, «, ) > О, Вр«к, ) если С достаточно большая; пришли к п»ютиворечив. Возьмем дпя простоты (хь, «ь) — начало координат. Для каждого «можно рассмотреть и как решение эллиптического варнацнон. ного неравенстна -«)и >.Г (У= 1+ иь). и>0, и( — Ьи — «") = О. Поскольку и, непрерывна, можно примен««ть результаты из й 4 и 5. (Отметим, по 18» непрерывность по Гельдеру Т требуется в доказательстве (3.8); в Е 4 — 5 требовалась лишь непрерывность Г.) Заключаем, что существует система координат (х„... ..., х„) и окРестность У точки (хо, го) = (О, 0) такаи, что Г, г! !' пРедставима в виде «л В(х~ ° ° ° ° хл — 1 го) (930) с непрерывной Р«1я и непрерывной в (!и, 1/ Г, ) г! У производной П„и(х, го).
Из (9.29) видим, что условие (9.27) остается верным также в произвольной точке (хы г,) Е Г вблизи (хо, го) с со(т) вместо о(г) при достаточно малой константе с > О, Таким образоьь, лля любого г,, близкого к го, сушествует система координат и пРедставление (9.30) (с' Г, вместо Го) Г, Г! У. Свойство (9.29) показывает, что в действительности можно использовать ту же систему координат (х„..., х„) длЯ всех г„близких к го; кРоме того, Я пРинадпежит С'!з по г. Итак, имеет место Л е м м а 9.11.
Существует система координат (х,,..., х„) и окрестность У точки (хо, го) = (О, 0) такая, что Г г! У представима в виде х„=В(хы...,х„г, г), (9.31) где П„В непрерывна в (х,,..., х„д) равномерно относительно Г, а принадлеягит «! Сщз по Г и 1ч'Г! У имеет вид хл < а(х,,..., х„,, г); НаКОНЕц, 1««ЗИ НЕПрврмепа ПО Х раВНОМЕрНО ОтивеитЕЛЬНО Г В (!у 1« Г) Р И В дальнейшем будем предполагать (что допустимо), что в«(хо го) О лля 1<г <п — 1.
Запишем: х = (хи..., х„1), у =х„. Л е м ма 9.12. Пусть и — непрерывная субтепловая функция в цилиндре л = =(!х! < 1,0< г< г); предположим, что и<Мвсин<р вцилиндресо= = ( х Е Со, 0 ( г < т ) таком, что теа Со > В > О, р = М/2, М > О. Тогда суще- ствует число Х, О» Х( 1, такое, что и(0, т) < ХМ; Х зависитотт,В.
Действительно, если и — функция тепловая в Х, и В = и иа параболической границе, то можно представить и через функцию Грина в цилиндре (!х! < р, 0 < г < т ) и выбрать р так, чтобы ра < р < 1, тез(дВр г1Со) >со где со и ро — положительные числа, зависящие только от В. Используя леммы 9.11 и 9 А 2, можем теперь показать, что и,< Ы~(х, Г,) для некоторого 8 >О, где г((х, А ) = д1зт(х, А ) . Действительно, доказательство аналогично доказательству леммы 5.3 с заменой Пчи на и, и й(х) — на тепловую функпию й(х, г); лемма 9.12 применяется дпя получения верхней оценки — й, меньшей 1. Так как я ~ С' !з по г, то в силу (9.32) и,(х, г) < Сг(~((х, г), Г), (9.33) где г!((«, г), Г) — параболическое расстояние от (х, г) до параболической части свободной границы.
Из (9.33) и внутренних оценок Шаудера имеем (см. рассуждения, следующие за (9,21)); и, непрерывна по Гельдеру в (х„т) в (М !.! Г) О т' с показателем Ь > О. (934) посколькУ и - 1 пРи (х, т) -+ (хе, те), то и„> 1/2 в (/ч'!г Г) т! !т, если !т достаточно мапо; следовательно, -и,(х,я(х, г) — П) Эт!/2, если и достаточно мало, п>0. (9.35) Следующая лемма позволит оценить РхР,и в терминах Р„и и Р,и — в тер. г минах Рх Реп. Л е м м а 9.13. Суи!ествуют нолохаттельные константы С,, Сг такие, что и,(х',у, г) < — С,и„(х',у, г)+Сад~((х',у),Г,) (9.36) в Л'тт !т. До к а за тел ьс та о.
Введемцнлиндры У~н(х,, т,)= ((х, г); !х -х,!< Р, т, -е < г< П) (9.37) для малых р, е. Для произвольной х, = (х„у,) Е Г, сравним в /чтт Лр е (хм П) тепловые функции и, и ю = -Аи — и + (!х — х,! + (т, — т))/(2л+ 1).Легко видеть, что ю > 0 на параболической границе (за исключением (х,, г,)), если А доста. точно большая, и что Си Э и, на параболической границе, если С достаточно боль. шая; здесь быно использовано (9.35) .
Применяя принцип максимума, получаем Сю>и, в Фтт_#_„,(х,, т,). Так как (х,, г,) может бытьлюбой точкой свободной границы, получаем (9.361. Л е м м а 9.14. Производные Рх Р„и, Рги ограничены в /У тт /т. До к аз а тел ь от в о. Рассмотрим усреднения по пространственным переменным 1 гх — у'т ((еи)(х т) = „Хр~ )и(у, т)ду, е е где ре С", р > О, р(х) = О, если !х1 > 1,и /р(х)дх= 1. Оценим Р„Р,и по методу Бернштейна. Дпя зтого рассмотрим функцию г(х, т) = Г~ (х, т) ! т7 х (лч и,) ! ~ + А(х, и,) (А > 0), (9.38) где Г Е Се в окрестности 1т точки (хе, те), 0 < Г < 1 и Г = ! в меньшей окрестности 1'е точки (хе, тд) . Обозначим Р, множество всех точек (х, т) Е Л'П !т таких, что д1зт(х, Л,) >е. Полагаяд =,/,и„подсчитаем в Р,: Дг гь 2ь ~!!х х + 8~Кх.!/х чх х ° + ° 1 ! 1 х.
х! х!х. + 2(А + 2'(Кх )х. — К,) Хдх',> 2(а(! — е)г.дх' х + хтхт ь х! х! /' 2 + 2 А — — 1ч!! +Х(Кх.)х — К, >О е для 0 < е < 1, если А достаточно большая. Таким образом, г не может достигать максимума внутри. Из леммы 9 13 следует, что если (х, т) Е Р„д!зт(х, Г ) < 2е,то 0< и, < С. Следовательно, 0< д < Се и,как легко подсчитать, !Ох !< С, "У если (х, г) Е 8Р,, д!ат(х, Г„) = е. Поэтому г < С на дР„о!куда г < С в Рс и, 183 в частности, 1~„2,(и,)1< С. Полагая е -~0, получаем 1РхРти1 < С в некоторой Л'окрестности (хе, ге).
Теперь введем усреднение 2, по времени и обозначим его 1,. Рассмотрим также функцию з(х, г)=1'(х, г)1Р,(Уи,)1'+А1т'х(феи,)1' (А >О) в множестве Р„точки (х, г) которого характеризуются следующим условием: (х, à — е) принадлежит некоторой Уокрестности (хе, Ге); здесь функция (' такая же, как функция 1, использованная в (938), но имеет меньший носитель. Полагая 0 =Хеи„вычисляем: Лз — з, = 21' г.й,'„+ 8 г.
К„д,д,„,— — 2И(.,0,'+ 2~Ох.)х 0т+ 2.4~1)х х . х х г х х Используя соотношение 0, = ЛО и ограниченность О,, находим, что ЬУ вЂ” з, > О, ьхг если А достаточно большая. Далее, если (х, т — Те) Е дР, Г1 Г для некоторого 0 < т < 2, то по лемме 9.13, используя ограниченность и„, и то, что 0 е С,'1з, находим, что 0< и,< Се. Отсюда следует, что 0 < О, < С на части границы дР„которая находится вблизи Л. Следовательно, Е < С на 0Р„и по принципу максимума т < С в Р,. Заключаем, что 1Р,(Уеи,)1< С в Р, Г1 И„где И, — некоторая окрестность (хе, ге). Полагая, что е . О, получаем ограниченность иги Сл ел с т в не 9.15. Если Вр(х) С Л, ((х, г) близко к (хе, ге), р мало), то для подходящей пояснительной констан|ы С имеем Вр оа(х) С Лг+ь для всех малых й > 0', следовательно, х непрерывна по г7ипщицу по г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
