Фридман - Вариационные принципы и задачи со свободными границами (947327), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Для доказательства непрерывности по Лнпшицу вблизи 1, заметим, что если расстояние т от Х до 8(и < Д ) меньше расстояния з от Х до 1,, то можем рассуждать, как в теореме 3.2. При з < т, положим Х» =(х, 1),если Х=(х у),из» = ппп(1/2,х), В» =В,(Х'). Пусть Ьо=О в В» Гз (у<1), о = Д на 8 В, гз ( у < 1), о=О на В» и (у=1). Так как Д вЂ” и есть Т,-субрешение и (е — и < 0 на ЗВ» гз ( у < 1), то (г — и < о. К функции й(Х ) = о(Х' + з»Х ) можем применить эллиптические оценки и получим, что и(Х»+з»Х')<С~у' ~, если Х = (х', у') Е В,/з(0) гз ( у <0).
Гледовательно, если з = 1 — у <я»/4, то С С С ~ т/Я вЂ” и)(Х)~ < — / Я вЂ” и) <— (8.24) з ав(х> з авЛх> з» Первое неравенство в (8.24) выводим, используя выражение функции ю(Х') ю = — Ог — и)(Х+ зХ') в (! Х' $ < 1) через функцию Грина дпя соответствующего равномерно эллиптического оператора К и применяя затем оператор 7. Остается доказать непрерывность по Липшицу вблизи у = О. Если Х =(х,у ), гдеО<у» <вь/2 и т» =у»/2, то полемме8.4 и<Ау~/2, Ли=О в В„(Х ). Поэтому нормализованная функция й(Х) = и(Х + т„Х)/т»з удовлетворяет условиям 1 й <С, Ьй — — й„=О в В~ (0), 2+у которые означают, что ),~7и(Х») ( т» ~ '7и (0)1 < Су» Л е м м а 8,6. Существует константа с ) О, не зависящая от Х, д, такая, что для любого шара В (Х») с центром Х» = (х», у») Е й~.О и радиусом с < у»/2 имеет место следующее утверзедение: 1 — /' Я вЂ” и) «» сну" (8.25) ав,Гх»1 влечет и = (г в В„/а (Х ) Гз (й~(Р гЗ В„(А'))); здесь и =их я и (г — и продолжена нулем в В„(Х»)~й.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Множество в./ (х') гз(й'г(/1 гзв,(А'))) можно покрыть шарами вида В„(Х ' ) с В„(Х ) гз (й~ 1) ) с т, = т/16; таким образом, достаточно доказать, что и = Д в каждом таком шаре. 234 Вводя (2 — и(Х' +г, Х) й(Х) = имеем Ей=О в Вю Х, й оО в ( у) — у'/г,» где Х' = (х', у '). По предположению т Хо й <8ХУ~, Во =В|о| ), (8.2б) аво г, где Ь выбрано достаточно малым. Это означает, чтолак как В,(0) С В,((Хо — Х')/г). апрй < СЬХУ (8.27) в, Пусть и — решение задачи Ли= 0 в Вг, (Х')1В„(Х'), и= Я на дВ, (Х'), и = и на дВгп (Х').
ОпРеделим и = (э в В, (Х ') и и = и вне дВг„(Х '). Тогда шах(и, и) есть допУстимаЯ функция. Действуя, как при доказательстве леммы 3.3, имеем 0 < >х „(и) — Ух и(шах(и, и)) = 1 д = / — 7(ш>п(и — и, 0)) >7(и+и) — 2Х ) — ш>п(и — и, 0)+ ю у а'>т> ду +»' ) У~(и ( >2» о (о= >2» = /1+>э+Уз. й>>г Интегрируя по частям, получаем, что Уг Р О, так как поп (...) неположителен на верхнем основании и равен нулю на нижнем. Далее, 1 1 У, = » — 1~тппп(и — и, 0)!г + 2 à — >У(пап(п — и, 0)) Сги> О У г> у 1 »~о — ) г7и1г — 2»' ((3 — ц)~ — и в„(х'> У ав„(х' > У 1э >сХ~У ) У(„>2).
в, (х'> Комбинируя эти оценки, получаем /~и»г .( ~ — ~ + сЛ'~(„=о» < в, гх'> У С » йи У ав„ (х'> У или, в терминах нормализованной функции й и соответствуюшсй ей й, / ( ~ >У й ~ г + с Хгуог 1(й „) < С )' й (г2й . и П (8 28) В силу (8.27) й ~ й < СБ Луе на БВг, а ввиду внутренних эллиптических оценок В В312 1Чй и! <СБЛу и правая часть в (8.28) оценивается тогда величиной (см. доказательство леммы 3.3) ськс)/сблу -)ха, ) + у~ты~* Выбирая е = (СБЛуе) ', получаем из (8.28) (1 -Бгс)(Луе)э /11-,, ~ О, так что й = О в В,. Это завершает доказательство. Следствие 8.7.
Для любого малого Б > Осуществует константа Сь > О, независящая от д, Л, такая,что и = )г в (ЙЛО) гэ ( ( у > Сь Ь л) Л Ва (А')), где Ьл = (2Д/Л)Цг Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как 1 у' 0 — ((г — и) ~ — —, Хе ЕЙЛО, т ав„<х" 1 г у полагая г уе/2,с(уе) г =(г/Л, по лемме 8.6 имеем и= Я в В„(Хе). Ле м ма 8.8. В некоторой окрестности А' вынолняется неравенство и(1г. Доказательство см. в задаче 2, Задачи 1. Доказать (8.13), если Хе(1) С С ~е.
)указание. Рассмотрите и„(х, у) =и(х+н, у) и примените теорему 1.4 из гл. 2.) 2. Доказать лемму 8.8. [Указание. Пусть Би =О в Вь(А') ГэО, и =Ц на Ва(А') Гэ дО, и =и на БВа (А') Гэ О. Покажите, что и <(г — Сгэ/з, рассмотрев н(г') (Д вЂ” и)(г), г=к+/у, г =г /з.) а 9. Свободная граница — кривая х = /с(у) Поскольку результаты з4 прнменяютсн также к общим эллиптическим уран. пениям с гладкими коэффициентами, свободнан гранина Гл н = д(их ь (О) гэ (ЙЛО) локально аналитическая.
В этом параграфе мы покажем, что Гл „вЂ” непрерывная кривая х= йл „(у) или, коротко, т= й(у). Л е м ма 91 Пусть Л/2(с <Ли о — отрезок. соединяющий точки (хе + Ьуе) Е Е ЙЛО, Ь > О. Если рещение и = иа „задачи Уа я удовлетворяет условию и = Д в окрестности о, (хе, у ) ) — точка свободной гранины такая, что у, > уь, то Ь < С, где С вЂ” конеген та, зависящая только от Л .
236 Показательство. По лемме 8.4 имеемуо >со >О,здесь зависит только отЛЛлялюбогозо ~ Оположим тх — хо « Г 1 (х,у);[х — хо1<Ь у — уо =зол~ — у[ [ «/ь ) где т)(х) определена в (б.8), и пусть а — наименьшее значение зо, при котором Г, касается свободной границы в некотором точке, скажем, (х,у) . Заметим, что [ х — хо! < «('Ь, т < Со, где Со — константа.
Для фиксированного большого т рассмотрим обласп Е, ограниченную Г„ у =уз + т и х = хо х Ь. Пусть и — решение задачи Лги=О в Е, ! и=Она Г, и = 0 на дЕЧГм Так каки — суперрешение в(у) 0) (после продолжения и=Я),и> и и 1 ди 1 ди Л= — — < — — в (х,у). у д. у д. (9.1) и (х, у) сходится к (О, уо + тт)(х )). Кроме того, функции в сходятся к решению )О' задачи А )т'"0 в Е В Д нз у ус+тп(х )юуг )т' = 0 нз у = ус + т.
Ввиду единственности (см. следствие 9.10) (Уо + т)г ),г г г (уо +т) — уг и тогда (9.1) даег 1д)У[ 1 дб Х< 1пп ь- у до ~-т у ди (к, у) у(о,у,) ~Д < оО (Уо + т) — Уг если т достаточно большое; приходим к противоречию с (8.19) . 237 Предположим, по утверждение леммы неверно. Тогда сказанное выше имеет место для последовательности Ь, Ь -о Выберем подпоследовательность так, пабы соответствующие значения Х х-хо х- то сходились, и пусть х„'-"!пъ —; тогда х б [-1, 11.
«Гь После преобразования в направлении х так, чтобы (х, у) лежала на оси у„ видим, что Е сходится к полосе Е-=(ус+ 1(х„)<у<уо+т) Л е м м я 9 2. Сутлектвует минимизирующая функция и = ил „такая, что и „> О. 2(оказательство проводится симметризацией.
Так как, однако, й„ неограничены, введем другое усечение. Дяя произвольного т1 > 0 положим 12 Ул,я,я(и)= 1 ~ чс — лт(е<д)чтте~ Уахау. (9.2) ..-(- .)~. Согласно доказательству леммы 8.1 сушествует решение и = ил „я задачи "~ля (9.3) 3л я я (и) = ~л1п Лл „и(и). чия» Обозначим и* перестановку и(х, у) в возрастаюшем порядке по направлению х. Так как и( — и, у) =О, полагая и(х, у) = и( — 2р — х, у), можно применить теоре- му 23. Следовательно, ° 2 1 Х !5ги.!2 < Г !5ти!2, а„о(я<я) у яяо(к<я) у Член ди 1 .( 1ттято>о (ч < О) о (х < Я) дУ ди = — Х вЂ” =-Л ( «(х„1)-ЛОД (ттято)о (я <Я) дУ -а также убывает в результате перестановки.
Следовательно, существует минимизируюшая функция ил,„я, монотонно возрастаюшая по х. Так как (см. зццачу 1) ил я я ил я п.в. (9.4) для последовательности й -', где ил „вЂ” минимизирующая г л „, приходим к требуемому утверждению. С зтого момента будем рассматривать только те решения ил я, которые удовлетворяют неравенству д — ил,я(х,у)>0. (9.5) дх (В а 10 мы покажем, что задача гл „имеет единственное решение ил „, удовлет.
воряюшее (9.5).) Из (9.5) выводим, что ( ил, (х,у) <0) г'1 (0<у<1) = ((х*у)' — Р <х <lгл, (У), О <у < 1) (9.6) для некоторой фуиклии йл я(у), ~(старую для краткости обозн чим я(у) Лемма 8.4 показывает, что . й (у) = ', если О < у < й л. (9.8) 1)ш ял,я(у) = утял Теорема 9.3. Если Х>20, го к(у) =кл „(у) есть ограниченная непрерывная функция для йл < у < 1,' кроме того, хл я — — 1лл Кл,я(у) существует и — а <хл „« (9.2) у11 функция у=пса л(х), обратная к х=ссх,и(у), существует и дифференцируема для всех достаточйо больших х, причем !пп аз ь „(х) = О. (9.9) Ло к аз а тел ь ство дается в следуюшихлеммах. Лемма 9.4. Функция /с(у) лепр«рывна в (О, 1) со значениями в ! — а,' !.
Ло к а з а тел ь от в о. Функция к(у), очевидно, полунепрерывиа снизу. Пусть 0<ус < 1, хо =!с(уо) < ~ и предположим, что существует последовательность у„уо такая, что 7с(уо) > хо + «для некоторого е >О. Тогда отрезок о= = ( (х, уо); 0 < х -хо < «) принадлежит свободной границе. Следовательно, й и = 0 в верхней или нижней окрестности 1' отрезка о и 1 ди и=0, — — =Л на о. уо ду Ввиду единственности решения задачи Коши и= — у' +~Я вЂ” — уо) в 1', 2 Л 2 а ввиду единственности продолжения имеем и = Ц на отрезке 1 (х уо); — д < х< хо) что невозможно. Л е м м а 9.5. Если (хо, уо) — точка гвободнои границы в 5Й О, то и = О в (хо+С,')Х (уо, 1), (9.10) где С такая же.
как в лемме 9.1. Л о к а з а т е л ь с т в о. По лемме 9.4 для любого «> 0 и(х, у) = 17, если х > хо + «! у — уо ! < 8 при условии, что 6 =Ь(«) достаточно мало. Следовательно, и=с> в окрестности отрезка (у=у„!х-(х, +Ъ)!<о) для !» О. Теперь, применяя лемму 9.1, выводим (9.10) .
Л е м м а 9.б. Существует число й Е [7>м 1! такое, что !с(у) <', если й <у < 1, lс (у) =, если О < у < Ус. Л о к а з а т е л ь с т в о. Г!усть л = 1пт" (у; !с(у) < ) . По лемме 9.4 !с(л) =' . Возьмем последовательность у„) л такую, что — а <7с(уо) < . Применяя лем. му 9.5 с уо = у„, находим, что й (у) <, если у„< у < 1; отсюда следует требуемое утверждение. Л е м м а 9.7.Предел lс(!) = — 11ш7с(у) сущ«ствуети й(1) > — а. тсс Ло к а з а те л ь с т в о. Если первое утверждение неверно, то имеем ситуацию, противоречащую лемме 5.2; (см. задачу 1 из зб). Второе утверждение следует из леммы 8.8.
Л е м ма 9.8. (1) Если!с(1) >О,то 1 ди Л< — — на у=1, 0<х</с(!), (9.11) у ди 239 где а — внешняя нормаль. (П) Если /г(1) < О, то ! би Л > — — на у = 1, Рг(1) < х < О, у да (9.12) где и — внешняя нормаль к В.
(1П) Если /г(уе) = — а для некоторого уе б (О, 1), то 1 би Л > — — в ( — а,уе), у ба (9,13) Тогда !нп зпр ф < О. х До к азате л ьс та о.Длялюбогое >Орассмотримфункцию 3 3 2 и=$ — — — ех (т =х +у) з в (0 < х < Х„О < у < 1). Она удовлетворяет неравенствам Аю> 0 и и (Она грани. це, если Же > М/е. По принципу максимума имеем и <О, т.е. д (х, у) < Му /г' + ех, если 0<х<Л/„0<у< 1.
11олагая е-+О, получаем ф(х, у) <Му /г', откуда сле- дует утверждение. С л е д с т в и е 9.10. Предположим, что: У. д > О, если — < х < ', 0 ( у < 1, й (М, если — ~*~ < х < оо, 0 ( у ( 1, и(х, 0) <О, Ф(х, 1) <О, если — <х< ~о. Тогда д(х,у) (О для — <х<,0<у< 1. Действительно, по предыдущей лемме для любого б > 0 ф( Х/Уь, у) < б при 0 < у < 1 при условии, что /ть достаточно большое; следовательно, по принципу максимума д(х, у) < б, если — д!ь < х < /Уь, 0 < у < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
