Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Пусть 1 р= — — (х +у ). 2 Тогда /'= р„— г~рт на Г,если)(г) = — г на Г нлиДо(г)) = — о(г) на ! г ! = 1,нли если т (г) = — зг (о(г) = о(Т), г = 1/г на ! г ! = 1). Правая часть голоморфна в Ф. Если и такая, как в задаче 1, удовлетворяет условию и>р в Лгодй, то проверить,что и решает задачу с препятствием в й, где р — препятствие н à — сво- бодная граница. 4. Доказать (ь). [Указание. Так как Х 7(г)г7г = Х 7(о(г)) о'(г)с(г, а(7) 7 то (*) сводится к г И'ю и — )а = Ке ]' [и (г) — а(г ' )] о(г) с(г > О, если 1 < ! г ! < 2 с любой ! ге ! = 1. Можно записать о = оь + ео; тогда оь (1/г) = я о(г) .
Если И/= а+ еЬ + егс, Рис. 9 а=(!и) о+), а(ге'а) = — г — — ~ з!па О > О, г если ! г ! = 2, г Ф + 2. При г = я 2 имеем Ь > О, так что )г' > О на ! г ! = 2; И) не может принимать минимума в ! 1 < !г ! < 2) поскольку /111 И'а — !И' = [о(г) — о~ — ][а (г) ФО.] 5. В задачах 2 -4 взять Р(г) = (г — 2 + г ')' и сконструировать пример (с той же р) свободной границы Г вида и(еа)= спад+с!!ег)а — 1 ! Вп а (0<8 < 2я); она имеет острие в а(1) (рис. 9). й 12.
Библиографические замечания Изложение свойств преобразования Лежандра и материала й 1 соответствует работам [189а, Ь] и [123а]. Шеффер [158Ь] предложил метод, описанный в задаче 3 из з !. Преобразования Лежандра применялись также для эллиптических систем уравнений и минимальных поверхностей [124а, Ь]. Теорема 2.1 принадлежат Леви и Стампаккья [138а] .
Теорема 2.4 установлена Каффарелли и Ривьерой [63а] . Все другие результаты з 2 взяты из работы Киндерлерера [122Ь]. Результаты 4 3 — 5 принадлежит Каффарелли [56Ь, е], см. также [5ба]; оригинальное доказательство теоремы 3.10 появнчось в [56Ь]; доказательство, представленное в й 4и 5 взято из [56е]. Теорема 6.1 доказана Альтом [5а] . Трехмерная задача о перегородке впервые была поставлена Стампаккья [167Ь] и Гиларди [1Оба]. Теорему 6.5 установили Фридман и йенсен [95Ь]; результаты в задаче 3 из й 6 взяты также из [95Ь].
Результаты задачи 2 установлены Фрндманом ]941] для тл = 1 н йенсеном [1!ба] для ьч > 1. Другое доказательство теоремы 65 дано Криером [75]; выпуклость свободной границы цля другой задачифильтрацчиполучили авторы [42]. Задача фильтрации с несколькими слоями изучалась Байокки, Коминчиоли, Мадженес и Поцци [21], Байокки [19а], Ьайокки и Фридман [22] и Бенчи [28], а также Каффарелли и Фридман [58а, Ь!. В [58з, Ь] нзучаетсч форма свободной границы и асимптотическое поведение, когда один из слоев стан1вится очень тонким. Предельная задача 202 есть задача со свободной границей со смешанными условиями Дирихле — Неймана на границе.
Задача о перегородке с граничными условиями, зависящими от времени (см. также мало сжимаемые жидкости), изучалась Фридманом и Йенсеном [95а, с], Фрид- маном и Торелли [99] и Торелли [174а — с]. Преобразование Байокки (й 5 гл. 1) можно применить дпя установления существования в случае некоторых перегородок, не имеющих формул прямоугольника, в двумерном пространстве (см. [19Ь] ).
Задача фильтрации для перегородок общего вида с произвольным числом резервуаров и с произвольной размерностью будет изучена в гл. 5; методы полностью отличны от методов, описанных дчя прямоугольных перегородок. Будут доказаны сущее!гвованне, единственность и аналитичность свободной границы. Для сооответству!ошей эволюционной задачи отсылаем читателя к работе Гиларди [106Ь], который установил существование "'слабого" решения.
Регулярность свободной границы в задаче упруго-пластического кручения была доказана Каффарелли и Ривьере [63с), Лемма 7.3 взята из [63а]. Теорема 7.7 принадлежит Каффарелли и Фридману [58(); соответствующие результаты были доказаны Тингом [172а, Ь]. Задачи 1-5 из Я 7 взяты из [58Г) (см. также [7!Ь)). Теоремы 8.1, 8.3 и 8.4 установлены Каффарелли и Фридманом [58т), теоремы 8.5 и 8.11 — Фридманом и Поцци [98], остальная часть $ 8 изложена из [59), Более ранняя работа тетя' регулярных многоугольных областей была сдалана Тингом [172а, Ь].
Задачи упруго пластичности с несколькими материалами рассматривались Каффарелли иФрццманом [58л); см. также [46) . Задачи разгрузки изучались Каффарелли и Фридманом [58Ч), а также Тингом [172с, о) . Теорема 9.1 принадлежит Каффарелли и Фридману [58с). Теоремы 9,6, 9.8 и 9.9 взяты из [56Ь) . В лемме 9.14 мы заменили оригинальное доказательство доказательством, данным Киндерлерером и Ниренбергом [123Ь); завершение доказательства теоремы 9.9 по схеме, описанной в задачах 7 — 10 й 9 изложено ло работе [123Ь], Для одномерной параболической задачи со свободной границей Фридман [94Ь) доказал, что свободная граница аналитическая, если граничные условия аналитические. Другое доказательство дано Кннлсрлерером и Ниренбергом [123с] .
В й 9 задача 2 основана на работе Фридмана и Кнндерлерера [97), задачи 4 н 5 — на работе Фридмана и Йенсена [95Ь) . Задача 6 взята иэ [941] и задача ! 1 сформулирована Каффарелли (частное сообщение). Некоторые результаты по свободной границе в двумерном случае можно найти в [56с) . Теорема 10.6 и все предшествуняцие ей рассмотрения в й 10 принюшежат Каффарелли [56(]. Шеффер [158а) ранее доказал более слабый результат: если Г(и~) класса С и и, — иэ мапо в смысле пространства С, то Г(иэ) класса С Метод Шеффера основан на теореме Мозера и обобщен на параболические вариационные неравенства в [111].
Примеры из 5 ! 1 (а также задачи) принадлежат Шефферу [158с). Положительный результат для и = 2 был доказан Леви и Стампаккья [138а) для — 5 и Кнндерлерером [122а) для минимальных поверхностей. Каффарелли и Ривьере [63Ь) изучали природу особых точек свободных границ при л = 2. Двумерная задача со свободной границей исследовалась Киндерлерером н Стампаккья [126а] . Вариационные неравенства использовюзись в задачах о потоке, проходящем через заданный профиль [53Ь, с; !90; 1!5; 162а, Ь; !73) см. также [83)). Вариационные неравенства появляются также в зада~ах смазки; см. Капрнц и Чиматти [65) н Чнматти [72). В теории стохастического контроля задачи об оптимальном времени остановки могут быть сведены к вариационным неравенствам; см.
[34; 94я). Наконец, задачи с частичным наблюдением, такие как некоторые задачи секвенциального анализа, могут быть сведены к вариационным неравенствам; см. [58 1, о; 94[, Ц . ГЛАВА 3 струи и полости Если минимизировать функционал Х,(о) = ( ! T и ! + ( У'и' Я а иа классе функций е Е К, где К = (ьч и — ис ЕНе(й), и> О), и Е П' (ьь), ис > О, то миниьшзирующая функция и является решением вариацион- ного неравенства — Ьи =. У', и > О, (Ьи - - У) и =- 0 п в в П. В этой главе мы минимизируем функционалы 1(о)=) !Чи!'+ ! (1(„„) (У>О) й и на том же множестве К, где Уя — характеристическая функция множества А. Отме- тим, что функционал у(о) теперь уже не непрерывен, хотя и полунепрерывен снизу.
Такие функционалы (с 1 =сопят) возникают в задачах со свободной границей гьи= 0 в (и>0); ди и=О, — = сопи на свободной границе Ог1д(и>0), ди представляющих задачи о струйных и кавитационных течениях. Мы приведем ошцую теорию для минимизирующих функций и и затем перейдем к решению задач о струях и полостях. 3 1. Примеры струй и полостей В этой главе мы рассматриваем лишь беэвихревые течения несжимаемой не- вязкой жидкости. Это означает, что вектор скорости есть Чр, где р (потенциал скорости) удовлетворяет уравнению Ьд = 0 в жидкости. Если поток двумерный, то гармонически сопряженная функция называется функцией тока, а если поток трехмерный с осевой симметрией (с осью х в качестве оси симметрии), то функция тэ, определяемая равенствами ! 1 Фх = Фу Фу = ' Ф.т (1.!) называется функцией тока. В обоих случаях (ч1„, р,) представляет собой скорость в жидкости н линии гока (т.е.
линии, вдоль которых касательная имеет направление скорости) задаются уравнениями й = сопац Мы рассмотрим лве ситуации: а) в жидкости существует полость, б) часть Г границы жидкости окружена воздухом. В случае а), если жидкость быстро движется, то полость заполнена смесью пара и газа и давление р в полости постоянно (мы имеем дело здесь лишь со стационарными задачами). По закону Бернулли ! р + — 1 т7 у ! " + йу = сола! (1.2) 2 во всей жидкости, при условии, что вектор силы тяжести направлен противоположно направлению оси у.
Так как давление непрерывно прн переходе границы жидкости, го р = сола! на границе полости и ввиду (1.2) 1 — ~17р! +йу=солн на Г, (1.3) 2 где à — граница полости. Кроме того, так как à — линия тока, то й = солж на Г. (1.4) В случае б) давление р вне жидкости тоже постоянно, так что по закону Бернулли опять имеем (1.3); (1.4) также справедливо. Задача а) называется задачей о полости, а задача б) — задачей о струе. Конечно, имеются также задачи о течениях.
включающие в себя, как струи, так и полости (рпс. 1О, с). На рис 1О жирными линиями указаны фиксированные границы. Если особо не оговорено, сила тяжести в наших рассуждениях не учитывается, кс. счнгастся. что Х =' О (залачи с гравитацией нзучакпсл в ! 1е н 19). Таким 206 порезом, аФ вЂ” = соотг на Г,если л 2, Эи 1 Эф — — = салаг на Г,если я=3, у дг ноток симметричен оттюсительно осн х.
Мы не рассматриваем здесь трехмерные потоки без осевой симьмтрнн. "Теперь мы проведем подробные выкладки длв некоторых примеров, используя конформные отображения; применение метода (называемого методом годографа) ограничено случаем двумерных потоков. Начнем с примера Киргоффа (1В69 г.) снммет1тачного потока, обтекающего с единичной скоростью вертвкальную пластину, с концов которой сходат свободные линии тока (рис. 11, а). Введем модуль скорости ц = ! 17р !, комплексный вектор скорости и + в (и = у„, е = у ), комплексный потенпиал 7' = 7 + (Ф и переменную годографа Ф' м= — =и — 1е=де Ж Образцы физической плоскости в плоскости 7' и в плоскости ьт изображены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
