Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Пусть и гармоническая в В„(хе), и = и на ЗВ„(хо); положим и = и в й~ В„(х„). Так как и > О, и положительна в В„(хо ). Очевидно, и Е К и, следовательно, 1(и) < Х(и) по определению минимума; в случае локального минимума мы должны взять г малым. Отсюда получаем Х ([туи !'+1( > о)(е')< Х ([~ !'+/е') В„(х,) Втгхо) ! ту(и — и)!' «(',)йьх Х 1(х = о). (3.4) вИх,) Вт(хо) Оценим меру В„(хо) О ( и = 0) сверху через левую часть (3.4).
Изменяя масштаб, можем предположить, что В„(хь) = В,. Для произвольной «ь=. дВ, определим гт = 1п((г; 1/4 < г ~ 1) и и(г «) = 0), если множество таких г непусто, и гг = 1, если зто множество пусто. Для почти всех «функциях и(г«) принадлежит Н) по г, гЕ [1/4, 1! (и, таким образом, Сиз по г), так что, если гт < 1, то и(гг «) = и(гг«) — и(гт«) = 1 — (и — и)(у «) г/г < тт г/г 1 < Х~Г-гг [ / ! й(и — и)(г«) )заг) С другой стороны, по формуле Пуассона и(г(«) > с„(1 — г() т и, с„> О. эв, Следовательно, ! (1 — гг)( у и) < Сх / ! 7(и — и)(г«) [зг/г. эв, Это неравенство, очевидно, остается справедливым при гг = 1. Интегрируя по «. в силу определения г! получаем из (3.4) 1(„- о) ( 1 и ) < с„)' ! тт(о — и)!' < с„Д~„,„) 1(„= е).
Вт'~в~)ч эв в, в, заменЯЯ в пРиведенных выше РассУждениЯх на В)и(х), где х < дВиз, пРиходим к аналогичной опенке с Вич(х) вместо Вич. Складывая зти неравенства и исполь- зуя (З.З), находим (С") Х 1(ы = о) < Сн(2пьах Х 1(и = 0)' в, в, Таким образом, если С' достаточно большое, то 1(„о) = 0 п.в.
в В,,т,е.и=ел.в. и в (илу 2.3 и=с> 0 всюду в В,. Замечание 3.1. Если в лемме 3.! В„(х,) нс содержится в й, но В„(хе) г) и дй класса С + и и = 0 на В„(х,) г) дй, то утверждение (3.3) ошается справедли- вым (и считаем продолженной нулем в А"'т й); более точно, для любых 0<к <1, е > 0 существует положительная константа С», такая, что, если С', = С„", (3 то неравенство ! — > С", евг(»о)) В»г(д ы) влечет неравенство и > 0 в В„,(хе) Г) й, где В,„(дй) — (ег)-окрестность д й.
Т е о р е м а 3.2. Имеем и Е Сс'(й). До к аз а тел ь от в о. Если хай, и(х)>0, то по лемме 2 2 Х и>и(х)>0 ав„(. ) и из леммы 3.1 заключаем, что и > 0 в некоторой окрестности х. Таким образом, множество [и > О) открыто. Пусть 0, 0 — открытые ограниченные множества такие, что 0 С О, Р С й; рс = о!»т(Р, дР'). Для произвольной точки х Е 0 такой, что и(х) > О, пусть В„(х)— наибольший шар в 0 Ш (и > О). Если г <ре, го дВ„(х) содержит точку свободной гранины.
Следовательно, по лемме 3.1, если г достаточно мало (скажем, г < гс),то ! — и<С г+ е в„»,(») для достщочпо малых е > О. 1»роме того, ввиду субгармоничности и, имеем ! — и<С. (3.5) г ав,(») Если г > ш)п(ре, ге), то, так как и полунепрерывна сверху и, следовательно, огра. ничена в 0 ', имеем 1 — и<С (3.6) г эв„(») с другой константой С.
Наконсн. если С= шах(С*, С ), то 1 !Ри(х)!<С вЂ” 5- и < С в РГ)(и>ОЕ г дв„(») Поскольку.0и(х) =. 0 п.в. па (и = О), то и Е Сод(й). 214 Теперь установим оценку "ненырожденности" для средних от и. Л е м м а 3.3. Яля любого 0 ( )г ( 1 существует лолозгительная константа С, = Сн ь(г„„.н (С„ь зависит только от л, й) такая, что для любой (локально) минимизирующей и и каждого шара (малого) В,(хе) С ьг 1 если — ( и ( С„то и = 0 в Вь(хь). (3.71 Г двг(хь) Доказательство. Идея доказательства заключена в следующем: если среднее от и на ЭВ„(хь) мапо, то, заменяя и на функцию ге, обращающуюся в нуль н Ва„(хь), мы уменьшим У. Изменяя масштаб, можно взять В„(хе) = В,.
Выберем функцию е ч/Е о(х) = тах [ — Фь(!х !), 01, — Фг (чгк) ~ — "!(')"- ! -."~ Фя(т) = ! Я 1п(А/т), если л = 2. Я вЂ” г, если я=! (з.а) есть фундаментальное решение и 1 е= — анри(Сн а зи, уй- Ву- ' дв, (3.9) ,! Ч(тт(и,с)- и) Ч(тт(и,о)+и)= ! Чтах(и — о,0) Ч(о+и)( в -',в„ в .',вь ~( — 2 ) Чтах(и — п, 0) Чо = 2 !" иЧс и(С„ье !' и.
в гв„ дВ„ ' дВ„ Мы хотим оценить ! и через левую часть (3.10). Дчя эгого, используя опрсделе- дВ, ние е (см. (3.9) ), запишем Х (С,ь(Хи+ Х !Чи!)( дВ„ Вь В„ (3.10) е 1 (Сл ь ! 1 0 ь )' (!Чи!а+7 г)г) (и>0) ль м в„ 1 / е (Сн ь + ! ! (!Чи !з +1 йт) (2юм (ь)еып вь так как и субгармоническая. Заметим, что и = 0 в Вь. Так как и ~ и на дВ, то пнп(и, о) будет допустимой функцией, если продолжить ее как и вне В .
Таким образом, Х(и) ( ( з(ппп(и, о)), что означает Х (! Чи ! + У(„> о)(гз) ( Г (! Ч лип(и, о)!з — ! Чи !т) = вь в .тв„ Подставляя эту оценку в правую часть (3.10), находим, что и = 0 в Ва, если еф достаточно мало, т.е. если и достаточно мало (по (3.9)). ав, 3 а м е ч а н и е 3.2. Лемма З.З остается справедливой, если В„(ха) не содер. жится в 12 и и = 0 на В,(х,) ГЭ дй (и продолжается нулем в Я" ~ ьг).
С л е д с т в и е 3.4. Дая любой ограниченной обаасти Р, Р С Й. и для некоторого достаточно малого числа с(е > 0 существуют положительные константы с, С такие, что еош щар Ва(х), где х Е Р, б < ба, содержится в ( и > 0 ) г1 й и дВа(х) содержит точку свободной границы, то сб(х) < и(х) 4 Сб(х) . Следующий результат можно сравнить с теоремой 3.2 из гл. 2. Т е о р е м а 3.5, Существуют положительные константы 0< с < са < 1 такие, что для любой локально минимизирующей и и каждого малого шара В,(ха) С й с центром ха Е д(и > 0) ! В„(ха ) Г~ ( и > 0 ) ! с<— — < са.
(ЗЛ1) !В,! Из этого следует, что д(и > 0) имеет меру Лебега нуль. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем ха = О. По лемме 3.3 существует точка у Е дВыз такая, что и(у) ) сг. Поскольку и субгармоническая, то 1 1 с — и) — и(у) > — (0<й<1). яг авг„(т) ьт й Выбирая к достаточно малым, можно применить лемму 3.1 для вывода неравенства и ) 0 в Вь„(у), которое дает оценку снизу в (3.11). Для установления верхней оценки выберем о так же.
как в доказательстве леммы 3.1. Тогда )' Т( „> )'Л(и--о)!'> — )' !и — о!'~ Г !и — о!з вг вг в г в„, (й мало). Вспиу Е В„„, то по теореме 3.2 и лемме 3.3 (о — и)(у) = и(у) — и(! )) (1 — Сй) + и — Сйг > ав„ > (1 — Сй)С,г — Сйг>сг (с) 0) для достаточно малого к. Таким образом, !) са)0, в„ откуда следует верхняя оценка в (3.1! ).
О и р е д е л е н и е 3.1. Пусть и локально минимизирующая и Врь(хь) — по- следовательность шаров в й таких, что р„- О, хг - ха Е 12 и и(хь)=0. Последова- тельность функций 1 иа(х) = — и(хг + рьх) Рг называется блоуап-последовагельносгью. Так как ! 7и»(х)1<Св каждом компактном множестве из В", если /с достаточно большое. н так как и»(0) = О, то для подлоследовательности имеем: и» вЂ” ио в С,'",(Во) »ГО<а< 1, '7и» -о '7и, *-слабо в 7.! о. Функция ио называется блоуап-пределом. Напомним, что расстоянием Хаусдорфа с7(А, 17) между двумя множествами А; 17 называется число !п1!е: !2 Во(х)Э!7.
хол т2 Во(х) Э А]. »по Л е м м а 3.6. Имеют место следующие свойства с а) д(и» > 0) -+ д(и, >О) по расстоянию Каусдорфа; Ь) 7 (о»>о) (ио >0) 7!ос в с) если х» Е д(и >0), то ОЕЭ(и, >0); д) тти»-+ тио п.в.; д(и, > 0) имеет меру Лебега нуль. (3.12) Таким образом, гокрестность Г„этого множества в пересечении с любым шаром Вя имеет меру д н,где р, и 1 О, если г 10. Имеем (о»>о) (о > о)1 ~ если /с достаточно большое, откуда следует в) . Для доказательства с) заметим, что в силу лемм 3.1 и 3.3, солих» — точка сво.
бодной границы дпя и», то для любого малого г, скажем 0 < г < го, 1 с 4 — 7 и»<С а В„!з»1 для некоторых г>0, С>0; го не зависитот/с. Полагая й-,получаем ! с< — Т ио <С, ав,1,1 что означает 0 Е Э(и, > 0). Ввиду а) дпя любого компактного множества Е С (и, > ОМ !п1 (ио = 0) функция и» гармоническая в Е, если й достаточно большое, так что с7и» -+ ттио равномерно в каждом таком множестве при /с — . В силу (3.12) получаем д).
е) если Д непрерывна, то ио абсолютно минимизирующая для Яхо) в каждой ограниченной области. Д о к а з а т е я ь с т в о. Для доказательства а) заметим, что если В,(у) Л Л д(и > 0) = Ф и ио = 0 в В,(у), то и» равномерно малы в В,(у) при больших/с, и ввиду невырожденности (лемма 3.3) и» = 0 в В,гт, если ио > 0 в В,(у), то и» > 0 в Вюз(у). Следовательно, В,1т(у) л д(и» > 0)= Ф. если 7с достаточно большое.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
